最優設計與三重聯結

林革

下列三張圖片分別是蜂巢、肥皂泡和烏龜殼，你能看出它們有什么共同之處嗎？

我先講一個發人深省的案例：

A、B、c、D是4座城市，分別位于一個邊長為100千米的正方形的4個頂點。由于各市人們出行和商業貿易的需求，上級管理部門決定建設一個高速公路網連接這4座城市。為節省建設經費，高速公路總長度越短越好。上級管理部門公開招標后，各種設計方案陸續被提交。

第一個是口字形方案，高速公路的總長度為AB+BD+DC+CA=100×4=400（千米）。這個方案中規中矩，但跟其他3個方案相比，總長度較長的劣勢顯而易見，所以首先被否決了。

第二個是Z形方案，高速公路的總長度為AR+CD+RC=100×2+（千米）。它比第一個方案好，但與第三個方案相比仍有不足，被棄用也不足為奇。

第三個是H形方案，高速公路的總長度為AC+BD+MN=100×3=300（千米）。在中間建一條路MN，總路程短得多，與前兩個方案相比，這個方案的優勢非常明顯。不過，它仍不及第四個方案。 第四個是x形方案，不僅形式簡潔，而且高速公路總長度更短。高速公路的總長度為比第三個方案中的高速公路總長度縮短近20千米。

至此，許多人都有了相同的結論：X形方案是最優設計方案。

果然如此嗎？結果出乎大家預料，甚至讓大家大跌眼鏡，因為又有人送來一個令所有人眼前一亮的方案。這個方案看上去并不簡潔，但經得住推敲，最終使人確信它才是最優設計方案。

當然，這里的計算有些繁瑣。不過，我們只要具備數學基礎知識，就能計算出來，何況旁邊還有直觀的輔助計算圖。在直角三角形那么30°角所對的直角邊GE=57.735×1/2=28.8675（千米），EF=100-28.8675×2=42.265（千米）。所以，在這個方案中，高速公路總長度為AE+EC+BF+FD+EF=57.735×4+42.265=273.205（千米）。

你瞧，這個數據比第四個方案的數據少近10千米。跟高速公路的總長度相比，10千米不算長，但鋪設10千米的高速公路的費用絕對不是一個小數目。所以，第五個方案才是最優的。

我們可以發現，在這個最優設計方案中，E、F兩點處分別有一個三岔路口，相交于E或F的三條高速公路兩兩相交成120°的夾角。也正因為這樣的特點，高速公路的總路程才最短。那么，設計者是如何想到這個方案的呢？

現在，我們要談一個概念——三重聯結。它是指三條線段兩兩相交且形成相同角或相近角的現象。這種現象在自然界中和生活中并不少見，最具典型性的就是蜂巢的結構。早在公元前3世紀，希臘數學家就研究過：蜂巢的正六棱柱是最經濟的形狀，在相同的條件下，它的容積最大。現代科學家測量后發現蜂巢的壁厚約為0.03厘米，用42克蜂蠟制作的蜂巢能儲存蜂蜜1270克。

人們受啟發，設計了采用蜂巢結構的無線電覆蓋方案。這種方案，與能覆蓋同樣范圍的其他方案相比，所需建的塔臺個數最少，大大節省了建設資金。而且，人們可以在相鄰的區域內選用不同的頻率通信，以避免干擾，獲得理想的通信效果。

現在，我們就明白了，其實第五個方案是蜂巢結構平面截圖的局部。如果你想親手制造這種三重聯結現象，可以在透明塑料板上用4枚直立的釘子代表正方形的4個頂點，然后把它們浸入肥皂水，過一會兒，取出它們，觀察所形成的肥皂泡的形狀。

萬物皆有道，自然可為師。如果我們善于觀察、思考，從生活和自然中獲得靈感，便能不斷收獲驚喜喲！