“數學現象”視角下的概念教學*

一、問題的提出：什么是數學現象

圖1

圖2

對于一個對象，人可以有很多種觀點，并在任何一種觀點下產生相應的聯想。對不同的人而言，聯想又是千差萬別的。例如圖1中的一棵樹，可以從植物學、生態學、化學等等不同學科視角出發對其進行研究。若在數學家的視野下，則不難看出其枝干數目恰好構成斐波那契數列。圖2的向日葵結構中，同樣蘊含著一個數學元素——斐波那契螺旋線。一個獨立于學習者的頭腦之外的客觀存在需要學習者的主動探索才能認識，我們可以稱它為“現象”。當我們把一個現象放在數學的視野之中的時候，它就成了數學現象。筆者以為，數學現象不是世界中的新事物，它本來就在世界之中，只是被我們拿來作為數學教學的題材時，我們給了它這個稱呼。簡單地概括一下：數學現象=現實世界+數學觀念。同一個客觀事實，用數學的眼光去看它，它就是數學現象；用語文的眼光去看它，它就是語文現象；用哲學的眼光去看它，它就是哲學現象。對于數學教學而言，數學現象是師生要共同走進的領域。

數學已經具備了高度抽象化與形式化，再加上高度的自洽性，其自身已有足夠的動力和理由讓自己存在和發展下去。所以，數學往往遠離人們的日常生活。拉近數學與學生的距離，讓數學成為認識、改造世界的工具，在當今時代的數學教育中顯得尤為迫切。數學現象就是把來自于自然的素材展示給學生，讓他們用數學的眼光解析它，在這樣的活動和過程中發現數學知識、提煉數學方法、領會數學思想、形成用數學觀念理解世界的情感態度。

當現實世界融入數學領域，我們就可以利用數學王國里豐富的知識和工具來研究它，從而實現更深刻、更抽象、更廣泛意義下的認識。這就是提出“數學現象”概念的用意和它的價值，也是展開現象教學的基礎。

二、概念的比較辨析：數學現象和數學情境

相比于數學情境，數學現象有兩點特性：其一，數學現象更加直接地指向客觀現實，它強調的是用數學眼光看世界，在沒有數學的地方發現數學，把現實中的問題納入數學的范疇；其二，數學現象不是著眼于對學生調動熱情、激發興趣、強化動機，而是強調人與現實的互動、指向人的意志的實現。現實世界就在那里，人們賦予它數學意義，人們用數學工具去解析它、評價它、改造它，它才成了數學現象。當然，在這個過程中人們也體驗到喜悅、快樂和滿足，并感受到自身的價值。

數學情境則重在營造學習氛圍，面向課堂，為數學知識服務。就過程看，它主要關注設疑激趣，讓學生更快更好地進入學習狀態。就結果看，它主要指向知識的建構和能力的形成。雖然在情感態度價值觀上影響學生，但主要局限在“知識”的層面上，告訴學生“這個知識是有用的”或者“這個方法很有效”。在學習了數學知識過后，情境就被甩掉了。筆者所見過的數學情境教學課例，基本都是在課的一開始用情境引入，從全局看，它只被當作一個很次要的環節，在用過以后就被悄無聲息地丟棄了，課堂上被反復提起的是“知識”和“能力”，似乎情境從來就沒有存在過。而在課下，學生的記憶、練習、反思、考試等等，所有的學習活動中已經沒有了對情境的關注。如果說得不客氣一點，大部分情境都是用來“引入新課”的，而引入新課顯然不只有這一種方式。

如果說數學情境教學很符合人性，有利于數學知識的建構，那么數學現象教學就很符合人性與自然性的結合，很利于人的身心發展與自我價值的體現。數學現象相比于數學情境，更加凸顯、關聯真實世界，也更益于學生數學素養的生成。

三、數學現象視角下的概念教學

“盲人摸象”故事告訴我們，盡管盲人們有各種準確的信息，卻不能正確地認識大象。因而如果我們要教學生認識大象，一定是把他帶到大象實體或者是大象的圖片（影像）前，讓他們有完整的認知。數學教學也應該這樣：給學生一個現象，讓他們接受完整而鮮活的數學信息。他們通過自己的信息采集和加工，從而形成的數學知識就是實在的也是容易牢固記憶的。

1.數學現象的選擇：基于概念教學的本源。

要加深學生對教材的理解，尤其是對數學概念的理解，我們一定要帶領學生走進教材，讓他們在原初的概念教學過程中獲得體驗、獲取知識、得到方法，讓不同認知水平的學生在課堂中得到發展。

案例1：在教學“向量的概念及表示”這一節新授課時，學生記憶中已經有力、位移等物理學中的概念，這實際上就是一個現象。在數學課堂教學中我們只要提及這些物理學的概念，學生馬上就知道三要素：方向、大小和起點。所以筆者在教學時用“速度”這個量來導入。

（1）假設貓奔跑的速度為15m/s，老鼠的速度為12m/s，老鼠在前貓在后，那么貓能否抓到老鼠？（學生回答：肯定行，因為貓有明顯的速度值優勢。）

（2）假設貓奔跑的速度為15m/s，老鼠的速度為12m/s，老鼠由一點向東北方向逃竄，如果貓由另一點向正東方向追趕（路線與老鼠逃竄沒有交點），那么貓能否抓到老鼠？為什么？（學生回答：肯定不行，因為貓雖有明顯的速度值優勢，但追趕方向不一致。）

通過這兩個例子，學生能感受到貓抓到老鼠（數學現象）成功與否的關鍵不僅僅看速度的大小，還要考慮速度的方向。從而將向量這個概念最本源的要素體現出來，便于學生對向量的理解。

2.數學現象的呈現：重現數學概念的生成。

合理地呈現數學現象，讓學生親身經歷數學概念生成的過程，能使他們感受概念形成的思維與現實的互動，讓他們體驗思維的魅力和數學的智慧。正如數學家波利亞指出的那樣“學習最好的途徑是自己去發現”。

案例2：筆者在“兩角和與差的余弦”新授課推導 cos（α-β）的公式時，先給學生呈現了10個層層探究的數學現象。

現象1不用計算器，求cos-375°的值。（學生通過誘導公式可以化簡至cos15°。）

現象2究竟cos15°等于多少？（學生對15°角余弦的值確實沒有辦法求解。）

現象3那你知道哪些特殊角的余弦值？（學生列舉了 30°、45°、60°、90°等等特殊角的余弦值。）

現象4那現在的15°與這些特殊角之間有什么關系？（非常多的學生脫口而出15°=45°-30°或者 60°-45°等。）

現象 5 cos15°是否就等于 cos45°-cos30°？（學生由余弦函數的單調性否定了。）

現象 6 那 cos15°、cos45°、cos30°就沒有關系還是它們間存在其他什么關系？如果有關系，那怎么去發現它們間的關系呢？（學生就此陷入思考。）

現象7除了在三角函數中用過余弦，余弦還在什么知識中遇到過？（學生思考后回答向量的夾角公式。）

現象8那15°能表示為兩個向量的夾角嗎？（學生認為可以。）

現象9那怎么樣作這兩個向量？（學生動手作圖，有很多種情況，但總結下來基本上有這四種情況：①任意作夾角為15°的兩個向量的；②放在坐標系里任意作圖；③化為兩個角的差作圖（不妨用60°-45°）；④放在坐標系里兩個角的差作圖（不妨用60°-45°）。這個時候教師要有意識地選擇第4種，啟發學生進一步構造向量的夾角公式的模型。）

現象 10 再由 cos15°類比到 cos（α-β）從而解決問題。

3.數學現象的分析：揭示數學概念的特性。

上述的概念本源和概念形成，讓學生直觀感知了概念的表象，切實經歷了概念意義的生成過程，但這些都還不是概念的最終形態。數學是一門高度嚴謹的學科，概念又是其中最核心的要素，數學概念自有其特殊的屬性。特別在最終呈現形式上，數學概念應該體現出實在性、合理性和結構性，這也是學習數學的要求，更是學生提高數學素養的必由之路。

（1）實在性。所有的數學概念，不論數的范疇內還是形的范疇內的，都是高度概括高度抽象的，它們都是人腦的構造物，在自然界中并不存在。比如在自然界中不存在脫離具體物體的 1、2、3，也不存在沒有厚度的三角形、沒有寬度的圓周、沒有體積的球面，至于方程、函數、矩陣、變換群等等，無一有具體實在的對應物。但是，一旦它被構造出來，在人的腦海中就必須是實在的。它必須具有意義的清晰性和穩定性，能夠被辨認、被區別、被解析、被表達。因而，我們在教學時必須注意調動學生自身的生活經驗，讓學生能夠從感性到理性自主構建概念，在豐富的表象之上體會、揭示數學概念的清晰性和實在性。

（2）合理性。合理性可以明確為：一個數學概念既不應該與其他的概念相矛盾，也不應該是沒有價值的。數學概念的合理性來自于它的邏輯必然，它是必要的也是可接受的。從這個意義上說，教師在教學中的主要任務就是發現學生在理解、總結概念時的邏輯缺點，給學生以啟發，使學生自己在邏輯上修正、完善，讓概念的內涵具備合理性。

（3）結構性。任何一個概念都必然地與其他概念產生聯系，一系列的概念終究要形成一個有機的結構，孤立的概念是談不上“實在性”與“合理性”的，也是沒有存在價值的。教師一定要站在高觀點上把握數學概念的結構性，才能發現學生概念把握的缺陷，從而給予正確的引導，讓學生完善對概念的理解。

概念在最終呈現時的實在性、合理性和結構性，要求在教學時教師要讓學生進行實際的活動、達成真實的意義建構、形成明確可感知的心理表征。那種簡單的告知、機械的記憶以及只在一個名詞上的反復糾纏，都是無效的或低效的教學。

如果要找到一個教學方案以避免“告知”，那么現象教學就是一條絕對值得考慮的途徑。讓學生在對現象的感悟與辨析中，改造與升華活動經驗，在頭腦中形成抽象概念。比如案例1中用“貓追老鼠”來進行向量概念的教學，教師不是首先告知學生“什么是向量”，甚至不跟學生說“這節課我們要學習向量”，而是給出貓、老鼠、追及等實際問題，這些都是學生非常熟悉的，不需要投入任何的注意力。但是，“怎樣追及”就直接指向了“速度”。教師再于適當的時機提供不同的現象（此處也可以稱之為“情境”）變化，學生就能透過現象感受到貓與老鼠跑動的“方向”與“大小”。在實際教學中，學生可以用兩手在桌面模仿老鼠和貓進行追及實驗，動用多種器官加深對“方向”和“大小”的感知，體會不同速度所產生的不同結果。這時，向量的“觀念”就產生了，當然這還不是數學。接下來，再要求他們把速度（其實是向量）畫在紙上，并指明自己所畫的東西包含了哪些內容，這樣的數學化以后，數學上的向量的概念就自然生成了。

4.數學現象的追問：用發展的眼光看待概念。

數學概念是用來描述客觀世界的，但是世界本身不能進入人的頭腦，人們能夠感知的只是它所呈現的一個個現象，通過對現象的認識進而逐步認識世界。顯然，因為現象并不是世界本身，故而我們頭腦里的概念并不一定是正確的，或許它離真相還很遠。基于此，我們就應當引導學生有這樣的心理準備：在必要的時候對概念進行改進，以使它符合于更多的現象。

例如，一個簡單的問題：什么是“形狀相同的三角形”？歐幾里得時代認為它是全等的或相似的三角形，等邊三角形與直角三角形就是“形狀不同”的。數學發展到今天，“形狀相同”的概念則由《愛爾蘭根綱領》（F·克萊因，1872）給出，具體是這樣的：“兩個圖形的形狀相同”是指在某個幾何變換下可以由一個變為另一個。在此觀點下就有如下的結果：在剛體變換群下，兩個全等三角形是“形狀相同”的；在位似變換群下，兩個相似三角形是“形狀相同”的；在仿射變換群下，所有的三角形都是“形狀相同”的；在拓撲變換群下，三角形與所有的簡單封閉圖形（無斷裂無扭結）是“形狀相同”，不論其邊界是直的還是曲的……連簡單的“形狀相同”概念都是這樣，其余的延伸概念就可想而知了。

再回到我們的主題上來。人類的認識總是要進步和發展的，這主要就體現在概念上。認識的進步有兩個途徑，一是歸納，二是演繹。但是，演繹多半只能在已有的概念框架內進行，這種邏輯推演要么在等價概念之間發現聯系，要么是從一般到特殊，不易產生新的知識。歸納則不然，就概念而言，歸納能從下位概念產生涵蓋范圍更廣泛的上位概念，而這種外延上的擴大是從具體的事物和實踐開始的，而“具體的事物和實踐”就是現象。基于數學現象的教學就是把自然的素材展示給學生，讓他們用數學的眼光解析它，在這個過程中發現數學知識、提煉數學方法、領會數學思想。這樣的教學，直擊數學概念的特性與學生的思維特點，值得我們加以研究與嘗試。