淺談函數的圖象變換在解題中的應用

鄧貴元

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0132-01

“旋轉變換”在平面幾何解題中有著重要的應用，特別是對有關三角形、四邊形等一類問題的求解，這里談的“旋轉變換”指的就是平面圖形繞定點的旋轉，因此，在一般情況下，其圖形的形狀和大小均不改變。

一、以三角形為基礎的圖形的旋轉變換

例1：已知兩個全等的直角三角形紙片△ABC、△DEF 放置點B，D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4。

（1）求證：△EGB是等腰三角形；

（2）若紙片DEF不動，問△ABC繞點F逆時針旋轉最小 度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形，求此梯形的高。

證明：在Rt△DEF中，∵∠EFB=90°，∠E=30°，

∴∠EDF=60°，

又∵∠ABC=30°，

∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=30°

∴EG=BG

∴△EGB是等腰三角形，

解（2）30（度）。

（事實上，∵∠BFD=30°，∠EDF=60°，

∴∠DHC=90°=∠ACB。

∴AC∥DE. 又∵AC≠DE，∴四邊形ACDE是梯形。）

設BC與ED交于H，∵∠DFB為30°旋轉角，

又∵∠EDF=60°，∴∠DHF=90°，∵DF=2，

∴FH=DFsin∠EDF=2sin60°=

在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，

又∵BF=DF=2，∴CF=2-2

∴梯形的高=2-2+=3-2

例2：一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角頂點恰好在30°的三角板，Rt△ABC斜邊AB的中點處，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于點G，GM⊥AB于M。

（1）當DF經過點C時，作CN⊥于N，求證：AM=DN。

（2）當△EDF經D點旋轉，DF∥AC時，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的結論仍然成立，請你說明理由。

證明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中點

∴BC=BD，∠B=60°

∴△BCD是等邊三角形。

又∵CN⊥DB，

∴DN=DB

∵∠EDF=90°，△BCD是等邊三角形

∴∠ADG=30°，而∠A=30°

∴GA=GD

∵GM⊥AB

∴AM=AD

又∵AD=DB ∴AM=DN

（2）解：∵DF∥AC

∴∠HDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，

∴∠ADG=60° ∵∠B=60°，AD=DB，

∴△ADG≌△DBH

∴AG=DH，

又∵∠HDN=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，

∴△AMG≌△DNH

∴AM=DN。

二、以四邊形為基礎的圖形的旋轉變換

例3：已知順正方形ABCD內有△AEF，∠AEF=45°，E、F分別在BC，CD上任意滑動，求證：

（1）△AEF的高AH為定值，D和B點重合時，

因為∠EAF=45°，F和C重合；E和C重合時，F和D重合，因此，可以猜想△AEF的高AH是正方形的邊長。

證明：把△ABE繞A點按逆時針方向旋轉90°，

在正方形外的△ADG、則AE=AG，

∠FAE=∠EAF=45°，

所以△AEF≌△AGF，故AH=AD（，且EF=FG=BE+FD。

例4：四邊形ABCD為任意四邊形，以其邊四各向四邊到外側作正方形，設P、Q、R、S為四個正方形的中心，

求證：①PR⊥QS，②PR=QS

證明：以D為旋轉中心，把ADF按順時方向旋轉90得 △EDC，則AF=EC，AFEC，連接AC，取AC中點 M，連接MA、MQ、MR、MP，

因為MS∥EC，MR∥AF，

所以MS=MR，MS⊥MR，同理MP=MQ，MP⊥MQ。

以M為中心，把MPR按逆時針方向旋轉90°得

△MSQ，則有PR⊥QS，PR=QS。

本題稍為復雜一點，要通過兩次旋轉變換解得。

從以上數例可知，以三角形、四邊形為基礎的圖形旋轉變換，一般步驟是：（1）確定旋轉中心，（2）確定旋轉對象（即被變換的圖形），（3）確定旋轉的方向和角度（常用30°、60°、90°等特殊角）。

例5：在△ABC中，點D是AB邊的中點，E，F分別是AC，BC上的點。

證明：△DEF的面積不超過△ADE和△BDF的面積之和。

分析：考慮如何把△ADE和△BDF拼成一塊圖形，

然后和△DEF的面積比較。

證明：以D為對稱中心，把△ADE旋轉180變換成△BDE1，則四邊形BFDE1是凸四邊形， 所以S△ADE + S△BDF=S△BDE+ S△BDF =S四邊形BFDE ≥S△DEF= S△DEF（當E和A重合或F和B重合時，上式取等號）。

例6：已知M是Rt△ABC斜邊BC的中點，P，Q分別在AB，AC上，且PMQM，求證：PQ2=PB2+QC2。

分析：能否使PB，QC，PQ構成一個Rt△的

三、邊是解題的關鍵

考慮到PM⊥QM， MA=BC，故以M為中心，把△AMQ 旋轉180得△A'MQ'.

證明：因為AA'=BC，且互相平分，所以A'Q∥AQ，

A'B⊥AB，且O'在A'B上，連接PQ'，

因為PM⊥QQ，MQ=MQ，所以PQ'=PQ，

以BQ=CQ，故在RtPBQ中有：PQ2=PB2+OB2，即PQ2+PB2+QC2。

通過以上例題分析，可知旋轉變換在平幾解題中如能恰當而靈活地應用，會使部分難題化難為易，迎刃而解，雖然它在解析幾何、復數領域內有著更廣泛的應用，但在平面幾何中較早地應用這種方法解題，將會有助于學生開拓思路，提高興趣，增強能力，為今后的學習打下良好的基礎。