基于優化分類的機械振動信號壓縮感知

王 強， 張培林， 王懷光， 吳定海， 張云強

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

近年來，隨著計算機信息技術的不斷提高，機械設備狀態在線監測與故障診斷正朝向網絡化、遠程化、無線化方向發展[1-2]。在新的狀態監測與故障診斷模式下，監測系統對機械設備信號采集與傳輸技術提出了更高的要求，同時，隨著機械設備技術的改善，機械狀態監測信號的帶寬不斷拓展，在傳統奈奎斯特定理的信號采集模式下，信號采集將產生大量的狀態監測數據，從而大大增加了信號存儲與傳輸的難度。壓縮感知是一種新興的信號采集理論[3]，它突破了奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的限制，在壓縮感知理論下，信號的采集過程能夠實現采樣與壓縮的合并，從而大大節約信號存儲空間、降低信號傳輸的數據量。

機械振動信號中包含了大量機械狀態信息，因此是機械狀態在線監測與故障診斷的重要依據[4]。由于機械設備自身結構復雜、工況惡劣，機械設備的機械振動信號表現為復雜的時域非稀疏信號，數據間相關性不明顯[5]，因此給機械振動信號的壓縮感知帶來了巨大的困難。目前，眾多學者對機械振動信號的壓縮感知方法進行了探索，郭亮等[1]利用壓縮感知原理實現了振動信號的數據壓縮，取得了良好的效果，但是其采用的離散傅里葉變換稀疏字典的適應性有待進一步改進，佟路等[6]利用壓縮感知原理實現了回轉支承的信號采集，通過小波降噪的方式克服原始振動信號難以稀疏的問題，但這種方式在一定程度上增加了信號采集端的工作量與復雜度，王懷光等[7]結合閾值降噪的方法，利用提升小波實現了機械振動信號的壓縮感知，取得了良好的壓縮降噪效果，但其重構信號中部分有用信號丟失?？梢钥闯觯捎跈C械振動信號的特殊性，其稀疏字典的設計是實現振動信號壓縮感知的關鍵，為此本文提出基于優化分類的機械振動信號壓縮感知方法。該方法根據分塊后信號的能量將不同信號塊進行分類，采用量子粒子群 (Quantum Particle Swarm Optimization, QPSO)[8]的優化方法，在獲得最佳的分類效果的同時，提高分類效率，并利用K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition, K-SVD)[9]的字典學習能力，獲得與不同類信號相適應的稀疏字典，從而改進機械振動信號壓縮感知效果。

1 機械振動信號壓縮感知

壓縮感知理論由Candes等[10-11]提出，由于其在欠采樣條件下仍然能夠保證原始信號的精確重構，因此得到廣泛關注，并用在圖像壓縮[12]、醫療成像[13]等領域。機械振動信號壓縮感知是壓縮感知理論在振動信號處理領域的應用，根據壓縮感知理論框架，機械振動信號壓縮感知主要包括三部分內容：稀疏分解、壓縮觀測、信號重構。

機械振動信號稀疏分解是其實現壓縮感知的前提條件，并直接影響到原始信號重構的效果。假設機械振動信號為x∈RN，將信號在正交字典下稀疏分解，稀疏字典為Ψ={Ψ1，Ψ2，Ψ3，…，ΨN}，則機械振動信號x可以表示為

(1)

式中：s為信號的稀疏系數向量，若機械振動信號在稀疏字典Ψ下具有稀疏性，則稀疏系數向量中包含了零元素或絕對值較小的元素。機械振動信號的稀疏性是其可壓縮性的具體表現，當稀疏系數向量中非零元素以及絕對值較大元素的個數為K(K?N)時，可近似地認為信號為K-稀疏信號。

壓縮觀測是信號壓縮感知的具體實現方式，壓縮觀測的效果取決于測量矩陣的設計，假設機械振動信號測量矩陣為Φ，則對于上述K-稀疏信號，壓縮感知可以表示為

y=Φx=ΦΨs=Θs

(2)

式中：y為觀測信號；Θ為感知因子；Φ∈RM×N(M?N)，M為觀測數目，從式(2)可以看出，壓縮觀測的過程本質上是一個信號從N維降到M維的過程。

Candes等[11]指出，要實現原始信號的精確重構，測量矩陣必須充分保留原始信號的特性，即滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property, RIP)，并指出，矩陣元素獨立同分布于高斯、貝努力等隨機分布的測量矩陣，在觀測數目M≥O(K×log(N/K))的條件下能夠滿足RIP性質，保證原始信號的精確重構。

經過壓縮觀測后得到的機械振動信號，在維度上大大降低，遠小于原始的維度，因此原始信號的重構問題表現為病態，線性方程的個數遠小于未知元素的個數，但由于機械振動信號具有稀疏性，因此在稀疏字典下稀疏系數向量的重構存在可能，機械振動信號重構模型可以描述為

s′=arg min‖s‖l0stΘs=y

(3)

式中：s′為稀疏系數重構向量， ‖s‖l0表示求解s向量中非零元素的個數?？梢钥闯?，信號重構為NP難問題，為此，Donoho等[14]提出將上述非凸優化問題轉化為凸優化問題，即利用l1范數代替l0范數進行近似求解，從而降低原始信號重構的難度，并利用線性規劃問題快速獲得稀疏系數向量的重構結果，最后利用稀疏字典重構出原始信號。

2 自適應稀疏字典設計

由于機械設備結構復雜、工況惡劣，導致機械振動信號自身具有復雜性，因此其稀疏字典設計困難?，F階段，機械振動信號主要采用固定基字典，在一定條件下能夠取得一定效果，但是固定字典適應性不強，稀疏分解效果有待于進一步改進，為此本文提出了自適應的稀疏字典設計方法，通過構造自適應稀疏字典，提高振動信號重構效果。

圖1 自適應稀疏字典設計方法Fig.1 The design for adaptive sparse dictionary

自適應稀疏字典的設計方法如圖1所示，從圖中可以看出，該方法主要包括三部分內容：信號分割、QPSO優化分類、K-SVD訓練字典。

2.1 信號分割

當測量的機械振動信號長度較大時，通常采樣信號分割的方式，將長信號分割為相對較小的信號塊，一方面通過信號分塊的方式降低了測量矩陣構造的復雜度，降低了信號壓縮感知的難度，另一方面，滿足字典訓練以及稀疏分解階段，K-SVD算法對原始信號的結構要求，假設分塊后信號塊個數為T，則信號分割過程可以表述為：

x→X={x1,x2,…,xT}

(4)

式中：xi(i∈1,2,…T)表示第i信號塊，對于分塊后的信號，信號塊的能量是衡量不同信號塊結構特性的重要指標，對于能量相近的信號塊，在信號形態上表現出相似性，按照能量分類能夠將具有相似形態的信號塊聚合到一起，通過這種細致的分類方式，能夠有效提高字典訓練階段的收斂效果以及字典與原始信號的適應性，從而提高稀疏字典的質量。為此本文依據不同信號塊的能量，將信號塊進行分類。假設第i信號塊能量為ei，則信號塊能量序列可以表示為

E={e1,e2,…,eT}

(5)

假設信號分割長度為t，則式中ei為

(6)

2.2 QPSO優化分類

本文通過QPSO優化信號塊分類過程，保證信號塊分類效果，提高信號分類的效率。量子粒子群是粒子群算法的改進，通過引入量子理論，QPSO避免了傳統粒子群算法容易早熟的問題，并且在計算復雜度上，由于QPSO操作算子少，計算簡單，因此算法優化效率較高。

為快速實現信號塊分類的目的，本文將信號塊能量序列按照能量的大小進行排序，因此QPSO優化參數即為能量序列分類位置。假設分類個數為n，則待優化的位置參數個數為n-1，通過n-1個位置參數，可以將能量序列分割為n塊，從而實現機械振動信號塊分類的目的，因此設計量子粒子群單個粒子的信息為pi(T1,T2…Tn-1)，Ti表示第i-1類信號塊與第i類信號塊之間的分類位置。

QPSO優化的目標函數為不同類信號間能量均值的方差，從而保證不同類信號塊之間的區分度：

(7)

式中：

(8)

ei表示第i類中所包含的所有能量序列，mean()表示求平均值，numel()表示求元素的個數，T表示信號塊個數。

因此在QPSO優化分類過程中，以分類位置為待優化參數，以式(7)為目標函數，計算每個粒子的信息，并對粒子進行優劣評價。根據評價結果，確定每個粒子飛行的速度，完成粒子信息的更新，直至達到迭代條件，輸出最終的分類位置，實現最佳的信號分類方式。

2.3 K-SVD訓練字典

現有以固定字典為基礎的稀疏分解方法適應性差，難以實現機械振動信號的有效稀疏分解，為此本文采用了基于K-SVD的稀疏字典構造方法，并將訓練得到稀疏字典用于重構過程，改善機械振動信號重構效果。

針對上述分類后的機械振動信號塊，對每一類信號塊分別利用K-SVD算法訓練得到稀疏字典，字典的訓練過程中，字典原子的更新過程逐個進行，假設待訓練的信號塊為X，訓練字典為Ψ，待更新字典原子為Ψi，則字典更新可以表述為：

(9)

式中：S為稀疏系數矩陣;sj表示矩陣S的第j行。通過對Ei進行奇異值分解，并利用奇異值分解后的奇異值向量對字典原子進行更新。當訓練字典Ψ中各原子均得到更新時，即完成一次迭代過程，整個過程通過迭代次數Inum進行控制，當Inum達到預設值Imax后，迭代終止。根據經驗值，文中將迭代次數預設值為20，此時既能夠保證字典訓練質量，又能夠盡可能降低訓練時間。

由于利用了機械振動信號塊進行學習訓練，因此獲得的字典與原始信號的適應性較強，在字典下信號塊能夠獲得良好的稀疏分解效果，在壓縮感知重構過程中，與測量矩陣共同構造壓縮感知因子，能夠有效改善壓縮感知重構效果。

3 壓縮感知算法流程

稀疏字典設計是壓縮感知的前提，在自適應的稀疏字典基礎上，采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣，基追蹤(Basis Pursuit, BP)算法作為重構算法，機械振動信號壓縮感知算法流程如下：

步驟1將原始機械振動信號進行分塊，求得每個信號塊的能量，構造信號塊能量序列e。

步驟2將能量序列按照能量由大到小進行排序，獲得排序后的能量序列e′。

步驟3利用QPSO實現信號分類過程。

步驟4利用K-SVD獲得不同類信號塊的稀疏字典。

步驟5構造高斯隨機測量矩陣，完成機械振動信號的壓縮觀測過程。

步驟6利用BP算法重構原始機械振動信號。

為評價壓縮感知效果，定義評價指標壓縮比CR以及峰值信噪比PSNR，壓縮比為：

(10)

式中：n1、n2表示壓縮感知前后機械振動信號的長度。

峰值信噪比為

(11)

(12)

4 實驗與分析

實驗數據為美國凱斯西儲大學軸承實驗中心滾動軸承實測信號，數據采集于滾動軸承振動實驗臺架，實驗裝置主要包括：感應電機、滾動軸承、自動校準聯軸器、加速度傳感器以及相關設備，實驗裝置如圖2所示。滾動軸承采用了SKF公司生產的6205-2RS深溝球軸承，軸承主要參數如表1所示。

圖2 振動實驗臺架Fig.2 The rig of vibration test

內圈直徑/mm外圈直徑/mm厚度/mm滾動體直徑/mm節徑/mm25.0052.0015.008.18244.20

實驗過程中，振動實驗臺架工作載荷為2.2 kW，此時電機輸出軸轉速為1 730 r/min。實驗故障采用電火花腐蝕的方式，分別在軸承外圈、內圈、滾動體上加工有凹槽，凹槽深度為0.053 mm，圖3為實驗臺架在不同狀態下的實驗測量數據，信號采樣頻率為12 kHz，圖中為0.5 s內信號的時域變化圖。

圖3 實測信號Fig.3 The measured signal

4.1 本文算法性能分析

為研究本文算法對機械振動信號的壓縮感知效果，選取6 400個點作為樣本信號。為盡量減少壓縮感知后的數據量，信號分割過程中信號塊之間不重疊，因此當信號分割長度l確定后，信號分塊個數即為6 400/l。信號塊的分割長度一定程度上影響了本文算法的性能，當l較小時，信號塊個數多，量子粒子群粒子搜索范圍偏大，并且壓縮感知過程工作量增加，因此會導致機械振動信號的壓縮感知效率降低，另一方面，當l增加時，測量矩陣中隨機元素個數會不斷增加，盡管分塊壓縮感知的方式能夠有效降低測量矩陣的構造復雜度，但是隨著信號塊維度的增加，測量矩陣隨機元素個數仍然呈線性增加，增加了存儲壓力，降低了矩陣構造效率。

圖4給出了時間消耗隨信號分割長度的變化情況，從圖中可以看出，對于不同狀態信號，當l小于16時，時間消耗隨著信號分割長度的增加而不斷降低，此時信號塊個數較多，粒子群迭代過程與壓縮感知過程的計算量較大，導致時間消耗較多，隨著l的減少，信號塊的個數不斷減少，時間消耗不斷降低。當信號分割大于16時，時間消耗趨于穩定，但當分割長度l進一步增加時，時間消耗又會緩慢升高，此時測量矩陣構造的復雜化導致單個信號塊壓縮與重構過程的時間消耗增加，因此算法的整體時間消耗體現出上升趨勢。因此l取值16，此時算法的時間消耗最小。

圖4 時間消耗Fig.4 The time consumption

針對上述滾動軸承實測信號，設置信號分割長度為16，則信號塊個數為400，計算各信號塊能量，構造能量序列如圖5所示。

圖5 能量序列Fig.5 The sequence of energy

以圖5中信號塊能量大小為分類依據，利用QPSO算法對400個信號塊進行分類。設置QPSO粒子種群規模為100，記錄粒子群每次迭代中的最優適應值，結果如圖6所示，從圖6中可以看出，隨著迭代次數的增加，適應值體現出上升趨勢，當迭代次數大于30時，僅有部分信號適應值沒有收斂，變化緩慢，當迭代次數值大于40時，四種狀態適應值幾乎不再變化，因此設定迭代次數為40，此時既能夠保證不同類信號間的分類效果，又能夠提高分類效率，減少QPSO的時間消耗。

圖6 迭代收斂效果Fig.6 Convergence effect of iteration

結合圖3、5、6可以發現，QPSO分類效果與機械振動信號時域幅值、信號塊能量的大小密切相關，時域信號幅值越大，分塊后能量序列的幅值越大，QPSO分類后適應值越大。當滾動軸承工作在正常狀態時，機械設備更多的受到噪聲信號的影響，機械振動信號的結構特性與可稀疏性較差，信號分塊后，能量序列規律性較差；當滾動軸承工作在故障狀態時，故障信號明顯改變了正常狀態下信號的結構，在弱故障信號條件下，故障信號與正常信號、噪聲信號混雜，信號在時域變得更加復雜，結構特性與稀疏性變差，而在較強故障信號的影響下，信號在時域幅值提升，分塊后能量序列規律性增強，并且可以發現，故障信號的時域加速度幅值越顯著，能量序列的規律性越強，此時故障信號一定程度上改進了機械振動信號的結構特性與可稀疏性，降低了噪聲對機械振動信號的影響。

基于優化分類的壓縮感知算法，其分類的個數是影響壓縮感知效果的重要因素。當分類個數較大時，同屬一類的信號塊個數將會減少，字典訓練過程中用于字典訓練的樣本將較少，則字典的訓練質量將得不到保證，甚至存在訓練樣本過低而無法實現字典訓練的情況。根據經驗值，設定最大分類個數為12，則不同信號的壓縮感知重構效果隨分類個數的變化規律如圖7所示。

圖7 最佳分類個數Fig.7 The best number of classification

從圖7中可以看出，滾動體故障、內圈故障、外圈故障、正常狀態的最佳分類次數分別為9、2、5、3。而在PSNR數值上，PSNR(內圈故障)> PSNR(正常狀態)>PSNR(外圈故障)>PSNR(滾動體故障)。壓縮感知采用了K-SVD稀疏字典，由于K-SVD具有自適應的學習能力，在自適應稀疏分解過程中，結構性越強的信號在K-SVD下稀疏分解越好，字典質量越高，因此其重構PSNR的大小可以作為衡量信號結構特性的指標，對于上述四種滾動軸承振動信號，可以認為在信號的結構特性上，內圈故障信號最優，其次為正常信號，滾動體故障信號最差。因此可以得出結論，對于結構特性好的信號，最佳的分類個數少，信號結構特性越差，最佳的分類個數越多。

在最佳的分類個數條件下，設定壓縮比CR為2，壓縮感知效果如表2所示。實驗過程中增加了未經分類以及隨機分類的機械振動信號壓縮感知作為對比，表中△PSNR為本文算法相對于未分類的壓縮感知重構信號PSNR的提升值。

表2 壓縮感知效果(PSNR/dB)

表2中可以看出，本文算法的重構PSNR最高，好于未分類以及隨機分類的重構效果，證明了本文優化分類的壓縮感知算法的有效性。相對于未經分類的壓縮感知效果，在PSNR提高值上，△PSNR(滾動體故障)>△PSNR(外圈故障)>△PSNR(正常狀態)>△PSNR(內圈故障)，PSNR提高值的大小順序與PSNR數值的大小順序相反，結合PSNR大小與信號結構特性的對應關系，可以得出結論，本文算法對結構特性較差的信號PSNR提升效果明顯。

相比于未經分類的K-SVD算法，本文算法有效提升了信號的重構PSNR，但同時也增加了算法的復雜度，降低了算法的運行效率，在相同的硬件條件下，算法的運行時間是算法復雜度的一個重要體現，針對上述滾動體故障信號，本文比較了在不同信號長度下本文算法相對于未經分類的K-SVD重構信號的PSNR變化量△SNR以及算法運行時間變化量△t：

(13)

(14)

圖8 △PSNR以及△t隨信號長度的變化Fig.8 △PSNR and △t with the change of signal length

從圖8中可以看出，隨著信號長度的增加，△PSNR波動幅度較小，平均值為16.58%，而△t隨著信號長度的增加而不斷降低，直至趨近于0%。可以看出，相對于未經分類的K-SVD，雖然本文算法一定程度上增加了運行時間，但當信號長度過大時，時間增量△t很小，而△PSNR基本不隨信號長度的變化而發生變化，因此在處理大長度信號時，本文算法在犧牲少量運算效率的條件下，能夠大幅提升信號重構效果。

4.2 對比驗證

針對上述不同狀態軸承振動信號，采用不同壓縮感知算法作對比，觀察信號在不同長度、壓縮比條件下的重構PSNR。對比算法分別采用了文獻[15]中基于DCT的壓縮感知方法、文獻[16]中基于小波基的壓縮感知方法以及文獻[17]中基于K-SVD的壓縮感知方法，基于K-SVD的壓縮感知方法實質上等同于上述未經分類的壓縮感知方法。實驗結果如表3所示。

表3 不同算法性能對比(PSNR/dB)

(b) 內圈故障

(c) 外圈故障

(d) 正常狀態

表3中△PSNR1、△PSNR2、△PSNR3分別表示本文算法相對于DCT、小波基、K-SVD的PSNR增量。從表中可以看出，對于同一種信號，在壓縮比相同時，信號的長度對信號的壓縮感知效果影響不大，在信號長度相同時，壓縮感知效果隨壓縮比的增加而不斷降低。信號的結構特性對壓縮感知的效果影響作用較大，對于弱故障信號(滾動體故障、外圈故障)，在不同壓縮比下，信號重構效果較差，對于強故障信號(內圈故障)或者正常信號，信號重構效果較好，結論與前文相一致。對比不同算法，可以發現，對于不同狀態信號，采用自適應學習字典的K-SVD與本文算法的重構PSNR明顯高于采用固定字典的DCT、小波基，特別是對于強故障信號、低壓縮比狀態，PSNR提升明顯。對比K-SVD與本文算法，可以發現，本文算法有效改善了K-SVD對弱故障信號在壓縮感知重構中存在的不足，如在壓縮比為1.6的滾動體故障信號壓縮感知重構中，本文算法相對于K-SVD的PSNR平均提升量達到4.76 dB。同時，從表中可以看出，壓縮比對本文算法的性能有所影響，在壓縮比較小時，本文算法相對于K-SVD的改進效果明顯，綜上所述，本文算法更適用于低壓縮比的情況。

4.3 實測信號驗證

為進一步驗證本文算法的有效性，對實測發動機曲軸軸端信號進行壓縮感知，對比不同算法的壓縮重構效果。發動機為三缸柴油機，傳感器采用的是YD-181型加速度傳感器，設置發動機分別工作在正常狀態、單缸失火、兩缸失火狀態，實測信號，如圖9所示。

圖9 曲軸軸端信號Fig.9 The signal of the crankshaft end

從圖9中可以看出，發動機在工作過程中產生強烈的振動信號，由于發動機特殊的工作過程，曲軸軸端信號在時域存在周期性的沖擊信號，這種沖擊信號在一定程度上使得振動信號具有較好的結構特性與稀疏性，有利于信號的壓縮重構。針對上述信號，取信號長度為6 400，根據經驗設定壓縮比為2，比較不同算法的壓縮感知效果。信號重構的PSNR如表4所示，從表中可以看出，本文算法的重構效果最好，同時，采用訓練字典的K-SVD與本文算法明顯好于采用固定字典的DCT與小波基，對比K-SVD與本文算法，可以發現在K-SVD的重構PSNR較小時，本文算法相對于K-SVD的改善效果較好，實驗結果與前文一致，因此本文算法能夠有效改善發動機曲軸軸端振動信號壓縮重構的效果，算法的有效性得到進一步驗證。

表4 壓縮感知效果(PSNR/dB)

5 結 論

針對復雜機械時域振動信號復雜、數據間相關性差導致的信號稀疏困難、壓縮感知效果差的問題，提出了基于優化分類的機械振動信號壓縮感知算法。本文算法在信號分塊的基礎上，以信號塊的能量為依據，采用QPSO優化算法，將信號塊進行分類。分類后不同類信號間能量均值的方差達到最大，保證不同類信號之間充分區分。最后利用K-SVD訓練生成與不同類信號相適應的稀疏字典，提高了機械振動信號在字典下的稀疏效果，從而改善壓縮感知信號重構效果。通過滾動軸承在不同狀態下實測信號的壓縮感知實驗，充分驗證了本文算法有效性。