引導學生數學思維生長的問題設計*
——以“確定圓的條件”教學為例

/黃秀旺 謝蓓蓓

諾貝爾獎獲得者德國物理學家勞厄曾說過：“重要的不是獲得知識，而是發展思維能力?！苯逃褪且跃唧w知識為載體，發展人的思維能力和科學研究能力。學生數學思維的發展需要教師順著其發展方向，不斷用貼近學生認知水平的問題引導學生思考、探究，將學生以往的經驗和積累變為思維生長的養分?！皢栴}是數學的心臟”，思維又是從問題開始的，因而在初中數學教學中如何以問題引導學生數學思維的發展是一個值得研究的課題，筆者的經驗如下。

一、“萌芽問題”：找準思維生長的起點

要想找準促進學生思維生長的起點問題，教師首先要認真研讀《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）和教材，使得教學目標“合法”“合理”，同時又不能拘泥于課標和教材，要努力思考并尋找與教學中有關系的知識或者生活經驗，作為學生思維的生長起點。

在教學蘇科版數學九年級上冊第二章《圓》的第三節“確定圓的條件”時，筆者首先學習課標和教材，充分理解教學目標——會利用基本作圖完成過不在同一直線上的三點作圓，進而思考學生對這個問題最簡單的認知現狀。在此基礎上，筆者提出了以下問題：

問題1：已知平面上一個點，你可以作一個圓，使它經過這個點嗎？請你試一試。學生作完后，繼續追問：你發現了什么？為什么經過此點的圓有無數個？

問題2：你覺得接下來，我們要研究什么內容？你的提議合理嗎？

通過第一個問題設定的思維場景，學生的思維有了一個自然的呈現狀態，而這種自然的思維狀態就是弄明白課堂“要干什么”——作一個圓，使這個圓經過已知的點。在此基礎上，讓學生進行大膽設想，接下來我們將研究什么內容——研究作一個圓經過兩個點、三個點甚至多個點的問題。學生在教師設置的問題下，會產生好奇的想法，這是十分寶貴的，一是可以不斷激發學生學習數學的興趣，二是激發本節課學生探究的熱情，三是對此問題的思考也是進一步深入思考的入口?？墒?，我們平時聽到的許多課，教師總以為這樣的問題過于簡單，而直接給出結論（作一個圓使得經過已知一點，這樣的圓可以作無數個），甚至跳過去，顯然，這也不符合人的認知規律的。因此，我們提倡在學生進行探究的起始階段，教師要設置“萌芽問題”，讓學生通過“萌芽問題”引發思考，激活思維。

二、“主枝問題”：找準思維力生長的刺激點

美國心理學家桑代克認為：“學習的本質是在刺激和反應之間形成聯結。”的確，學生的數學思維要想快速生長，就需要一些外來的刺激。而教師引導學生自主發現問題、解決問題，就是對學生數學思維的很好刺激，這樣的刺激會慢慢拓展學生數學思維的“最近發展區”，從而使得學生的思維快速生長。這就需要教師提出的問題必須要指向學生數學思維發展的節點，讓學生通過思考自然地架出一座思維的橋。

比如：在這個課例中，怎樣能讓學生感知出線段垂直平分線對確定圓心的作用呢，于是筆者提出了以下問題：

問題3：觀察作出的過一個點和過兩個點的圓，你發現了什么？

學生通過比較不難發現，過一個點所作的圓在排列上并沒有太多規律，而通過兩個點所作的圓在排列上比較整齊。順從思維發展的方向，筆者隨即提出“為什么會比較整齊”，而這個問題的探究和解決是學生數學思維得以生長的重要刺激點，學生通過探究，發現“這些圓的圓心在兩點連線的垂直平分線上”，從而為后面研究過三個點的圓的作法奠定基礎。

問題4：作過平面上三個點的圓，你會怎么研究？

在問題3的基礎上，由“兩個點到三個點”繼續深化研究。三個點需要分為三點在同一條直線上和不在同一條直線上兩種情況來討論，而通過問題3的思維方向，學生對解決“如何過不在同一條直線的三個點作一個圓”的尺規作圖顯得得心應手，并在實踐中自己能夠總結得出“過不在同一條直線的三點確定一個圓”的結論。

三、“旁枝問題”：找準思維生長的發散點

哲學家黑格爾說過：“創造性思維需要有豐富的想象?！眲撔滤季S的技巧性方法中，有許多都是與發散思維有密切關系的。這就要求教學過程不僅要有舊知識向新知識的縱向探究，也要有新知識和所學知識變化結合的橫向發展，學生的數學思維才足夠有深度，對知識的理解也會更加深刻，對問題解決的方法也能更加多樣。

例如，這個課例的另一個教學目標是“了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念”，而由“三個點自然聯想到三角形”是對上個問題的橫向拓展。于是，筆者提出如下問題：

問題5：我們知道，不在同一條直線的三個點首尾順次連接可以構成一個三角形，那么，可以作一個圓，使得它經過三角形的三個頂點嗎？

如果直接告訴學生新概念，學生很容易對新概念產生誤解和混淆。筆者順著學生思維發展的方向，先逐步探究圓心的由來，再由三個點聯想到三角形，在此基礎上自然定義三角形的外接圓、三角形的外心等概念。引導學生在舊知識的基礎上自然生長出新概念，不僅加深對新概念的理解，也讓學生從實踐中體會數學的樂趣和價值。

問題6：對于一個三角形和它的外心，你想研究它的哪些方面？

學生結合以往的經驗，一般能提出兩個問題：（1）一個三角形有幾個外心？（2）一個三角形的外心在三角形的什么位置？而學生提出的兩個問題，在小組的討論、操作與質疑中很快就被解決。

四、“主干問題”：找準思維力生長的路徑

在問題導學過程中，教學目標提出后，常常把學生要思考的內容連成串，精心設計問題生長的路徑，引導學生思維合理生長。從這個課例看，從問題1到問題4是研究過平面內的點作圓的問題，由問題4發散出的問題5、問題6則是種子萌芽后的自然生長。在學生認知能力的基礎上，筆者繼續提出了問題7，使得學生的思維在探究中繼續生長。（圖1）

圖1

問題7：你覺得過不在同一條直線上的四個點是不是一定可以作出一個圓呢？

從問題1起，學生經歷了探究作一個圓過一個點、作一個圓過兩個點、作一個圓過三個點的過程，自然會提出作一個圓過四個點的問題，而這個問題較為復雜，其挑戰在于“不在同一直線的三個點可以確定一個圓”，但“不在同一直線的四個點不一定能確定一個圓”，學生畫一畫，即可獲知。那問題的探究是不是到此結束呢？依學情而定，“如果四個點可以確定一個圓，應具備什么條件”，這個問題讓學有余力的學生興奮不已。雖然探究四點共圓不是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求，但教師不應喪失讓部分學生進一步探究以發展數學思維的機會。更何況，思維需要在一個較好的情境中才能自然生長。

縱觀整節課，以問題驅動方式開展教學，學生得到的不僅僅是一個結果，更重要的是在探究過程中思維不斷生長，從簡單到復雜、從易到難、從封閉到開發，從課標要求到適度拓展，并且不同層次的學生都能得到發展。

恩格斯說，“思維是地球上最美麗的花朵?！睌祵W教學過程是學生數學核心素養不斷提升的過程，這就需要教師在學生思維發展的過程中，設計具有挑戰性、引導性、延伸性的問題，不斷促進學生思維向更深更遠的地方生長。這樣的數學教學過程，才是學生數學思維不斷生長的過程。