基于MATLAB語言的凸輪輪廓曲線的解析法設計

杜韌， 馮偉娜， 劉昭， 劉宏偉， 畢珊珊

（北華航天工業學院機電工程學院，河北廊坊065000）

0 引言

凸輪機構結構簡單而且緊湊，能傳遞較大功率以及任意傳動比的傳動，同時它還具備了控制、傳動、引導等各項功能，可以實現各種各樣期望的議案，已廣泛在各種機械自動控制的廣泛應用中使用[1]。所以，對于凸輪機構的深入研究，特別是對高速高精度凸輪機構的設計、制造等各個方面的進一步研究是一項十分重要的工作。

凸輪機構是一個具有曲線輪廓或向內凹的曲線槽的常用的構件，大多數情況下作為主動件，按外形可分為盤形凸輪、圓柱形凸輪和移動凸輪等。通常情況下從動件與凸輪作點或線接觸，其中滾子推桿與凸輪做滾動摩擦，使得兩者之間因為摩擦而受到的損失都非常小，且工作時產生的噪聲也很小，因此可用于動力傳遞較大的結構，有其他形式從動件所沒有的特點，應用十分廣泛[2]。凸輪一般情況下作等速的回轉運動或者是簡單的往復直線運動。由于凸輪的輪廓曲線可以決定從動件的運動規律，故繪制凸輪輪廓曲線具有一定的現實意義。

現在關于凸輪輪廓曲線設計一般分為兩種：一種是傳統的圖解法，一種是解析法。其中傳統的用作圖方法來繪制凸輪輪廓曲線有很大的弊端，不僅工作量很大，而且精確度不高。通過人工處理，把這些通過試驗測得數據描繪成曲線，往往會出現很大的差錯，并且不同的人產生的誤差也有所不同，特別是對于一些精確度高的試驗，更不

基金項目：河北省研究生創新資助項目（CXZZSS2017173）;北華航天工業學院科研創新項目（YKY201502，YKY201616）能采用傳統的人工處理方法，否則就會嚴重影響數據的準確度以及圖形的精度。解析法可以精確計算輪廓線上各點的坐標，誤差比較小。當從動件運動比較復雜，工作量大時，用MATLAB軟件可以很容易進行凸輪輪廓曲線的解析法設計[3-15]。

本次設計選擇的是擺動從動盤形凸輪機構，利用MATLAB強大的數據處理、繪圖功能對凸輪的運動規律進行運動學仿真，首先運用公式計算出凸輪理論輪廓線上和實際輪廓線各點的坐標[16-17]，然后在MATLAB中通過繪圖指令plot可以完成直角坐標系下凸輪輪廓曲線以及對推桿的位移s、速度v及加速度a曲線的繪制，且相比傳統的圖解法，精確度更高，擬合更好。

1 總體設計方案

1.1 推桿的運動規律

通常情況下，要完成凸輪機構的設計任務，推桿的運動規律和凸輪的相關尺寸是根據所給定的條件以及凸輪機構的類型來決定的，然后根據所決定的推桿的運動規律通過一系列的計算，設計出凸輪應有的理論輪廓曲線以及實際輪廓曲線。所以說選擇合適的推桿的運動規律至關重要，這不僅關系到接下來研究的難易，還關系到凸輪機構的工作質量。

通常來說，推桿的運動規律，就是推桿的位移s與時間t，速度v與時間t和加速度a與時間t之間的變化規律。擺動從動件盤形凸輪經常情況下為等速運動，推桿的運動規律可以用推桿的運動隨凸輪轉角δ變化而變化來表示。其中余弦加速度運動規律的加速度曲線在開始的時候運動有急劇的增加或者急劇的減小，在結束時也會發生這樣的狀況，所以也會有柔性的沖擊，這種運動規律的凸輪結構只適用于中速凸輪機構。如果從動件在整個運動過程中不會停止時，加速度的曲線是連續不斷的，因而就不會發生沖擊現象，這種情況下就適用于高速凸輪機構中，具體公式如下。

推程時從動件的運動方程為:

1.2 凸輪輪廓曲線的設計

根據設計要求選定了凸輪結構的型式，以及設計要求中的基本尺寸，計算所得的推桿的運動規律及計算出的凸輪的轉向后，接下來就該進行凸輪輪廓曲線的設計了。

凸輪輪廓曲線設計所依據的基本原理是反轉法原理（圖1）。反轉法原理：根據相對運動原理，假設整個凸輪機構繞凸輪軸心施以角速度－ω時，這種情況下各個部件的相對位置發生改變，但是相對運動不變，這樣一來，凸輪可以看作靜止的，而從動件接觸點復合運動的軌跡就是凸輪的理論輪廓曲線。

具體輪廓曲線的方程會在下面數學模型中列出。

圖1 凸輪反轉法示意圖

2 凸輪機構的設計流程和數學模型

2.1 凸輪機構的設計流程

1）輸入凸輪結構的參數，如從動件滾子半徑、盤形凸輪的基圓半徑、擺動從動件的長度、凸輪推程運動角、從動件最大位移、遠休止角和回程運動角等；2）計算擺動從動件凸輪機構的最大壓力角和在理論輪廓上最小曲率半徑使其不超過規定的許用值（否則會發生失真現象）；3）計算凸輪的理論輪廓的坐標；4）計算凸輪的實際輪廓坐標值；5）繪制凸輪輪廓圖形。

圖2 擺動從動件盤形凸輪機構

2.2 建立數學模型

建立關于擺動從動件盤形凸輪機構的數學模型，如圖2所示。

理論廓線方程為：

式中：a為中心距；l為長度；δ為凸輪的轉角；φ為盤形凸輪的角位移；φ0為推桿的初始位置角，其值為

盤形凸輪實際輪廓的對應點（x′,y′）的方程為：

其中，rr為滾子半徑。

凸輪理論輪廓上的機構壓力角

式中：e是盤形凸輪的偏距；s是推桿產生相對的位移。

凸輪理論輪廓曲線上的曲率半徑為

凸輪輪廓直角坐標的一階導函數:

二階導函數：

因此，利用解析法來求出凸輪輪廓,需要從動件運動規律相對應的函數關系，對應地求導其一階導函數ds/dδ和二階導函數d2s/dδ2,然后將這些導函數代入到式（1）~式（7）中進行計算。從余弦加速度運動規律上可以看出，回程位移與推程位移之間有一定關系，計算回程時的從動件運動規律中凸輪轉角取值范圍為δ=0~δo′;計算凸輪的理論輪廓直角坐標及其導函數公式中的sinδ、cosδ的凸輪角取值范圍是：

3 用MATLAB軟件進行仿真

3.1 主要使用的功能函數和命令

在MATLAB軟件平臺進行凸輪輪廓設計,主要使用的功能函數和命令是:1）for-end循環。以凸輪轉角δ作為循環控制變量，實現對凸輪某個運動角或整周區域的輪廓計算。為加快運行速度，可在循環結構執行之前建立全零數組命令zeros(n)預先定義數組的大小。2）if-else-if條件語句。檢查凸輪轉角δ滿足的區域（推程運動角，回程運動角或休止角范圍）條件；或在凸輪某個運動角區域的傳力性能參數（如壓力角）或結構參數（如輪廓曲率半徑）數組中滿足極值的條件，然后執行相應的運算。若需要在滿足一定條件時打破循環時，可使用break命令。

關于凸輪輪廓圖形處理程序編制是有以下幾點需要注意:1）為了將理論輪廓、實際輪廓、基圓等多種線圖在同一個圖上顯示出來，應該采用了hold on命令；2）使用了axis equal命令，這樣就不會再發生讓圖形窗口中因為（x，y）坐標軸的不同的比例而造成圖形失真這一現象；3）使用text和 title標注圖形和圖題;利用plot命令中，用不同的顏色，不同線型參數來描繪同一個坐標軸上不同的線圖，使圖形表示更加詳細，更容易讓人看懂，不會造成混淆；4）使用legend根據曲線屬性添加圖例說明，便于區分各個曲線的具體含義和內容。

3.2 滾子從動件各階段MATLAB程序編制

根據建立的數學模型，利用MATLAB中函數編輯后計算出來，求出所需設計的凸輪的理論，實際輪廓曲線，并且利用plot函數進行制圖，把從動件運動時的加速度a、速度v、位移s利用己有函數畫出來，并進行盤型凸輪與滾子從動件之間運動學仿真。

4 M文件以及運行結果

4.1 M文件

編寫M文件來求出凸輪的輪廓曲線，基圓半徑，推桿的運動規律。其中所需要的數據有：擺桿轉軸到凸輪軸心的距離a=160 mm；擺桿長度l=100 mm；滾子半徑rT=10 mm；推程運動角φ=120°；回程運動角φ′=150°；遠停程角φs=30°；擺桿最大角位移30°；初始位置角φ0=15°。等角速度ω逆時針方向轉動，余弦加速度運動規律。M文件具體如下：

4.2 MATLAB仿真運行結果

由MATLAB編輯的M文件可以得到擺動從動件盤形凸輪機構的基圓、理論輪廓曲線和實際輪廓曲線，以及推桿的位移曲線、速度曲線和加速度曲線，具體如圖3~圖6所示。由圖3可以清楚地看出凸輪機構的理論輪廓線、工作輪廓線、基圓半徑，由圖4~圖6，我們能直觀地看出凸輪從動件的運動規律。

圖3 擺動從動件盤形凸輪的理論輪廓曲線和實際輪廓曲線

圖4 從動件位移曲線

圖5 從動件的速度曲線

圖6 從動件的加速度曲線

5 結語

本文利 用MATLAB軟件對擺動從動件盤形凸輪機構的運動進行了分析，此軟件可簡捷、方便、直觀地反映出從動件的速度與時間的關系、位移與時間的關系以及加速度與時間的關系，應用MATLAB軟件可以很直觀看出凸輪機構的輪廓曲線，對研究凸輪機構的運動具有很大的現實意義。