基于信息技術背景下的課堂教學設計

摘 要：《橢圓及其標準方程》是繼人教A版必修二“圓的標準方程”之后又一二次曲線的實例，也是運用代數方法研究幾何問題的又一次實際演練，同時還是進一步研究橢圓幾何性質以及雙曲線、拋物線的基礎，它的學習方法將會對這一章起到導向和引領的作用，因此作者在教學中應用到了視頻動畫文件、幾何畫板軟件、PPT演示文稿等信息技術，生動地展示了橢圓標準方程的生成過程，提高了學生的學習探究興趣。

關鍵詞：橢圓；定義；標準方程；教學設計

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2017-12-03

作者簡介：程統卓（1989—），男，甘肅莊浪人，二級教師，本科，研究方向：高中數學課程與教學。

一、課程內容分析

（1）新課程標準和考試大綱對本課程內容的要求為：了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程；理解數形結合的思想。

（2）本課內容在高中數學教學中的地位：《橢圓及其標準方程》是繼必修二“圓的標準方程”之后又一二次曲線的實例，也是運用代數方法研究幾何問題的又一次實際演練，同時它還是進一步研究橢圓幾何性質以及雙曲線、拋物線的基礎，它的學習方法將會對這一章起到導向和引領的作用。

二、教學目標

（1）知識與技能：理解橢圓的定義；掌握橢圓的標準方程，理解橢圓標準方程的推導；會根據條件寫出橢圓的標準方程；能用標準方程判定所研究的圖形是否為橢圓。

（2）過程與方法：通過橢圓的標準方程的推導，引導學生體會數形結合的思想方法；在相互交流、合作探究的學習過程中，培養學生合理表述、科學探究、規范總結的思維習慣，提高學生的推理能力和數學知識的應用能力。

（3）情感、態度和價值觀：通過合作探究、相互交流，讓學生進一步體會數學的趣味性和嚴謹性；通過作圖感受探索的樂趣與成功的喜悅，增強學生的求知欲和自信心，優化學生的數學思維品質，讓學生逐步體會數學的應用價值和科學價值。

三、教學重點、難點

重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程；難點：橢圓標準方程的推導與應用。

四、教法與學法

教學方法：從實踐到理論，以問題為驅動，啟發學生獲得橢圓的定義及標準方程，并在例題和練習配套下進行知識的應用。

學法指導：①提供探究、思考的機會，鼓勵學生多思考、多總結；②提供表達、交流的機會，鼓勵學生敢想敢說，設置問題引導學生勤思考、勤交流。

五、教學過程

1.情景引入

師：“同學們平時看新聞嗎？估計學習忙，看得少，老師看新聞的時候留心搜集了一段視頻，我們一起來看看。”（播放“嫦娥三號”環月變軌的視頻）

師：“‘嫦娥三號的運行軌道是橢圓軌道，‘橢圓在我們生活中常見嗎？老師搜集了一些照片，一起看看。（PPT演示橢圓圖片）那么，接下來我們一起來研究橢圓及其標準方程。”

2.講授新課

（1）親手體驗：（用工具畫橢圓）取一條定長且沒有彈性的細繩，在圖紙上任取兩點，將繩子的兩端拉開一段距離，分別固定在圖紙的兩點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，看看筆尖畫出的軌跡是什么曲線。教師提示同學們畫橢圓，會出現以下三種實驗情況：①繩長大于兩定點間的距離；②繩長等于兩定點間的距離 ；③繩長小于兩定點間的距離。（引導分析每一種情況）

問題1：對于第一種情況，形成的圖形是橢圓，在畫圖過程中哪些是不變的，哪些是變的？（兩定點的距離不變，繩長不變，筆尖在動）

問題2：橢圓的定義該怎么下？（引導學生歸納出橢圓的定義）

（2）橢圓的定義：平面內，與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。記焦距為2c，常數為2a。

問題3：你能否將橢圓定義的文字語言轉換為數學符號語言？

（3）橢圓標準方程的推導。

問題4：橢圓的方程怎么推導？可以類比圓的標準方程的推導過程。（建系—設點—找關系式—列方程—化簡）

問題5：對于橢圓如何選擇適當的坐標系呢？（選擇坐標系追求對稱、簡單、便于計算）（如圖1）

下面我們推導橢圓的方程：

解析：以經過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xoy，設M（x，y）是橢圓上任意一點，則F1、F2的坐標分別是（-c，0）（c，0）。

得方程：

。

化簡可得。

觀察圖2，你能從中找出表示a、c、的線段嗎？

令即b2=a2-c2，

則方程可化為。

我們把上式叫作橢圓的標準方程，它的焦點在x軸上。

問題6：當橢圓的焦點在y軸上時，它的方程又是怎樣的呢？

焦點在x軸：由 ，

化簡可得。

類比可得，焦點在y軸：由

化簡可得

。

問題7：以上兩個標準方程有什么相同點與不同點？

橢圓標準方程中，x、y哪個變量對應的分母大，焦點就在哪個軸上。a、b、c三者中a最大，并且c2=a2-b2。（無論焦點在哪個軸上，a、b、c的關系是確定的）

3.例題講解與練習

練習：已知橢圓的標準方程，請寫出a、b、c及焦點坐標。

練習1：已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0）（2，0），并且經過點（，-），求它的標準方程。（板書解題過程，引導啟發學生一題多解）

練習2：已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（0，-1）（0，1），并且經過點（，1），求它的標準方程。（先由學生自己完成，然后通過數碼展臺展示解題過程，及時指導學生規范書寫）

4.作業設計

課本第49頁習題2.2A組第1～3題。

六、課后反思

本課由學生感興趣的衛星運行軌道引出橢圓，很有趣味性，然后通過橢圓工具畫橢圓圖形，讓學生感受到了橢圓的形成過程，最后通過直角坐標系將幾何問題與代數問題聯系起來，推導出了橢圓的標準方程，讓學生感受到了數形結合的思想方法；通過引導講解，學生對于橢圓的定義、標準方程的產生過程比較明確，對于求橢圓標準方程的簡單應用也比較熟練，較好地完成了課前預設的目標。

參考文獻：

[1]徐章韜.面向教學的數學知識——基于數學發生發展的視角[M].北京：科學出版社，2013.

[2]方均斌.數學教學設計與案例分析[M].杭州：浙江大學出版社，2012.