解析每一單元 上好每一課時
——“不等關(guān)系與不等式（組）”新授課教學設(shè)計

/凌 佳 彭 亮

一、基于單元知識結(jié)構(gòu)的課時教學設(shè)計

基于單元知識結(jié)構(gòu)的教學設(shè)計意在從整體上重新思考單元知識的教學，這其中，就單元中某一課時的教學設(shè)計而言，需在重新確立的單元知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，明晰其核心知識和學習價值，從而將核心知識和學習價值以某一問題情境的形式出現(xiàn)引發(fā)學生學習，進而通過問題的變換和深入引導實現(xiàn)教學的展開。

一方面，就某一課時的內(nèi)容分析而言，重在從單元知識結(jié)構(gòu)的角度來予以思考和判斷。單元知識結(jié)構(gòu)是某一課時教學內(nèi)容分析的準繩，教師在進行單元知識結(jié)構(gòu)的教學設(shè)計之時，并非僅從某一課時的內(nèi)容出發(fā)來進行設(shè)計，而需把這一課時的內(nèi)容放在單元知識結(jié)構(gòu)中予以重新審視，其意在從單元整體的視角獲得關(guān)于這一課時內(nèi)容的要點及其數(shù)學思想和方法的深入認識。因而，基于單元知識結(jié)構(gòu)的課時教學設(shè)計應(yīng)從整體上關(guān)聯(lián)數(shù)學知識或是其所體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法。

另一方面，就某一課時的教學設(shè)計模式而言，其重在將這一課時內(nèi)容的要點及其數(shù)學思想和方法，通過某一問題情境的形式引發(fā)和展開教學。如若某一課時內(nèi)容的要點及其數(shù)學思想和方法能在單元知識結(jié)構(gòu)下予以明晰，那么，教學實踐中理應(yīng)凸顯這一要點及數(shù)學思想和方法。鑒于此，問題情境的聚焦或可讓學生充分體會某一課時內(nèi)容的要點及數(shù)學思想和方法，進而通過變換問題情境中的數(shù)學問題，幫助學生深入學習相應(yīng)課時內(nèi)容的要點及其數(shù)學思想和方法。

基于單元知識結(jié)構(gòu)的課時教學設(shè)計可在課時內(nèi)容分析的基礎(chǔ)上，通過“問題情境，突出重點”“提出問題，引發(fā)思考”“合作探究，達成共識”以及“應(yīng)用反饋，拓展提升”四個環(huán)節(jié)來進行思考。其中，“問題情境，突出重點”旨在以某一問題情境的方式，將某一課時的內(nèi)容要點及其數(shù)學思想和方法予以體現(xiàn)；“提出問題，引發(fā)思考”旨在從問題情境中提出與這一課時內(nèi)容要點及其數(shù)學思想和方法相關(guān)的問題，從而引發(fā)學生思考；“合作探究，達成共識”旨在通過師生、生生互動和合作，達成關(guān)于相關(guān)問題的共識，從而學習這一課時內(nèi)容要點及其數(shù)學思想和方法；“應(yīng)用反饋，拓展提升”旨在引導學生將所學內(nèi)容運用于相關(guān)數(shù)學和實際問題中，并將其所學習的數(shù)學思想和方法進行適當?shù)耐卣购吞嵘?/p>

二、基于單元知識結(jié)構(gòu)的課時內(nèi)容分析

本節(jié)課是蘇科版初中數(shù)學七年級（下）的一節(jié)新授課，是在學生學習了簡單的“不等號和不等關(guān)系在生活中的表達”基礎(chǔ)上進行的。就本單元的知識結(jié)構(gòu)而言，其中心線索是一元一次不等式（組）的問題解決。這一問題解決的實現(xiàn)基礎(chǔ)是一元一次不等式（組）的概念和一元一次不等式（組）的算理；分析路徑主要是代數(shù)法和圖像法。此外，其所蘊含的主要數(shù)學思想與方法有數(shù)形結(jié)合、類比以及換元化歸等。由此，本單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)可由下圖表示。

圖1 一元一次不等式（組）單元知識結(jié)構(gòu)圖

僅就本課時而言，學生不僅需學會用數(shù)學符號來表達問題情境中所蘊含的不等式（組），還需通過不同的問題情境以豐富對數(shù)學符號的體會，并體驗在解決有關(guān)不等關(guān)系問題中的不同數(shù)學思想和方法的意蘊。

不等式是描述數(shù)量關(guān)系的一種模型，它是學生構(gòu)筑代數(shù)思維的基礎(chǔ)。代數(shù)思維的基礎(chǔ)是能將文字語言（生活語言）與符號語言（數(shù)學語言）進行對應(yīng)，在這里，符號語言不僅是指對字母的數(shù)值含義的明確，也包括了對其中數(shù)量關(guān)系的明確。因此，通過對這一節(jié)課的學習，學生應(yīng)該對不等關(guān)系有較為全面的認識：（1）掌握不等號、不等式、不等式組的概念；（2）會根據(jù)不等關(guān)系列出不等式（組）；（3）能用合理的不等關(guān)系解釋不等式（組）。

三、基于單元知識結(jié)構(gòu)的課時教學設(shè)計

1.問題情境，突出重點。

某市準備對一新修公路的兩旁進行植樹，在這一過程中，工人們遇到了這樣一些問題。看看我們能不能用數(shù)學的方式來進行表示：

A.為了保證所栽種的樹能夠成活，栽種時的樹圍至少是4cm，樹的高度應(yīng)大于4m，小于5m，且樹的種類應(yīng)多于1種，少于4種；

B.為了保證樹種采購的質(zhì)量，市政府規(guī)定所采購的樹種不合格數(shù)不超過20棵；

C.市政府對樹種采購的預(yù)算至多5000元；

D.在采購的樹種中，不滿足上述要求的樹種不多于10棵（這些樹的樹圍都不足3cm）；

E.為了保證道路的美觀和樹的成長，樹與樹之間的間距應(yīng)大于等于4m，小于等于6m；

F.最終，市政府采購了兩類樹種，兩類樹種的單價不相等。

問題：（1）請試著將問題情境中所涉及的不等關(guān)系的文字表述找出來，并進行歸類，且將相應(yīng)類別用數(shù)學符號加以表示；（2）請試著用數(shù)學的方式改寫上述的文字表述。

（設(shè)計意圖：首先，對于初中生來說，用文字表達不等關(guān)系并不陌生，但困難在于學生沒有對所遇到的這些不等關(guān)系進行歸類，從而以更為簡潔的方式認識現(xiàn)實生活中用以表達不等關(guān)系的龐雜的文字表述；其次，學生只有在文字表述、數(shù)學語言以及后面要學習的圖形語言之間建立聯(lián)系，才能更好地幫助學生用不等式來表達和解決其所遇到的現(xiàn)實或數(shù)學問題；最后，文字表述與數(shù)學語言之間的對照，能促使學生深刻地感受到數(shù)學語言的優(yōu)勢，從而讓學生體會到數(shù)學能對復雜的現(xiàn)實世界進行符號化，進而在其所創(chuàng)造的符號世界中對現(xiàn)實世界進行模型化思考。）

2.提出問題，引發(fā)思考。

（1）請找出問題情境中有關(guān)不等關(guān)系的文字表述；（2）想一想，這些表示不等關(guān)系的文字表述可以分成幾類；（3）在數(shù)學上，是否有相應(yīng)的符號與你的分類相對應(yīng)，試著將文字表述與數(shù)學符號一一對應(yīng)。除此之外，還有哪些文字表述也可用來表示相應(yīng)的不等關(guān)系。

（設(shè)計意圖：這一連串的問題旨在引導學生把問題情境中的有效信息提取出來，并理解同一不等關(guān)系可有多種文字表述形式，進而用數(shù)學的語言理解并表示出來。）

首先，通過文字的字面含義可將其歸為五個類別。（可參見圖2）

其次，通過文字表述，找到相應(yīng)的數(shù)學符號來表示。

最后，根據(jù)學生的回答補充“正數(shù)”“非負數(shù)”“不少于”“超過”“落后于”等文字表述，進而形成圖3。

圖2

3.合作探究，達成共識。

結(jié)合不等關(guān)系的符號語言，試著用數(shù)學關(guān)系式來表示以上問題情景中的文字表述。

首先，需設(shè)未知數(shù)表示文字表述中涉及不等關(guān)系的量；其次，找出不等關(guān)系；最后，用數(shù)學關(guān)系式來表示不等關(guān)系。

觀察由上述問題得到的關(guān)系式，相對等式來說它們有什么特點？

（設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)旨在使學生通過關(guān)系式轉(zhuǎn)寫文字表述中不等式的含義，且理解實際問題中所包含的不等關(guān)系。）

4.應(yīng)用反饋，拓展提升。

深化情境：最終，市政府采購了兩類樹種，其中一類樹種的樹圍是4cm，以后每10年增加約12cm，經(jīng)過x年后這類樹的樹圍不少于30cm；另一類樹栽種時的樹圍是6cm，以后10年內(nèi)每年增加約3cm，經(jīng)過x年后這類樹的樹圍將超過30cm。

問題：（1）你能找出其中的不等關(guān)系嗎？（2）怎么用數(shù)學語言表示這里的不等關(guān)系？

此外，課后可以布置以下幾道題目作為家庭作業(yè)：

下列問題中的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該用怎樣的式子來表示？

現(xiàn)實問題：①圖4是公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過40km/h。怎樣表示v（km/h）與40之間的關(guān)系？②天氣的能見度s至少需要10公里，怎樣表示s和10之間的關(guān)系？

圖4

數(shù)學問題：①寫出Rt△ABC中有關(guān)邊、角的不等關(guān)系；②要使代數(shù)式有意義，x的值與3之間有什么關(guān)系？③一個三角形的三邊長分別為1，2，x，則x的取值范圍是多少？

實際應(yīng)用：用甲乙兩種原料配成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下表所示：

甲 乙維生素C/（單位/kg）600100原料價格/（元/kg）84

①現(xiàn)配制這種飲料10kg，要求至少含有4200單位的維生素C，試寫出所需甲原料的質(zhì)量x（kg）應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系；

②如果還要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，那么你能寫出x（kg）應(yīng)滿足的另一個不等關(guān)系嗎？