高中數學直觀性教學策略的必要性研究

張曉斌，許洪斌，盤如春

（1.重慶市教育科學研究院，重慶 400015；2.重慶市彭水中學校，重慶 409600；3.重慶市永川中學校，重慶 402160）

數學直觀性教學是指：教學過程中，在實物（客觀事物）、模型（圖片、圖形、有關數學實例）及語言（形象化語言、形體語言）等的刺激作用下，學生從觀察、試驗開始，通過歸納、抽象在頭腦中建立起與數學現象相聯系的感知覺、表象，繼而上升為數學概念、定理、法則等。它克服了詞語脫離事物、理解脫離感知，數學脫離生活的矛盾，幫助學生更好地理解概念、定理，同時實現了從具體思維向抽象思維的順利過渡。高中學生的思維特點是，抽象思維逐漸占優勢，但還需要具體的、直觀的感性經驗的支持，教師要認清學生這一思維特點，恰當運用直觀性教學，使學生更好地理解和掌握抽象的數學理論知識。

一、從當前中學數學課堂的現狀來看直觀性教學的必要性

當前中學數學課堂的現狀是怎樣的呢？走進課堂，不難發現：課堂形式單調、教學內容呆板、學生缺乏興趣、思維僵化等問題，具體原因當然是多方面的，但這與教師的教學缺乏直觀性有關。

1.課堂教學過于程序化、嚴謹化。當前在中學數學的課堂上，教師在教學過程中常將數學問題的解決過程過于嚴格化、程序化。教師偏重于演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，忽視直覺思維的突發性理解與頓悟作用，忽視數學形成過程中生動直觀的一面及包含著大量源于直覺思維的結果，從而導致課堂形式呆板、內容結構枯燥、學習思維僵硬。

2.教師對直觀性教學認識不足。由于教師對直觀性教學的概念、分類、模式、評價及操作策略等缺乏必要的認識，導致教師在教學設計、課堂實施、課后評價等諸多環節，都沒有主動地、有目的地應用直觀性教學的原理與策略去引導、啟發學生的思維，而依然過分地強調學生要“言之有理，言之有據”，有意或無意間掩蓋了直覺的光芒，導致學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，而把成功往往歸結于邏輯的功勞，對自己的直覺反而察覺不到。

3.學生對學習數學缺少興趣。在數學教學中，由于教師對發展學生直覺思維能力的認識不足，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的，同時也對數學學習缺乏取得成功的必要信心，從而逐步喪失了對數學的學習興趣。

4.學生創造性思維能力培養缺失。由于教師缺乏對直觀性教學的足夠認識，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，從而一定程度上限制了學生創造性思維能力的發展。因為學生的內在潛能沒有被很好地激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，體驗不到直覺思維的真正樂趣，長此以往，造成數學教學成效的負遷移，從而給學生創造性思維的健康發展設置了障礙。我們認為，直覺思維與邏輯思維同等重要，在注重發展邏輯思維能力的同時，還應該注重發展觀察力、直覺力、想象力，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的健康發展，受控制的精神和富有靈感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

二、從數學學科特點來看直觀性教學的必要性

數學具有抽象性、嚴謹性和應用的廣泛性三大顯著特點，歸根結底在于其抽象性。而數學學科就其自身而言，它是一個奇妙的混合體：抽象與直觀；特殊個例與一般性理論；圖形操作與形式符號推理等。一方面人們贊美數學的高度抽象性，另一方面人們又討厭其令人難以捉摸的抽象理論，特別對于初學者來說抽象性就如一座座橫亙在學生面前的陡峭山峰難以逾越；一方面人們喜愛迷宮般的圖形幾何游戲，樂于進行一些類似棋類競技一樣的字謎活動，另一方面，數學課程卻又是一部分學生最不愿意面對的抽象學科；一方面人類極盡美好的詞匯贊美數學家深邃的思想和超人式的智慧，另一方面卻又對于數學家嚴謹的思維方式望而生畏。

怎么看待數學這個奇妙的混合體，特別是采用什么樣恰當的方式進行中學數學課程教學？法國當代著名數學家迪多涅（J.Dieudonne）的一段論述，或許對我們有一定的啟示。他說，“人們很怕看到數學誤入歧途，遠離直覺的觀念。事實上，數學家的直覺由于長期的習慣往往比感官直覺得出的概念內容要豐富。這就產生一種奇怪的現象，即由感官直覺轉移到完全抽象的對象上。最突出的例子是幾何學的語言逐步侵入看來與之相距甚遠的數學領域。許多數學家似乎從其中發現了他們研究工作的精確指南。數學理論的發展常常由下面兩個因素混合而成：一方面是帶有極強的個人特色的原始思想，另一方面是許多數學家的集體合作，這些數學家發掘這些數學思想的各種可能的發展，并按照不同的方向推出他們的結論。數學的進展絕不是沿著同樣的道路有規則地向前發展?！盵1]

根據迪多涅的這段話，可見數學直覺是一種寶貴的原始思想，數學中的個例也是一樣。推而廣之，學生在紙上的涂涂畫畫、描描算算，看似簡單直接，但是這些可操作的數學活動都是學生尋求解決問題的最實際的途徑。數學思想是抽象的，可是怎么發現和找到它們呢？對類似于生活常識般的直覺、圖形描畫、簡單的個例推算等，這些都是我們不可超越的過程。數學教師沿著這個直覺的方向教學，每一句話易于理解，學習者沿著這個直覺的方向，可以探尋困難問題求解的答案。請看下面的案例：

案例1人教A版選修4-5第二講《證明不等式的基本方法——比較法》中的例2。[2]

對于高中學生來說，證明這樣的不等式并沒有太大的困難，但是下面的“糖水濃度”的實際情境卻讓我們生動地看到這個不等式的直觀含義。

上面的“直觀觀察”方法是不是一種數學證明？這是一個頗受爭議的教學問題。但是按照我們的觀點，這應該也不失為一種邏輯證明，當然它與我們通常意義下的形式證明有一點區別。但是我們并不能夠簡單地拒絕這樣的數學證明。

教材正是通過“糖水加糖，水更甜”這樣一個直觀的“思維實驗”來抽象出上述不等式。這樣的直觀性教學案例，學生易于接受、易于理解，而且也為解決相關的問題提供了一種思維模式，我們不妨把這種直觀稱為實驗性直觀或實物性直觀。如學生再遇到下述不等式：已知a，b，c，d為正數，且c＜d，求證學生也會自然地將其理解為兩杯不一樣甜的糖水倒在一起所抽象出來的。下面一個更加復雜的例證能更加說明問題。

證法2：在n個元素中固定一個元素a，那么從n個元素中取m個元素可分為兩種情形：一定不取a，共有種取法；一定取a，共有種取法。兩者加起來共個取法。

這樣的直觀不依靠任何幾何圖形，僅僅依賴不同組合方式的等價性，或者不同組合程序的等價性。我們不妨把這種直觀稱為程序性直觀。

由此可見，在我們數學的課堂上，利用直觀性的教學策略來處理數學問題很有必要。

三、從學生的認知規律來看直觀性教學的必要性

教學的直觀性，體現了學生的認知規律。人們認識客觀世界是從感官接觸外界事物開始的，數學教學活動是一種特殊的認識活動，其特殊性主要表現為：學生學習數學的過程是在教師的指導下有目的、有計劃、有組織地重復“發現”前人所總結的數學知識（經驗）的過程，正如新課程所倡導的“在教學中要引導學生積累數學基本活動經驗”[3]。如果教學脫離感知，那么學生的認識將是空中樓閣，很難深刻地掌握知識。教學中運用直觀性教學手段的目的就是提供給學生豐富的感性材料，使學生更好地獲得理性知識。這符合學生思維發展規律。列寧指出，“從生動的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到實踐，這就是認識真理”[4]。這就是說認識的第一階段必然是生動的直觀，是學生所能直接感知的具體形式，而不是抽象的概念和詞語。

同時，建構主義理論認為：知識并不是通過教師傳授灌輸給學生，而是由學生依據各自已有的知識和經驗，主動地加以建構而獲取的。高中數學新課程標準強調學生對知識的主動建構。要實現這一過程，必須要建立在學生對數學理解的基礎上。直觀恰好可以使知識具體化、形象化，為學生感知、理解和記憶知識創造良好條件，特別是對數學概念的理解更是如此。

案例2關于有理數與無理數的認識問題

小學生學過分數與小數，在小學階段這部分內容從數學理論上看相對簡單。分數可以化為小數，小數也可以化為分數。你認同上面這段話嗎？如果你認為上面這段話是正確的話，那么說明你對于小數與分數的概念是十分模糊的。任何分數都可以化為小數，這句話是正確的?？墒恰靶狄部梢曰癁榉謹怠边@句話是錯誤的，可以化為小數，但是不可以化為分數。同樣，圓周率π=3.14…通常都是采用無限小數的表達方式，可是π卻不存在分數形式。

通常中學教科書在“數的分類”中都偏重于讓學生了解“有理數與分數的密切關系”，但是卻忽略了“小數與分數的巨大差異”。如何認識無理數呢？認識與理解無理數是一個相當復雜、困難的概念。在中學，它的定義是“外延式”的，盡管給數學的概念下定義，通常不能用“外延式”，但在這里，由于學生受知識積累的限制，用無理數與有理數互補的關系來給出定義，不失為明智之舉。也就是說，我們并不能夠正面敘述無理數的內涵，我們只能夠采用“外延排除”的方式來定義無理數：所有的無限小數稱為實數，可以化為分數的實數是有理數，其他的都是無理數。因此有理數與分數的概念是等同的，分數具有直觀性，因為它由整數構造出來，而整數是我們的直覺和常識認知的對象（一些動物對于較小整數也具有計數能力）。在這里，我們用對分數的直覺感知，去認識無理數，學生理解起來相對較容易。當然，學生在以后的學習中，會學習到用相對抽象的方式直接定義無理數，如戴德金分割、康托爾的基本序列、無窮小數等[5]，那是后話。

很多人都從分數來類推小數的概念，大多數教科書甚至把小數與分數捆綁在一起，認為小數也可以建立在直觀認知層面上。殊不知，無限小數的概念其實非常抽象，不像我們所想象的那樣簡單直觀。有人曾經測試過大學數學專業二、三年級的學生，0.999…是小于1還是等于1呢？大約一半的學生認為0.999…小于1。同時在一個100人組成的中學數學教師培訓班上提出這個問題，全班老師異口同聲回答0.999…小于1。[6]這說明無限小數是一個相當抽象的概念。

可見，教學需要直觀的引領，特別是對于數學中那些比較抽象的概念，但直觀也并非是解決一切數學問題的萬能鑰匙。教師要善于應用直觀性教學方式來啟迪學生的智慧，激發學生的求知欲。同時，要善于在直觀與抽象之間找到一個平衡點，將抽象寓于直觀中，在直觀中提升抽象，實現學生認知能力的提升。

四、從學習的獲得來看直觀性教學的必要性

從心理學家特瑞克勒（D.G.Treichler）的研究我們知道：人們的學習有83%是通過視覺獲得的，11%是通過聽覺獲得的。直觀性的視覺材料比用詞語所代表的抽象概念更容易被感知、掌握，這是因為：一方面，前者顯示出多維性，如具體的模型是三維的，而一般的平面圖形、函數圖像、表格等都是二維的，而詞語則是線性的；另一方面，前者更接近于知識的本原，可以激起學生積極的學習心理意向，形成良好的學習動機，從而樂于將新知識納入原有知識結構。

案例3 在學習人教A版高中數學必修2空間幾何體一章時，有這樣一道題：

在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1（參見圖1）容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：

①水的部分始終呈棱柱狀；

②水面四邊形EFGH的面積不改變；

③棱A1D1始終與水面EFGH平行；

④當E?AA1時，AE+BF是定值。

其中正確說法是____。[7].

圖1

在不給出直觀圖（線性思維）、給出直觀圖（二維思維）、用裝有水的長方體水杯演示（三維思維），這三種教學方法的對比中，發現使用第三種教學方法，學生更容易接受和理解該題，且學生的學習積極性也更高。在之后遇到相關問題時，學生在頭腦中會重現裝有水的杯子，即使沒有實體，學生也可以借助空間想象正確處理。由此可見，在教學中，越直觀、越多維的數學材料更能引起學生的興趣，學生的收獲也更大。

五、從對直觀性教學的理論研究來看直觀性教學的必要性

對直觀性教學的研究發現，直觀性教學?？煞譃閷嵨镏庇^、圖形直觀、符號直觀、模型直觀、模式直觀、語言直觀等。各類直觀間是相互依存、相互轉化的關系，如語言直觀中又分為自然語言直觀與形式語言直觀，而形式語言直觀又常含有圖形語言、符號語言等。

通過以上的分類可以發現，直觀性教學是非常適合當前數學課改所倡導的落實學生核心素養的教學方式。直觀性教學的實施過程體現出一種由具體到抽象、由特殊到一般、由低級到高級的認識事物的基本過程。其過程的發展是由教師引導過渡到學生獨立運用，直至解決實際的數學問題。這一過程起始于對客觀事物、實物模型、圖形等的觀察，經過教師的啟發誘導，充分調動學生利用表象進行思維，把握整個問題情境，形成對問題解決途徑的判斷，然后在此基礎上，進行邏輯證明。在這一系列逐級抽象的過程中，無不包含著由觀察而導致抽象、概括的過程，從而培養學生的觀察能力、聯想能力、想象能力、判斷能力和實踐能力等。

案例4 人教A版選修2－3第1章第3節《“楊輝三角”與二項式系數的性質》。[8]（參見圖2）

教科書將二項式系數性質的討論與“楊輝三角”結合起來，其用意深遠：一方面，因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內容，如對稱性、單調性、離散性等，觀察楊輝三角圖形，發現其與二項式系數的聯系之后，再通過觀察楊輝三角數的規律可以直觀看出二項式系數的性質。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為“式算”。用楊輝三角形來計算，稱作“圖算”。無疑，用“圖算”的方式來理解二項式系數的性質與應用，更能培養學生的各種能力。另一方面，二項式系數組成的數列又是一個離散函數，引導學生從函數的角度研究二項式系數的性質，建立知識的前后聯系，使學生體會用函數知識研究問題的方法：畫出它的圖像，利用幾何直觀、數形結合、特殊到一般的數學思想與方法進行思考。這對發現規律，做出判斷，并在實踐中形成證明思路等都有好處。

上述過程，不僅有利于學生理解本節的核心數學知識，發展其數學應用意識，也有利于培養學生的思維能力、理性精神和實踐能力。

圖2

因此，教師在教學過程中，恰當地應用直觀性的教學方式，常可以使抽象的數學知識易于接受和理解，會給學生學習數學帶來樂趣，從而激發學生學習數學的興趣，增進學生的求知欲望，啟發學生的創造性思維，這不正是我們教學所要追求的嗎？▲