高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用研究

張紅宇

【摘要】在高中數(shù)學的學習中，高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用在學生的學習中十分重要。導數(shù)公式的應(yīng)用對高中數(shù)學中對于函數(shù)極值的求解，及函數(shù)單調(diào)性的判斷具有一定的價值。本文對導數(shù)及導數(shù)公式進行了一個簡單的概述，對高中數(shù)學導數(shù)公式應(yīng)用的價值進行了簡單的研究。希望能夠?qū)Ω咧袛?shù)學的教學有所幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 導數(shù)公式 應(yīng)用研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）06-0298-01

前言

近年來，隨著新課標的不斷改革，導數(shù)公式的應(yīng)用在高中數(shù)學的教學部分占據(jù)著越來越大的比重，人們對新課改數(shù)學題目的研究逐步加強。在高中的學習中，數(shù)學、物理、化學的學習在某一方面有著相互融合相互滲透的作用。導數(shù)公式的應(yīng)用不僅在高中數(shù)學的教學中有著重要的作用，對于物理、化學也有一定的借鑒作用。

一、導數(shù)及導數(shù)公式

（一）導數(shù)

導數(shù)是微積分中的重要概念，是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。不是所有的函數(shù)都有導數(shù)，若某函數(shù)在某一點導數(shù)存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。對于可導的函數(shù)f（x），xf'（x）也是一個函數(shù)，稱作f（x）的導函數(shù)（簡稱導數(shù)）[1]。

（二）常用的導數(shù)公式

導數(shù)公式的使用，需要學生一定的適應(yīng)時間和過程，需要學生從鞏固導數(shù)定義出發(fā)，進行應(yīng)用。常見的導數(shù)公式如下：

①C'=0（C為常數(shù)函數(shù)）

②（x^n）'=nx^（n-1）（n∈Q*）；熟記1/X的導數(shù)

③（sinx）'=cosx

④（cosx）'=- sinx

⑤（e^x）'=e^x

⑥（a^x）'=（a^x）lna （ln為自然對數(shù)）

⑦（Inx）'=1/x（ln為自然對數(shù)）

⑧（logax）'=x^（-1）/lna（a>0且a不等于1）

⑨（x^1/2）'=[2（x^1/2）]^（-1）

⑩（1/x）'=-x^（-2）

（u±v）'=u'±v'

（uv）'=u'v+uv'

（u/v）'=（u'v-uv'）/ v^2

二、高中數(shù)學導數(shù)公式應(yīng)用的價值

隨著新課標的改革，高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用在高考中所占的比重越來越大，高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用已經(jīng)成為學生們在數(shù)學、物理、化學的學習過程中十分重要的學習工具。導數(shù)公式的應(yīng)用貫穿于整個高中理科的學習，例如物理中對物體的瞬時速度和加1速度的表示[2]。導數(shù)公式的應(yīng)用實際上就是對可導函數(shù)的推導過程，對導數(shù)公式的應(yīng)用不僅可以體現(xiàn)在平常的習題聯(lián)系和考試上的解題方法，還可以體現(xiàn)在我們實際生活中的方方面面，例如在我們生活中碰到的利潤最大化的問題和求最高效率的問題等等。這些都可以利用函數(shù)的思想和高中數(shù)學的導數(shù)公式對其進行求解。

1.教學中我們可以引導學生利用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強的技巧性，較難掌握好，而用導數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡便而且快捷。

2.還可以利用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強的技巧性，較難掌握好，而用導數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡便而且快捷。

3.也可以用導數(shù)證明不等式：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。

4.此外導數(shù)在求曲線的切線中也有廣泛的應(yīng)用：導數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)f（x）的導數(shù)存在，則的函數(shù)f（x）在x=x0處的導數(shù)即為該函數(shù)在點（x0，f（x0））切線的斜率。利用這個我們可以求出曲線的切線方程。

例如已知曲線l∶y=x2-2x+a，求過點P（2，-1）的曲線l的切線方程。

解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，

則當x=2時，y=a，y′=2.

①當a=-1時，點P（2，-1）在曲線l上，故過點P的曲線l的切線方程為y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，

②當a≠-1時，點P不在l上，設(shè)曲線l過點P的切線的切點是（x0，y0），

則切線方程為y-y0=（2x0-2）（x-x0）且點P（2，-1）在此切線方程上，

所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.

又y0=x20-2x0+a，

則有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，

Δ=16-4（3-a）=4（a+1），

當a<-1時，Δ<0，切線不存在。

5.另外我們還可以引導學生利用導數(shù)解決數(shù)列問題：數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重要部分，而數(shù)列求和是中學階段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一，有許多初等解決方法。事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，再運用導數(shù)來解決數(shù)列求和的有關(guān)問題。

高中數(shù)學新教材中增加的導數(shù)初步知識，為高中數(shù)學注入了新的活力，有利于溝通初高等數(shù)學的聯(lián)系，因此導數(shù)的應(yīng)用將成為新教材高考試題的熱點，所以在教學中，穿插與滲透導數(shù)的應(yīng)用，培養(yǎng)學生應(yīng)用導數(shù)的意識和能力應(yīng)引起人們的高度重視，特別是復習以函數(shù)為背景或解決與函數(shù)有關(guān)的方程，不等式及應(yīng)用問題時，滲透導數(shù)的應(yīng)用，拓寬解題思路，在應(yīng)用中增強學生用數(shù)學的意識，開拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

所以，在學習高中數(shù)學導數(shù)公式的時候，學生不僅要掌握導數(shù)公式的概念和應(yīng)用的方法，還要學會把數(shù)學導數(shù)與其它知識相結(jié)合，和我們的現(xiàn)實生活相結(jié)合，這樣才能夠?qū)⒏咧袛?shù)學導數(shù)公式進行充分合理的應(yīng)用，在遇到問題時找到合適的辦法[3]。

三、結(jié)論

在高中數(shù)學的學習中，高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用在學生的學習中十分重要。導數(shù)公式的應(yīng)用對高中數(shù)學中對于函數(shù)極值的求解，及函數(shù)單調(diào)性的判斷具有一定的價值。高中數(shù)學導數(shù)公式的有效應(yīng)用能夠提高學生們解題的效率，增加學生們對于學習的自信心，而且還能夠促進學生們數(shù)學、物理、化學的學習，為學生們今后的學習打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]農(nóng)仕科.關(guān)于高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用研究[J].中學數(shù)學，2014，（3）：76-77.

[2]郝利軍.關(guān)于高中數(shù)學導數(shù)公式的應(yīng)用研究[J].文理導航（中旬），2014，（8）：19-19.

[3]胡海燕.導數(shù)公式在高中數(shù)學中的應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2014，（3）：37.