大假設(shè)思維法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探究

◎韋新祥

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。學(xué)生在數(shù)學(xué)課程上學(xué)到的內(nèi)容不僅僅是在數(shù)學(xué)學(xué)科方面有價(jià)值，更重要的是對(duì)其發(fā)展有重要價(jià)值，讓學(xué)生經(jīng)歷那些有利于其終身發(fā)展的學(xué)習(xí)活動(dòng)，如觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、交流、反思等”。

在學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)大體包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。其中思維貫穿于每一個(gè)方面，緊密相融。數(shù)學(xué)對(duì)思維的訓(xùn)練，主要是演繹與歸納的邏輯推理能力。

我校的課堂教學(xué)改革理念與新課標(biāo)提出的理念完全相符，在教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)活動(dòng)中，始終以思維為主線，要突出“大假設(shè)思維法”以推動(dòng)學(xué)生的科學(xué)思維、批判性思維以及創(chuàng)新性思維的發(fā)展，充分發(fā)揮其在知識(shí)建構(gòu)以及提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)中的作用。

“大假設(shè)思維法”是探究未知世界的科學(xué)思維方法，它由“假設(shè)形成”與“假設(shè)檢驗(yàn)”兩個(gè)基礎(chǔ)環(huán)節(jié)構(gòu)成，可簡(jiǎn)約為“假設(shè)——檢驗(yàn)”模型。“假設(shè)”是指解釋與解決問(wèn)題的一個(gè)設(shè)想、計(jì)劃或方案（實(shí)際上，各類知識(shí)結(jié)論、各種理論、假說(shuō)、猜想等都可以看作假設(shè)）。“檢驗(yàn)”主要是以邏輯與實(shí)驗(yàn)的方式論證假設(shè)的真實(shí)性。

從思維過(guò)程的角度看，“大假設(shè)法”一般包括五個(gè)步驟：第一、提出問(wèn)題；第二、澄清問(wèn)題（指出問(wèn)題的重點(diǎn)與中心）；第三、提出假設(shè)；第四、演繹法推出假設(shè)的結(jié)果；第五、尋找證據(jù)或用實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)。其中，前三步主要為形成假設(shè)，后兩步主要是驗(yàn)證假設(shè)。

從思維要素組成來(lái)看，“假設(shè)形成”一般以歸納法、類比法以及直覺思維等思維方法為主；“假設(shè)檢驗(yàn)”一般以演繹法、實(shí)驗(yàn)法等思維方法為主。不管是假設(shè)的形成還是假設(shè)的驗(yàn)證，都需借助思維的范疇與方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，從這個(gè)意義上看，各種具體的思維方法（歸納、演繹、類比、分析、綜合等）可看作是大假設(shè)法的思維工具。因此，大假設(shè)法不是一個(gè)具體的方法，它是人們?yōu)樘骄课粗澜缍捎玫母鞣N相關(guān)基本思維方法的有機(jī)組合，是一個(gè)方法系統(tǒng)。

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科以嚴(yán)密數(shù)理推理與論證著稱。隨著新課程改革深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)學(xué)科不僅強(qiáng)調(diào)假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程的數(shù)理演繹證明，同時(shí)，也注重假設(shè)、猜想的形成，關(guān)注數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng)。

例如，在北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）《三角形的中位線》的教學(xué)中，“大假設(shè)法”思維得以很好地體現(xiàn)與運(yùn)用。

教材首先提出問(wèn)題：你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？你能通過(guò)剪拼的方式，將一個(gè)三角形拼成一個(gè)與原三角形面積相等的平行四邊形嗎？

這一問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成與探究的過(guò)程，進(jìn)而在活動(dòng)中形成猜想與假設(shè)，發(fā)展合情推理的能力。學(xué)生在剪拼的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)連接三角形三邊的中點(diǎn)，可以將三角形分成看上去全等的四個(gè)三角形。學(xué)生由此假設(shè)：連接三角形兩邊中點(diǎn)的連線與底邊平行且等于底邊的一半。

假設(shè)是否成立，還需要數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明，發(fā)展學(xué)生的演繹推理。將前面的假設(shè)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言后，形成下列數(shù)學(xué)證明問(wèn)題：

已知：如圖所示，DE為△ABC的中位線

求證：DE∥BC且DF＝BC

證明：（1）如果兩個(gè)三角形相對(duì)應(yīng)的兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，

則這兩個(gè)三角形全等 （大前提）

在△ADE與△CEF中，AC＝CE，∠1＝∠2，DF＝FE（小前提）

則△ADE≌△CEF （結(jié)論）

（2）若兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。（大前提）

△ADE≌△CEF （小前提）

∠A＝∠ECF， AD＝CF（結(jié)論）

（3）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。（大前提）

∠A＝∠ECF （小前提）

CF∥AB（結(jié)論）

（4）等量代換，如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.（大前提）

AD＝CF，BD＝AD（小前提）

BD＝CF（結(jié)論）

（5）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（大前提）

CF∥AB，BD＝CF（小前提）

四邊形DBCF是平行四邊形 （結(jié)論）

（6）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（大前提）

四邊形DFCB是平行四邊形（小前提）

DF∥BC，DF＝BC（結(jié)論）

（7）綜上所證，DE∥BC且 DF＝BC

又例如，北師大版七年級(jí)下冊(cè)第五章第三節(jié)內(nèi)容《簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形》，課程標(biāo)準(zhǔn)中，既有探索等腰三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)，又有認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形，學(xué)生此時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的概念、軸對(duì)稱的性質(zhì)、以及三角形全等的條件，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、類比等活動(dòng)，猜想結(jié)論，發(fā)展合情推理能力，而結(jié)論的正確性需要含有數(shù)學(xué)嚴(yán)密邏輯推理的演繹推理證明來(lái)確認(rèn)。課堂上鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多的探索等腰三角形的特征，并盡量用自己的語(yǔ)言說(shuō)明理由。對(duì)于對(duì)稱軸的描述，學(xué)生可能有不同的回答，有的學(xué)生可能回答是頂角的平分線所在的直線，有的學(xué)生可能回答是底邊上的中線或高所在的直線。要求學(xué)生把自己的觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形畫出來(lái)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言寫清已知與結(jié)論。圖（1）：已知等腰 ABC中，頂角 A的平分線AD所在的直線是ABC的對(duì)稱軸。圖（2）：已知等腰 ABC中，底邊BC上的中線AD所在的直線是ABC的對(duì)稱軸。圖（3）：已知等腰ABC中，底邊BC上的高AD所在的直線是ABC的對(duì)稱

教師此時(shí)恰當(dāng)提問(wèn)“同學(xué)們所說(shuō)的是直線是什么關(guān)系？”“如何證明？”由此引發(fā)、回扣教材中的問(wèn)題，提升思維深度以及合情推理能力。

【提出假設(shè)】：圖形中不同角色的直線的關(guān)系如此直觀，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)或者說(shuō)猜測(cè)它們是同一條直線，這一結(jié)論正是大假設(shè)法思維中的提出假設(shè)，我們都知道，提出假設(shè)往往比如何證明假設(shè)是否成立更具有思維貢獻(xiàn)意義。

【驗(yàn)證假設(shè)】：推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。結(jié)論正確性的確認(rèn)，即是大假設(shè)思維法中的驗(yàn)證假設(shè)，至此，通過(guò)觀察、歸納、類比、猜想，提出假設(shè)（即某一結(jié)論）、驗(yàn)證假設(shè)是否成立（說(shuō)明假設(shè)不成立很簡(jiǎn)單，能舉出一反例即可），大假設(shè)法思維的完整性在本節(jié)課得到了體現(xiàn)。

如何驗(yàn)證？這直指概念的根本、概念之間的根源線脈。對(duì)稱性的本質(zhì)是重合，重合的本質(zhì)是全等，學(xué)生不難饒有興趣的給出“它們是同一條直線”的相關(guān)證明。

已知：如圖（1）等腰ABC中，頂角A的平分線為AD。

求證：直線AD是底邊BC上的中線也是底邊BC上的高。

證明：等腰ABC中，頂角A的平分線為AD

則 AB＝AC（等腰三角形定義）

∠BAD＝∠CAD （角平分線性質(zhì)）

AD＝AD

得 △BAD?△CAD （SAS）

即BD＝CD（全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等）

則直線AD是底邊BC上的中線得證；

又∠ADB＝∠ADC（全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等）

點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線，且 ∠ADB＋∠ADC＝180°

即∠ADB＝∠ADC＝90°

則直線AD也是底邊BC上的高得證。

這樣的例子還有很多，我在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，堅(jiān)持對(duì)學(xué)生進(jìn)行“大假設(shè)法”思維的引領(lǐng)。在學(xué)生的自主學(xué)習(xí)下和老師們的指引下，學(xué)生的思維水平很快有了提高，思維的質(zhì)量有一定的提升，使相當(dāng)一部分學(xué)生體會(huì)到課堂的愉悅，也體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，體會(huì)到學(xué)好數(shù)學(xué)是一種責(zé)任。因而在閑暇時(shí)間，有一定數(shù)量的優(yōu)秀學(xué)生自發(fā)去找題做，在優(yōu)秀學(xué)生的引領(lǐng)下，中等生很快行動(dòng)起來(lái)，從中也體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)。在這種氣氛的感染下，后進(jìn)生也有所行動(dòng)，但還缺乏自覺，此時(shí)在學(xué)生團(tuán)隊(duì)的幫助下，在老師的激勵(lì)下，家長(zhǎng)們的配合下，逐漸形成“你追我趕”、不讓一個(gè)人掉隊(duì)的現(xiàn)象，學(xué)生的思維水平逐步達(dá)到一定的高度，能力得到大大提升，正是在這種狀態(tài)下，學(xué)生的整體成績(jī)、思維的質(zhì)量有一個(gè)大的提高。