有理數乘法法則“負負得正”的五種教學法

沙稼璐

【摘 要】根據義務教育數學課程標準（2011版）7-9年級數與代數部分的教學要求，筆者查閱各版本初中數學教材、初中數學及小學奧數教輔用書中“負負得正”相關的教學設計、教法、解法，提出總計兩個大類、五種解決方法，有理數乘法法則。

【關鍵詞】課程分析；教學設計；有理數乘法法則；負負得正

【中圖分類號】G633 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0008-02

引言

有理數乘法法則作為初中數學課程教育的一大基石，也是初中義務教育數學課程“數與代數”部分的基礎。有關于有理數乘法法則教學設計的話題討論經久不息，其中對于“負負得正”的討論與設計更是匯集了前人無數智慧并渴望將其解決的。筆者通過查閱，匯總各類初中數學版本教材、初中數學及小學奧數教輔用書中“負負得正”相關的教學設計、教法、解法，提出總計五種解決方法，希望有理數乘法中“負負得正”這一課程難點教學提供一些幫助。

基礎解釋方法：引入現實問題，建立對應模型。

數學起源于人類早期的生產活動，可以說數學自誕生起便是直接服務于實際生活的一門學科，引入現實問題，建立對應模型是幫助理解、記憶數學原理和規律最常用的方式，下文通過建立類似“1+1=2”對應“一個蘋果加一個蘋果等于兩個蘋果”，的現實模型，從現實問題出發引入解釋“負負得正”。

導入：乘法法則的初步學習中，人教版通過對“一個人有兩個蘋果，那么四個人有幾個蘋果？”一類問題的思考進行引入，再通過引入兩個不同的量，人和蘋果，定義乘法并得出：

2+2+2+2=2×4，得出：2×4=8個。

負數的學習中，人教版首先通過“比沒有蘋果還少一個蘋果”的思考，“0-1=？”的思考進行引入，再通過依靠建立具有相反意義的模型，如將今天記為0，明天記為1，得出昨天記為-1，從而解釋了正數的相反數——負數，此部分，通過類似的方法：引入現實問題，建立對應模型。

方法一：建立兩組具有相反意義的量的模型

方法一導入：選取三種生活中的例子，從現實生活中解釋負負得正。提出測量類模型，運動類模型，以及“司湯達之問”的負債模型共計三種具有相反意義的量的模型作為參考。

以上三種模型就本質而言均為建立兩組具有相反意義的量進行解釋，掌握本質后，可以舉出眾多例子。

測量型模型：我們通過題目來引入講解：某氣象站測得海拔每升高1千米，溫度降低0.6度，觀察地點的氣溫是0度；試問：在觀察地點以上2千米的地方氣溫是多少度？觀察地點以下3千米的地方氣溫是多少度？

規定，氣溫升高為正，氣溫下降為負觀察地點以下為負，觀察地點以上為正。

可知：

每升高1千米，海拔+1；溫度降低0.6度，溫度-0.6

每降低1千米，海拔-1；溫度升高0.6度，溫度+0.6

①觀察地點以上2千米的地方氣溫是

（-0.6）×（2）=1.2度

海報增加1km溫度變化量×海拔增加千米數 =觀察地點地方氣溫

②易得上述問題觀察地點以下3千米的地方氣溫是的算式為：

（-0.6）×（-3）=1.8度

總結：建立兩組具有相反意義的量的模型中測量型模型是一種常見的證明方法。說明過程簡單易懂。

運動類模型：我們同樣通過題目來引入講解：一個人沿著公路慢跑，一直向東方行走，速度5公里每小時，請問下午4點時，他回頭跑到下午1點所在位置需要奔跑的距離是？

規定：選定向東的方向為正方向，向西的方向為負方向。

①依照時間的順序，表示為：

將來的時間使用正值，表示過去的時間使用負值，

人的初始位置在零點，初始時間也設定為0。

依照方向的順序，表示為：

向右走為正值，向左走為負值。

②下午1點距離下午4點所在的時間是-3小時

每小時行進距離-5公里（向西）

易知：他距離現在所在位置的距離（ -5 ） ×（-3） = 15 公里

總結：建立兩組具有相反意義的量的模型中運動類模型是一種不常見的證明方法。說明過程中往往需要運用到時間概念。時間的概念需要初中物理知識作為支撐，運動類模型在各類教材版本中往往出現于課后習題（如蘇教版、人教版、北師大版等），少見于直接證明。

負債模型：

負債模型由數學見M.kelien正式提出并廣泛為人接受。我們同樣通過題目來引入講解約定：某人每天支出5元人民幣，給定日期4天后，此人負債20元人民幣。

①采取記債：支出5人民幣記為：-5；

每天支出5人民幣，負債4天可以數學表達：（-5）× 4 = - 20。

同樣一人每天負債5人民幣，那么給定日期4天前，他的財產比給定日期的財產多20人民幣。

（-4）：表示4天前；

（-5）：表示每天負債；

②那么4天前，此人經濟情況為：（-5）×（-4）=20。

方法二：建立向量模型，引入數軸表示法。

導入：數軸表示法是小學數學課程中的一種基本方法，數軸作為圖形更加直觀，兼顧復習已學，聯系新知識，有承上啟下的作用。因此，運用向量模型中的數軸表示法作為一種數學情景的講解不失為一種好的課程教學辦法。

數軸模型：規定數軸的正方向為東，負方向為西.一個人在數軸的原點處，一2看作向西運動2米，（一3）×（一2）看作沿反方向（東）運動2次，結果向東運動了6米，

所以（-3）×（-2）=6.

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數理邏輯解釋方法：利用已知數理知識，計算推導證明結論

導入：義務教育數學課程學習中，學生學習依靠反復的運算和實踐，將諸如數學中的結合律、分配率等進行了強有力的驗實，達到對對應的基礎數學計算方法和運算法則的理解。這部分參照國內教材，部分修改與調整，，列舉三種經典的針對初中數學學習的數理邏輯解釋方法，從具體到抽象（純數字和理論），通過數學的計算推導，使用數理邏輯解釋或者證明“負負得正”。

方法三：使用觀察歸納法證明負負得正

導入：歸納法通過對現實的觀察、探索、分析、推理、歸納五個部分，獲得合情推理得到結果，是人類認識世界最原始也是最基礎的方式。有關于“負負得正”的問題，在教學的前期使用歸納法，引入知識同時鍛煉學生的探究意識。一般的歸納模型作為不完全歸納，并不完整，此處補充觀察歸納方法。

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歸納得出：“當乘數增加1，最后乘積減少2”；“當乘數減少1，最后乘積增加2。”

由此寫出右邊算式的結論。歸納得出：“負負得正”這一結論。

觀察歸納法需要教師一步步詳細的指引，朱文芳《初中生函數概念發展的研究》一書中，表明58.6%的初一學生難以使用變化的觀點解決數學問題。此類方法出現于部分教材的引入部分。

方法四：使用分配律證明負負得正

導入：據北京1969版的數學教材，運算律分配律作為公理，使用分配率證明負負得正。對于分配率證明負負得正，近年的教材中并不再出現，究其原因：運算律應該產生于運算之后，使用運算律證明運算的法則的做法并不可取。此處對原書中數學推理作相關的修改優化，部分用語文字化以降低理解難度，過程如下：

①使用構造法：

由：3×（-2）+3×（2）

=3×[（-2）+2] = 3 × 0 = 0

所以構造有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）= 0

移項有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）- [3 ×（2）] = 0 – [3 ×（2）]

所以有：3 ×（-2）= – [3 ×（2）]

②類比以上過程：

由：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）

= （-3） × [（-2）+ 2] = （-3） × 0 = 0

所以有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）= 0

移項有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）- [（-3） ×（2）] = 0 – [（-3） ×（2）]

所以有：（—3） ×（-2）= – [（-3） ×（2）]

因為：– [（-3） ×（2）] = 3 × 2

所以最終有：（—3） ×（-2）= 3 × 2

③由此得出結論：使用分配律證明負負得正。可以看出，證明過程通過 “保持”運算律從而得到法則，與正常教學中運算應先規定法則再驗證運算律不同。

方法五：使用相反數證明負負得正

導入：據華師版，人教版教材，使用相反數證明負負得正。相反數的定義賦予了其在“負負得正”數學推理中的簡便，是最常見的數理邏輯解釋方法。

①通過舉例特殊情況下：

3 × 2 = 3 + 3 = 6；

（-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

通過： （-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

（-2） ×3 = （-2） + （-2） + （-2） = -6；

- （2 ×3） = - 6；

由以上三式有結論：（-3）×2 =（-2） ×3 = - （2 ×3）；

對負負得正的情況： （ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

②一般情況下，m、n均為正整數下，類比特殊情況可以寫出：

m × n = m + m + m+ … + m 共計n項

= mn；

（-m） ×n = （-m） +（-m）+ …+ （-m） 共計n項

= -mn；

通過：（-m） ×n = （-m） + （-m）+ …+ （-m） 共計n項

= -mn；

（-n） ×m = （-n） + （-n）+ …+ （-n） 共計m項

= -mn；

- （n ×m） = - mn；

由以上三式有結論：（-m）×n =（-n） ×m = - （n ×m）；

對負負得正的情況： （ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

③由此得結論：（ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

特殊情況下即為：（ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

語言敘述為：有理數乘法中，一個因數換成它的相反數，所得乘積為原式子乘積的相反數.

以上方法經歷了特殊到—般再到特殊，具有具體直觀的特點，通過歸納和類比，最終達到使用相反數證明負負得正。

參考文獻

[1]龔烈炯.“負負得正”教學再思考[J].中學數學教學參考，2008（8）.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011版）. 北京 . 北京師范大學出版社.

[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會. 義務教育數學課程標準（2011版）解讀. 北京 . 北京師范大學出版社.

[4]馬復.義務教育數學課程標準實驗教科書（七年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2005.