軸承滾動體初始相位對轉子系統振動特性的影響

邊子方，張慈，王菲，羅忠

(東北大學 a.機械工程與自動化學院；b.航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819)

滾動軸承是航空燃氣渦輪機等旋轉機械中的重要部件，其非線性特性對轉子系統的振動響應與運行穩定性有重要影響。在轉子系統運轉時，由于裝配等因素的影響，軸承的滾動體分布并不完全一致，這必然導致支承處的非線性軸承力存在差異，進而影響轉子系統的運動響應。目前國內外學者大多關注滾動體個數、波紋度、游隙及表面損傷等因素對系統振動特性的影響。文獻[1]對不同滾動體個數和波紋度下的轉子系統振動響應進行分析，指出軸承的滾動體個數和波紋度是影響轉子系統運動響應的重要因素；文獻[2]研究了軸承波紋度的非均勻分布對轉子系統振動特性的影響；文獻[3]建立了考慮軸承內外圈滾道表面波紋度的軸承模型，分析了波紋度對轉子系統振動響應的影響，指出當外圈的波紋度波數與滾動體數相同時，轉子系統會產生強烈振動；文獻[4]根據分形理論應用G-P算法計算了不同波紋度最大幅值時的關聯維數，發現當轉子系統處于混沌狀態時，隨著軸承波紋度最大幅值的增加，由系統位移構成的時間序列的關聯維數相應增大。文獻[5]建立了對稱放置的轉子系統，分析了軸承游隙等因素對轉子系統振動特性的影響，指出適當的游隙可以避免轉子系統的非周期振動；文獻[6]研究了軸承游隙對于滾動軸承-偏置轉子系統振動特性的影響；文獻[7]利用有限元方法在某型真實發動機模型的基礎上建立復雜支承-機匣-轉子系統模型，分析了軸承游隙對轉子運動響應的影響，并在不同轉速和游隙下對軸承各個滾動體的受載狀態進行研究，指出由軸承游隙造成的滾動體不連續的受載狀態是導致轉子系統不穩定振動的主要原因；文獻[8-9]指出滾動軸承-轉子系統中的次諧波頻率成分主要與非線性軸承力和軸承游隙有關。針對軸承表面損傷對轉子系統運動響應的影響，文獻[10]將軸承內外圈與滾動體的接觸視為彈簧阻尼單元，建立了含有軸承損傷的轉子系統動力學模型，并通過試驗進行驗證；文獻[11]研究了軸承不同位置的損傷對轉子系統振動特性的影響，研究表明軸承損傷會引起系統混沌區域增加，外圈損傷對系統非周期運動影響較??；文獻[12-13]對具有軸承局部損傷的轉子系統的振動特性和穩定性進行研究，指出當軸承內圈和滾動體具有損傷時，系統振動較為劇烈。

除滾動體個數、波紋度、軸承游隙和表面損傷外，軸承潤滑、裝配工藝等因素對于轉子系統的振動響應也具有重要影響。文獻[14]基于彈性流體動力學潤滑理論分析了軸承潤滑對轉子系統振動特性的影響；文獻[15]對航空發動機軸承外圈的裝配工藝進行研究，指出軸承外圈與軸承座的配合是引起發動機振動異常的敏感因素，而軸承外圈擰緊力矩對轉子系統的振動不敏感，軸承座與外圈之間的間隙將引起系統次諧波、高倍頻的振動；文獻[16]對渦輪風機轉子系統、高速機械轉子系統、高速發電機轉子系統進行分析，指出在轉子系統轉速較高時，應該考慮軸承的離心力和陀螺效應；文獻[17]將軸承保持架和滾動體看作不連續碰撞的振動系統，建立了一維不連續保持架-滾子碰撞模型，對轉子系統的振動響應、運動穩定性和可靠性進行分析。

多數文獻均假定轉子系統兩端的軸承滾動體在運轉過程中分布保持一致，忽視了滾動體分布對系統振動特性的影響。當滾動軸承滾動體分布不一致時，轉子系統兩端的非線性軸承力呈現非對稱分布，會引起轉子系統擺振[6]；文獻[8]使用滾動軸承-轉子試驗臺進行試驗驗證時，在每次試驗前調整滾動軸承滾動體的分布，以保證試驗結果和其理論分析一致?？梢?，轉子系統兩端滾動軸承滾動體的分布對轉子系統非線性振動特性具有一定影響。因此，主要針對滾動軸承滾動體的不同分布對轉子系統非線性振動特性的影響進行研究，以期為轉子系統的非線性特性分析與試驗提供參考。

1 系統動力學模型

建立對稱的軸承-剛性轉子系統動力學模型，如圖1所示。以轉子中心為原點，建立固定坐標系Oxyz，2套軸承均為SKF 6002高速深溝球軸承，假設在轉子系統運轉過程中，球在溝道內均勻分布且作純滾動。

圖1 滾動軸承-轉子系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of rolling bearing-rotor system

1.1 滾動軸承的非線性接觸力

1.1.1 滾動軸承運動學

滾動軸承運動學模型如圖2所示，圖中：數字代表球的序號；D為軸承外徑；d為軸承內徑；θ0為轉子靜止時1#球與x軸的初始夾角；Z為球數；ωb為球的公轉角速度；t為轉子系統運轉時間。

(a)靜止 (b)滾動圖2 滾動軸承運動學模型Fig.2 Kinematics model of rolling bearing

設軸承內圈角速度為ωi；外圈角速度為ωe；轉子角速度為ω。將內圈與轉軸視為一體，外圈固定于軸承座，軸承座靜止。因此ω=ωi，ωe=0，由此可得

(1)

1.1.2 滾動軸承非線性接觸力

球與溝道之間由擠壓變形而產生的變形載荷可根據Hertz彈性接觸理論計算[18]

Fj=Kb[δjH(δj)]1.5，

(2)

δj=xccosθj+ycsinθj-Gr，

式中：Fj為第j個球產生的載荷；Kb為Hertz接觸剛度；H(·)為亥維賽函數，當函數變量大于0時，函數值為1，否則為0；δj為第j個球與溝道接觸產生的接觸變形量；xc為內圈中心徑向位移；yc為內圈中心水平位移；Gr為軸承徑向游隙；θj為第j個球的轉動角度，相鄰兩球的轉動角度相差2π/Z，由圖2可知

(3)

球的初始角度決定了其分布位置。

將滾動軸承產生的非線性力Fb分解到x，y方向上可得

(4)

(5)

1.2 轉子模型

軸承-轉子系統在運轉過程中，球分布不均勻可能導致兩端軸承產生的非線性力大小不等，使轉子系統在運轉過程中出現輕微擺動，因此模型中須考慮轉子系統的位移變化和擺動角度變化。

1.2.1 轉子位移方程

在固定坐標系Oxyz中，設轉子圓盤中心W的坐標為(x,y)，圓盤質心P的坐標為(xP,yP)，圓盤的偏心距為e，將其運動看作圓盤中心W隨質心P的平面運動和相對于質心P的轉動，轉動角度為φ，如圖3所示。

圖3 轉子運動示意圖Fig.3 Motion diagram of rotor

圓盤質心P的坐標與圓盤中心W坐標之間的關系為[19]

(6)

根據Newton定律可列出轉子平動微分方程為

(7)

(8)

式中：m為轉子質量；Fx，Fy分別為轉子系統在豎直方向和水平方向受到的徑向合力。

在轉子系統運轉過程中，其承受2套軸承的非線性軸承力和阻尼力，由此可得

(9)

(10)

式中：F1bx，F2bx分別為軸承1，2產生的非線性力在豎直方向的分量；F1by，F2by分別為軸承1，2產生的非線性力在水平方向的分量；c為軸承阻尼系數；Fr為轉子系統受到的徑向外載荷。

將(9)，(10)式分別代入(7)，(8)式可得

(11)

(12)

1.2.2 轉子擺動方程

轉子擺動示意圖如圖4所示。假設轉子首先繞固定坐標系Oxyz的x軸旋轉角度α，得到擺動坐標系Oxy′z′，然后繞擺動坐標系Oxy′z′的y′軸旋轉角度β，得到隨轉子擺動的坐標系Ox′y′z″[19-20]。

圖4 轉子擺動示意圖Fig.4 Swing diagram of rotor

將轉子在坐標系Ox′y′z″中的轉動慣量分解至固定坐標系Oxyz可得

(13)

式中：Lx，Ly分別為轉子沿固定坐標系Oxyz中x，y軸的轉動慣量；Id為轉子的赤道轉動慣量；IP為轉子的極轉動慣量；rd為轉子半徑；H為轉子厚度。

由于擺動角度α和β很小，根據動量矩定理可得轉子系統擺動微分方程為

(14)

(15)

轉子系統在運轉過程中承受由2套軸承的非線性軸承力與阻尼力形成的力矩，由此可得

(16)

(17)

式中：l為2套軸承的間距。

綜上可得轉子系統動力學方程為

(18)

(19)

(20)

(21)

1.3 計算參數

相關參數如下：m=2.4 kg，rd=100 mm，H=16 mm，l=340 mm，e=0，Kb=7.055×109N/m，D=32 mm，d=15 mm，c=200 Nm/s，Gr=0.02 mm。采用Runge-Kutta變步長數值積分方法對轉子系統振動微分方程進行求解。設軸承1與軸承2的初始角度差為Δθ0，主要研究3種不同工況(圖5)下轉子系統的振動特性。

圖5 不同工況示意圖Fig.5 Diagram of different operation condition

2 軸承-轉子系統振動特性分析

2.1 轉速對轉子系統振動特性影響

不同工況下軸承-轉子系統質心隨轉速變化的豎直方向位移分岔圖如圖6所示,不同轉速下轉子系統的動力學響應圖如圖7—圖9所示。

圖6 位移分岔圖Fig.6 Displacement bifurcation diagram

圖7 工況1下轉子系統動力學響應圖Fig. 7 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 1

圖8 工況2下轉子系統動力學響應圖Fig.8 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 2

圖9 工況3下轉子系統動力學響應圖Fig.9 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 3

2.1.1 工況1

從圖6a和圖7可以看出：

1)當1 000 r/min≤n<2 400 r/min時，轉子系統經歷周期運動。圖7a中只有一個點，說明系統處于周期運動。

2)當2 400 r/min≤n<6 400 r/min時，系統經歷周期運動和混沌運動。圖7b呈現無規則不可數的點集，說明轉子系統在n=4 900 r/min時處于混沌運動；圖7c呈現離散的點，圖7d呈現離散的譜線，頻率成分均為96 Hz的倍頻，證明轉子系統在n=6 000 r/min時處于周期運動。

3)當6 400 r/min≤n<9 300 r/min時，轉子系統經歷周期運動。圖7e呈現可數的離散點，證明轉子系統處于周期運動。

4)當9 300 r/min≤n<13 200 r/min時，轉子系統經歷混沌運動，運動響應復雜。圖7f呈現無規則不可數的點集，說明系統處于混沌運動。

5)當13 200 r/min≤n<13 600 r/min時，轉子系統經歷短暫的擬周期運動。圖7g中映射點呈現封閉的曲線，圖7h呈現離散譜線，出現不可通約的頻率成分，證明轉子系統處于擬周期運動。圖7h在變柔度(VC)頻率646 Hz處出現峰值，說明系統仍以變柔度振動為主。

6)當13 600 r/min≤n<15 000 r/min時，可以明顯看出轉子系統呈周期運動。

由此可知：當軸承相位角度相同時，隨著轉速的增加，轉子系統在周期運動、擬周期運動和混沌運動之間交替變化。轉子系統振動響應的混沌區域發生在轉速2 400 r/min≤n<6 400 r/min與9 300 r/min≤n<13 200 r/min之間。

2.1.2 工況2

從圖6b和圖8可以看出：

1)在較低轉速下，系統經歷周期運動和混沌運動，運動響應比較復雜。

2)當2 400 r/min≤n<5 500 r/min，轉子系統經歷周期運動，圖8a中呈現離散譜線，只存在VC及2VC頻率，證明系統處于周期運動。

3)當5 500 r/min≤n<6 600 r/min，系統經歷周期運動、擬周期運動和混沌運動。圖8b呈現離散的點，說明轉子系統在n=5 600 r/min時處于周期運動；圖8c呈現無規則不可數的點集，證明系統在n=5 800 r/min時處于混沌運動；圖8d呈現封閉的曲線，圖8e呈現離散的譜線，且出現不可通約的頻率成分，證明系統在n=6 450 r/min時處于擬周期運動。

4)當6 600 r/min≤n<11 500 r/min，系統經歷周期運動。圖8f中只有一個點，說明系統處于周期運動。

5)當11 500 r/min≤n<13 800 r/min時，系統經歷擬周期運動。圖8g呈現封閉的曲線，圖8h呈現離散譜線，出現不可通約的頻率成分，證明系統處于擬周期運動，與圖7h相比，系統頻率成分發生變化，峰值頻率幅值降低，峰值頻率為520 Hz。

6)當13 800 r/min≤n<15 000 r/min時，轉子系統明顯處于周期運動。

由此可知：當軸承初始角度相差10°時，隨著轉速的增加，轉子系統響應中存在周期和非周期(擬周期，混沌)的響應形式，混沌區域發生在轉速較低時和5 500 r/min≤n<6 600 r/min之間。

2.1.3 工況3

從圖6c和圖9可以看出：

1)在轉速較低時，系統經歷擬周期運動和混沌運動，振動形式復雜。

2)當1 700 r/min≤n<5 800 r/min時，系統經歷周期運動。圖9a呈現可數的離散點，說明轉子系統處于周期運動。

3)當5 800 r/min≤n<7 200 r/min時，系統經歷擬周期運動。圖9b呈現封閉的曲線，圖9c呈現離散譜線，且出現不可通約的頻率成分，證明系統處于擬周期運動。

4)當7 200 r/min≤n<15 000 r/min時，轉子呈現周期運動。圖9d呈現離散的點，證明轉子系統處于周期運動。

由此可知：當轉子系統兩端軸承初始角度相差20°時，轉子系統在大部分轉速變化范圍內處于周期運動，混動區域只發生在轉速較低時。

2.1.4 小結

綜上分析可知：

1)在相同的轉速變化范圍內，隨著兩端軸承初始角度差的增大，系統非周期運動響應區域明顯縮小，且高轉速下系統運動更加平穩。從能量角度來看，轉子運轉過程中圓盤的擺動消耗部分能量，相當于增加阻尼，因此使得復雜運動響應減少。

2)相同轉速下，當轉子系統兩端軸承的球分布不同時，轉子系統的運動形式和頻率成分發生變化。因此，研究轉速變化對滾動軸承-轉子系統振動特性的影響時，應考慮球的分布位置。

2.2 徑向載荷對轉子系統振動特性影響

不同工況下，轉速為8 400 r/min時轉子系統隨徑向載荷變化的豎直方向位移分岔圖如圖10所示;徑向載荷Fr=55 N時，轉子系統的動力響應圖如圖11所示。

圖10 n=8 400 r/min時不同工況下轉子系統隨徑向外載荷變化位移分岔圖Fig.10 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with radial external load under different operating conditions at n=8 400 r/min

圖11 Fr=55 N時不同工況下轉子系統動力學響應圖(n=8 400 r/min)Fig.11 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=8 400 r/min and Fr=55 N

從圖10和圖11中可以看出：

1)兩端軸承初始角度相同，當徑向外載荷較低時，系統經歷周期運動、擬周期運動和混沌運動。當12 N≤Fr≤51 N，56 N≤Fr≤89 N以及94 N≤Fr≤100 N時，轉子呈周期運動;當51 N

2)兩端軸承初始角度相差10°，當徑向外載荷較低時，轉子系統經歷周期、擬周期、混沌運動。當20 N≤Fr≤100 N時，轉子系統呈現周期運動，振動的頻率成分為VC頻率及2VC頻率(圖11c)。

3)兩端軸承初始角度相差20°，當徑向外載荷較小時，轉子系統在周期運動與非周期運動之間交替變化，運動響應復雜。當20 N≤Fr≤100 N時，轉子系統呈現單周期運動。圖11d中頻率成分只包含2VC頻率，說明系統處于單周期運動。

綜上分析可知：在相同徑向載荷變化范圍內，隨著兩軸承初始角度之差的增大，轉子系統非周期運動響應區域明顯縮小，徑向載荷較大時，系統運行更加穩定；當徑向載荷相同時，隨著兩軸承初始角度差增大，轉子系統由擬周期運動轉變為周期運動，系統的運動形式發生變化；因此，研究徑向載荷變化對滾動軸承-轉子系統振動特性造成的影響時，應考慮球的分布情況。

2.3 質量對轉子系統振動特性的影響

不同工況下，轉速為7 200 r/min時，轉子系統隨質量變化的豎直方向位移分岔圖如圖12所示；m=4 kg時轉子系統動力響應圖如圖13所示。

圖12 n=7 200 r/min時不同工況下轉子系統隨質量變化位移分岔圖Fig.12 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with mass under different operating conditions at n=7 200 r/min

圖13 m=4 kg時不同工況下轉子系統動力學響應圖(n=7 200 r/min)Fig.13 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=7 200 r/min and m=4 kg

從圖12和圖13可以看出：

1)兩端軸承初始角度相同，質量較低時，轉子系統在混沌運動和周期運動之間交替變化。當4 kg≤m≤10 kg時，轉子呈現周期運動。圖13a呈現一個點，圖13b中只存在VC和2VC頻率成分，證明系統處于周期運動。

2)兩端軸承初始角度相差10°，質量較低時，轉子系統經歷周期、擬周期、混沌運動，運動響應復雜。當2.4 kg≤m≤10 kg時，轉子系統呈現周期運動。圖13c中只存在VC及2VC頻率，證明轉子系統處于周期運動，峰值頻率出現在VC頻率處，說明系統以變柔度振動為主。

3)兩端軸承初始角度相差20°，質量較低時，轉子經歷周期運動和擬周期運動，運動響應比較復雜。當2.4 kg≤m≤10 kg時，轉子處于周期運動，圖13d中只存在2VC頻率，說明系統處于單周期運動。

綜上分析可知：在相同的質量變化范圍內，隨著軸承初始角度差的增大，轉子系統非周期運動響應區域相對縮小，質量較高時轉子系統均處于周期運動；在相同質量下，隨著兩軸承初始角度差的增大，轉子系統振動的頻率成分發生變化，峰值頻率的幅值降低，2VC頻率成分相對增強；因此，研究質量變化對滾動軸承-轉子系統振動特性造成的影響時，應考慮球的分布情況。

3 結論

1)軸承滾動體的分布情況對轉子系統的振動響應影響較大。在研究轉速、質量、外載荷變化對滾動軸承-轉子系統振動特性的影響時，應考慮軸承滾動體的分布情況。隨著軸承初始角度差的增大，轉子系統非周期運動響應區域相對減小，系統運行更加平穩。轉子的擺動消耗部分振動能量，相當于增加阻尼，從而減小了轉子系統非周期運動響應區域。

2)轉子系統兩端軸承初始角度差影響系統中2倍變柔度頻率成分，隨著軸承初始角度差的增大，系統中2倍變柔度頻率成分相對增強，峰值頻率幅值降低。

3)在實際試驗時，可在試驗前調節轉子系統中軸承滾動體的分布來避免試驗過程中其非對稱分布對系統振動特性產生的影響，保證試驗結果的準確性。