有結構地教數學

林傳忠

（廈門市湖里區教師進修學校，福建 廈門 361009）

結構是指組成整體的各部分的搭配和排列，它是決定事物性質的重要因素。知識都是結構化之后的產物，大到各學科的知識體系，小到一篇文章、一個學習內容都無例外。同樣，能夠保存在學生頭腦中的知識也是經過學生內部思維結構化的知識，沒有經過內部結構化的知識是無法進入學生知識體系的，即使進入了，也會在一段時間之后忘記的。

數學是一門邏輯性很強的學科，知識的結構較為突顯。為了讓學生學習知識有結構，那么平時教學就要有結構。但目前很多教師在教學中卻很少思考這個問題，以致產生以下的教學現象：

缺乏結構的教。教材有其內在的邏輯，但教材在編寫時，只能按課時對學習內容進行切割，所以每節課的內容看起來是相對獨立的，易使教師拘泥于具體內容的“就課論課”，缺乏對教學整體的把握。[1]由于很多教師并沒有理解知識內在的結構，在教學時只是按照教材的課時安排，按部就班、一課一課地進行，教學內容缺乏內在聯系，學生學到的是零散的、沒有結構的知識，學生學得累，學習效果差。

缺少能力的教。數學教材在編排時雖是以知識內容來呈現，但能力培養是蘊含其中的，而能力的形成是一個過程性的產物，無法用知識直接呈現出來，如果知識的學習是一條明線，那么能力的形成就是一條暗線，很多教師只關注明線，卻忽視了暗線，結果學生從一年級學習到六年級，沒有形成良好的學習能力，離開了教師就不會學習。或是教師在教學過程中沒有明確的能力培養意識，時有時無，沒有持之以恒，沒有循序漸進，結果能力也無法形成。

布魯納認為結構化學習有以下重要的意義：一是結構性的內容才能使學生理解；二是有結構性的內容才會在學習后期保持不容易遺忘；三是學生從結構化中學到的原則原理將有助于在未來類似的情境中產生正向的學習遷移；四是從結構性知識中學到原理原則后，可以培養學生探究的能力，以便從事獨立研究獲取更高層次的知識。

為此，數學教學內容選擇與設計要有結構，教學過程實施也要有結構。

一、設計有結構的教學

數學知識之間有著內在的邏輯關系，先前的知識是后續知識學習的基礎，后續的知識是先前知識的發展與延伸。這樣的聯系除了體現在知識內容上，還體現在數學思想方法的聯系上。在教學設計時要站在更高一個層面來思考與把握，努力實現教學內容與過程的結構化。

1.形成知識內容結構

要形成知識內容結構，在設計某個教學內容時，可以思考以下幾個問題：（1）本課要學習的知識與之前、之后的什么知識有聯系?（2）這些聯系能為本課的學習起什么作用?（3）怎樣去設計有結構的教學?通過對以上三個問題的思考，對教學內容進行“前瞻后顧”，使要教學的內容能納入學生已有的知識邏輯結構之中。

如教學《三角形的高》，在此之前學生已學過了平行四邊形的高和梯形的高，平行四邊形的高定義是“從平行四邊形一條邊的一點向對邊引一條垂線，這點與垂足之間的線段叫作平行四邊形的高，垂足所在的邊叫作平行四邊形的底”。再看三角形高的定義是“從三角形的一個頂點到它對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底”，可見，“高”的本質就是線外一點到這條線的垂線段。之后還要學習長方體、正方體、圓柱、圓錐的高，這些高的本質都是一樣的。理解這個之后，三角形高的教學便做如下設計：

（1）請畫出平行四邊形、梯形底（圖略）上的高，然后說一說什么是平行四邊形的高、梯形的高?

（2）根據平行四邊形的高的畫法，你能畫出下面三角形（圖略）的高嗎?說一說你為什么這樣畫?

（3）說一說什么是三角形的高？

（4）比較一下平行四邊形的高與三角形的高，有什么相同點與不同點?

以上的教學設計就是立足于已學過知識的基礎上展開的，這樣三角形的高就不再是一個單獨的概念，而是與平行四邊形的高、梯形的高建立起了聯系，形成了知識結構。到后面長方體、正方體、圓柱、圓錐的高的教學時，也可以聯系之前學習的高，這樣小學階段學習的各種圖形的高就形成了一個結構，學生對高的本質理解就深刻了。

像這樣的知識在小學中比比皆是，比如：商不變性質、分數基本性質和比的基本性質；除數是一位數的除法和除數是兩位數的除法；多位數乘一位數、兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數口訣等。這些知識之間都有內在聯系，在教學設計時如能進行前后勾連，這樣知識就形成結構了。

2.形成數學思想方法結構

數學內容除了知識上有內在聯系外，更重要的是數學思想方法的聯系。數學思想方法是數學的精髓。日本著名數學家米山國藏說過：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘記了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”掌握了數學思想方法并形成結構，學習數學就抓住了本質。

如在教學長度單位的度量、角的度量、面積的度量、體積的度量時，這些度量的基本思想就是：一要有統一的計量單位；二是看被測量的物體含有多少個這樣的單位；三是計量單位既是測量的單位，也是被測量的對象。所以在教學設計時就要抓住度量的基本思想，建立起度量的方法結構。如在設計《角的度量》一課時，便可做如下設計：

（1）下面兩條線段（圖略），哪條長些?你可以怎樣知道?

引導學生得出，想要得到準確結果就要通過測量，就要有單位。看測量的物體有多少個這樣的單位。

（2）下面兩個角（圖略），哪個角更大些?你可以怎樣知道?

在學生思考的基礎上，引導學生對比剛才比較長度的做法，讓學生產生這樣的想法：要比較這兩個角的大小，就要進行測量，要測量就要有單位。這個想法很重要，可以說是測量的本質。然后引導學習角的單位“度”，接下來的教學就水到渠成了。

以上的設計旨在溝通度量的本質，建立起思想方法結構。有了這樣的結構之后，學生在學習面積和體積等測量時，包括在面對不同測量內容時，學生在思維上就能主動產生并運用這樣結構去思考解決問題，度量這個數學知識就活起來了。

類似這樣的思想方法聯系的內容有很多，如整數加減法、小數加減法和分數加減法教學中，整數加減法要求數位對齊，小數加減法要求小數點對齊，分數加減法要化成同分母，加減法的最本質的要求就是相同計數單位的數才能直接相加減。又如人教版二年級下冊第2單元《2—6乘法口訣》和第4單元《7—9乘法口訣》的教學，其本質就是把求幾個相同加數的和的乘法式子用語言表達出來。

在對教材進行解讀設計時，要透過教材表面找到內在數學思想方法，并建立內在結構，這樣學生學習才能不斷地知其然，又知其所以然，對于數學思想方法的理解才能更為豐富與深刻，隨著活動經驗的不斷積累，學生的學習就逐漸有章法起來，學習效益就會提高。

二、實施有結構的教學

數學教材從外在來看是一節一節地安排，呈現出來的是靜態知識，但在實施教學過程中，要有結構化的思考。結構化教學在具體實施中可從兩個層面落實：橫向結構教學層面和縱向結構教學層面。橫向結構教學層面是指在一節課的教學中，要把知識與技能的學習、數學能力的訓練、數學思想方法的培育、數學學習情感的引導等方面，有結構地融入一節課的教學中，盡可能提高一節課的厚度與品質，實現學生全面發展，橫向結構教學層面追求的是一種廣度。縱向結構教學層面是指在教學時循序漸進地推進同一種思想方法、同一板塊的內容落實，形成由低向高，由單一向綜合的目標達成的教學結構，從而促進學生能力、思想方法等可持續性的發展，縱向結構教學層面追求的是一種深度。

（一）橫向結構教學——實現整體目標

一節課的教學不能只滿足于知識技能目標的達成，而應是在達成知識技能目標的同時，把能力培養、數學思想有機地融入其中，從而實現整體目標的達成。下面以《平行四邊形面積》一課的教學為例，談談如何在知識與技能教學中落實整體教學。

1.推理能力的培養。教學時先給出一個平行四邊形的草地，讓學生說說該如何算這塊草地的面積，學生可能會得出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”的結論，這時不要馬上去評價這個結論的對錯，而是要問：你為什么會這樣想？讓學生說出思維的依據，學生可能會說出：長方形是特殊的平行四邊形，長方形的面積是長×寬，是兩條鄰邊相乘的結果，那么平行四邊形的面積也可能是兩條鄰邊相乘的結果，所以就可以得出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”。學生這樣思考是有理有據的，從推理的角度上看，這個過程就是一個類比推理，即從特殊到非特殊的過程。有了這個理解，當學生提出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”這個結論時，不可因學生得出的結論是錯誤的，而否定了推理的過程，而應是充分挖掘其思維價值，并給予方法肯定與引導：剛才這位同學根據平行四邊形與長方形的內在關系，通過長方形的面積計算公式，大膽且有據地推測“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”，雖然結論是錯誤的，但思考的方法是非常正確和有價值的，這也是創新的開始。這樣就把推理能力培養融入其中了。

2.轉化思想的培養。學生猜想“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”之后，發現猜想是錯誤的。這時教師可以引導：我們已學過了長方形的面積計算，看看能不能把平行四邊形轉化成長方形呢？在此啟發下，學生便能將手中的平行四邊形轉化成長方形，學生可能轉化成以下幾種情況（參見圖1）。

圖1 平行四邊形的轉化

教師在此基礎上提問：為什么要轉化？為什么要轉化成長方形？為什么要沿著高剪？學生對這些問題的回答達到以下幾個目的：因為平行四邊形面積計算是未知的，所以要轉化成已知的；明確轉化本質的要求是把未知的轉化成已知的；要轉化成長方形，四個角必須是直角，要形成直角，必須沿高來剪。學生通過動手實現轉化，又通過回答問題進一步明確如何轉化與為什么要這樣轉化，這樣學生對于轉化思想方法就知其然又知其所以然了。

3.空間觀念的培養。當學生完成平行四邊形面積推導后，教師讓學生閉上眼睛，教師用語言說推導的過程，學生在腦中想出推導圖形的變化過程：一個平行四邊形，現在沿著高剪下，然后把剪下的部分平移，與剩下的圖形拼成一個長方形，這時平行四邊形的底相當于長方形的長，這時平行四邊形的高相當于長方形的寬。教師在說的時候語速放慢，讓學生有足夠的時間在腦中想象相應的圖形及變化的過程，這個過程不僅強化了學生對平行四邊形面積公式由來的理解，還有效培養了學生的空間觀念。

通過以上的教學，我們可以看到，這節課除了知識教學之外，還對學生進行了推理能力、轉化思想、空間觀念的培養，這節課內涵就豐富了。

一節課除了表層的知識之外，還蘊含著數學能力、數學思想方法、數學文化等內容，教師在教學時要有整體的意識，盡可能地發掘這些內容并在知識的教學過程中加以落實，從而形成一個立體的教學結構，達成全面培養學生數學核心素養的目標。

（二）縱向結構教學——達成深度落實

數學學習就是不斷去發現問題、解決問題的過程。學生數學能力與方法就在解決問題的過程中不斷形成、內化與發展。如果教師在教學過程中，只是通過講解的方式讓學生理解，學生的能力是無法形成的，能力只有在具體解決問題的過程中才能形成與發展。培養學生能力的基本過程是：教師講解，學生理解——學生模仿，嘗試運用——掌握方法，解決同質問題——運用方法解決非同質的問題。良好的能力不是經過一次或幾次的訓練就能達成，而是要通過不斷的運用，才能得以不斷地強化與靈活化，實現能力由弱到強的發展，解決問題的經驗才能不斷得以積累。為此，在教學過程中，就要尋找學習相關知識背后的能力與方法，并建立起循序漸進的培養結構，分層次地持續進行培養，讓學生在學習知識的過程中理解方法、運用方法、內化方法，這樣學生才能逐漸提高能力。課程論專家江山野也指出：整個教學過程也就是一個“從教到學”的轉化過程。在這個過程中，教師的作用不斷轉化為學生的學習能力。

轉化思想方法是小學數學教學要培養的重要思想方法，在小學知識學習中有著廣泛的運用。學生形成了良好轉化思想之后，在面對未知的問題時，就能自覺地采取轉化的方法來嘗試解決。但轉化思想的形成不是一兩節課就能完成的，而是在不斷運用轉化思想解決問題的過程中形成與內化的。現在以圖形與幾何領域中面積公式教學內容為例，談談如何進行縱向結構教學（參見表1）。

表1 面積結構公式的縱向結構教學

從表1可以看出縱向結構教學的情況：教學過程隨著內容的變化不斷增加了學生自主運用轉化思想方法的時空間，教學方法也相應發生變化，體現由扶到放、由放到創的過程，教學目標及具體的轉化方法上也體現出不斷提升與豐富的趨勢。通過縱向結構教學，學生轉化思想方法就能由理解到內化，從內化到運用，從一般性運用到創造性地運用，不斷豐富學生運用轉化思想方法解決問題的活動經驗，當學生再次面對未知問題時，轉化數學思想方法就能很容易從學生思維中提取出來，成為一種活的知識與能力。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。[2]為此，數學教學要有整體意識、結構化意識，設計有結構的教學內容，實施有結構化的教學，從而促進學生知識與技能、能力與素養、經驗與情感全面而深刻的發展。▲