討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

顏湘玉

【摘要】討論思想是基于數(shù)學(xué)思維上建立的特殊的解題方法。討論思想融合了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和解決。隨著數(shù)學(xué)難度的提升，討論思想在教學(xué)中的地位也逐漸提升，高中學(xué)生掌握了討論思想，就能快速有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文針對(duì)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了分析研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 分類(lèi)討論思想 應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】F224.9 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）19-0063-02

一、討論思想概述

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，其答案并不是確定而唯一的。當(dāng)我們進(jìn)行到某一個(gè)步驟時(shí)，往往發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中含有幾種情況，此時(shí)不能將幾種情況一概而論，而要捕捉影響條件分支的重要因素。在一定的范圍里，根據(jù)題目的要求，將情況分類(lèi)成不同條件再進(jìn)行討論，才能真正探究出問(wèn)題的解決思路。在面對(duì)數(shù)學(xué)題時(shí)，要保持清醒的分類(lèi)意識(shí)，仔細(xì)閱讀題目，明確是否需要分類(lèi)。在確定分類(lèi)后，要找出題干中的關(guān)鍵信息，根據(jù)給出的條件正確分類(lèi)。要堅(jiān)守一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)原則，不重復(fù)統(tǒng)計(jì)某一種情況，也不漏掉任何一種情況。分好類(lèi)后，要順著這個(gè)類(lèi)別的樹(shù)干往下延展，順著思路分類(lèi)討論，對(duì)所有情況進(jìn)行整理，歸納總結(jié)出最后的結(jié)果。數(shù)學(xué)解題中，分類(lèi)思想在不同問(wèn)題中都有應(yīng)用。例如函數(shù)、概率、數(shù)列、解析幾何等都需用到分類(lèi)思想。學(xué)生熟練運(yùn)用分類(lèi)思想，不僅在解題時(shí)游刃有余，對(duì)學(xué)生思維的邏輯性、條理性和概括性都有極大的幫助。

二、討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

分類(lèi)思想作為探究和解決問(wèn)題的常用方法，在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。分類(lèi)可以看作是化整為零，再逐個(gè)擊破的過(guò)程。在數(shù)學(xué)解題中，分類(lèi)可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化難為易。在幫助學(xué)生解題時(shí)，在進(jìn)行分類(lèi)的思維過(guò)程中，學(xué)生的歸納、總結(jié)能力也得到了鍛煉與提高。

1.討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要模塊，在高考數(shù)學(xué)中具有十分重要的地位。討論思想作為高中數(shù)學(xué)的一種重要思維方法，在數(shù)列問(wèn)題中也得到了廣泛應(yīng)用。通過(guò)舉例分析分類(lèi)討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用，加深了學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想的理解，增強(qiáng)了他們分類(lèi)討論的意識(shí)，提高了他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。下面，筆者以數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列求和為例，具體說(shuō)明分類(lèi)討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用。

例如：假設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比，前n項(xiàng)和Sn>0（n=1，2，3，4……），那么q的取值范圍是多少？

由于本題中對(duì)q的范圍沒(méi)有明確說(shuō)明，因此在求解過(guò)程中需要分類(lèi)討論，不能直接利用公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）。解析：由于{an}是等比數(shù)列且Sn>0，可知a1=S1>0，q≠0。那么：

（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1>0

（2）當(dāng)q≠1使，Sn=a1（1-qn）/（1-q）>0，即（1-qn）/（1-q）>0（n=1，2，3，4……），這時(shí)可得到1-q<0且1-qn<0 或1-q>0且1-qn>0。

2.討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

分類(lèi)討論思想在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中得到了廣泛的應(yīng)用。例如，函數(shù)定義域的求法，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)最值的求法，函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的討論，以及與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題等等。通過(guò)舉例分析分類(lèi)討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想基礎(chǔ)知識(shí)的理解，增強(qiáng)了他們分類(lèi)討論的意識(shí)。

例如：函數(shù) y=（m+2）x?﹢?+3x-2（x≠0）為一次函數(shù)時(shí)，m的值是多少？由于題目中已知該函數(shù)為一次函數(shù)，而（m+1）x?﹢?可能為零、常數(shù)項(xiàng)或一次項(xiàng)，因此需要利用分類(lèi)討論的思想來(lái)進(jìn)行求解。具體求解過(guò)程如下：

（1）當(dāng)m+2=0，即m=-2時(shí)，函數(shù)y=3x-2，此時(shí)該函數(shù)為一次函數(shù)。

（2）當(dāng)3m+2=0，即m=-時(shí)，函數(shù)y=3x-2，此時(shí)該函數(shù)為一次函數(shù)。

（3）當(dāng)3m+2=1且m+2≠0，即m=時(shí)，函數(shù)y=x-2，此時(shí)該函數(shù)為一次函數(shù)。

3.討論思想在幾何中的應(yīng)用

將討論思想應(yīng)用于幾何解題中，需要以題設(shè)條件為依據(jù)進(jìn)行劃分，避免漏解，確保解題的準(zhǔn)確。例如：圓柱的側(cè)面展圖為矩形，其中矩形的邊長(zhǎng)為 2和 4，求出圓柱的體積。由該題的題設(shè)條件可知圓柱的底面圓周長(zhǎng)可變?yōu)?2，高可為 4。

解析：（1）如果圓柱的高為2，r1=4/2π，因此v=πr1?h1=（4×2）/π=8/π；（2）如果圓柱的高為4，r2=2/2π，因此v=πr2?h2=（1×4）/π=4/π。由此可知：圓柱的體積為8/π或4/π。

三、加強(qiáng)討論思想應(yīng)用的優(yōu)化策略

分類(lèi)討論思想在日常解題和高考中的應(yīng)用十分廣泛，但部分學(xué)生在實(shí)際解題過(guò)程中還存在諸多問(wèn)題。如討論充分遺漏、分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不明確、討論結(jié)果不準(zhǔn)確等，從而導(dǎo)致分類(lèi)討論思想的應(yīng)用效果不佳。因此，高中數(shù)學(xué)應(yīng)用分類(lèi)討論思想解題時(shí)，需要詳細(xì)了解分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，有效梳理解題思路，保證解題的準(zhǔn)確性，提高思維的嚴(yán)密性。我們通過(guò)高中數(shù)學(xué)解題中幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例的討論，從兩個(gè)方面探討科學(xué)學(xué)習(xí)討論思想的策略。

第一，高中生應(yīng)有層次的進(jìn)行習(xí)題練習(xí)。首先要加大習(xí)題練習(xí)，使高中生能夠通過(guò)大量習(xí)題練習(xí)，對(duì)涉及分類(lèi)討論思想題型和內(nèi)容有一個(gè)整體的了解，從而使學(xué)生遇到問(wèn)題后，能根據(jù)日常練習(xí)的邏輯思維解答題目。其次與傳統(tǒng)習(xí)題練習(xí)方法不同，習(xí)題練習(xí)過(guò)程中應(yīng)明確題目的層次性。可將一個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)時(shí)間，或一次抽查考試間隔時(shí)間為周期，對(duì)自身進(jìn)行思想層次的考察。再?gòu)牟蛔阒幦胧郑捎醚驖u進(jìn)的方法，對(duì)題目所涉及的整個(gè)體系開(kāi)展研究，使討論思想得以強(qiáng)化。

第二，要激發(fā)學(xué)生自主思考的潛意識(shí)，除了采用加強(qiáng)練習(xí)的方法，還可以激發(fā)學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，加快學(xué)生討論思想的養(yǎng)成。在此過(guò)程中，可采用一題多解的方式，也可采用案例研究的方式，讓學(xué)生積極參與到課堂分組教學(xué)中。這種例題鉆研模式，能使學(xué)生真正參與到課堂思考和發(fā)散思維學(xué)習(xí)中，使學(xué)生習(xí)得討論思想應(yīng)用的精髓。

四、結(jié)束語(yǔ)

分類(lèi)思想對(duì)高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答有較大的作用。分類(lèi)思想的靈活運(yùn)用與否對(duì)高中生的思維敏捷性與細(xì)致性提出了考驗(yàn)。在平常的學(xué)習(xí)中要累積經(jīng)驗(yàn)，對(duì)運(yùn)用到分類(lèi)思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題做出歸納與總結(jié)，再遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，便可輕松應(yīng)對(duì)。對(duì)于相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解答時(shí)，要善于觀(guān)察題干給出的關(guān)鍵性信息，作為解題線(xiàn)索，按照相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理或公式進(jìn)行正確分類(lèi)。分類(lèi)過(guò)程要仔細(xì)，不重復(fù)不遺漏，按照對(duì)應(yīng)的層次一步一步作答。最后進(jìn)行整合與總結(jié)，做出正確的答案。

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