你不知道的三角形面積

羅小亮

【摘要】 新課程標準提出：數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。三角形的面積計算公式的推導過程的學習有利于培養學生的創新性思維。關鍵在于教師要善于引導學生用多種方法推導三角形的面積計算公式。用兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形只是最常規的一種推導過程，我將致力于引導學生通過幾種神奇的推導過程激發學生的興趣，調動學生學習的積極性，培養學生的創造性思維。

【關鍵詞】三角形 平行四邊形 面積計算公式 推導 轉化 剪拼

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）19-0071-01

數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。北師大版小學數學教材五年級上冊中對于三角形面積公式的推導主要給了兩種思路，一種是通過將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形進行推導；第二種是通過兩個完全相同的三角形剪、拼成長方形進行推導。

對于第一種思路數學老師一般都很熟悉。

對于第二種思路，就是在第一種思路的基礎上將一個三角形沿著高剪下，拼成一個長方形，從而進行推導。

課堂上我會引導學生思考：能不能只用一個三角形推導出三角形的面積？

從而出現以下思路：將一個三角形沿著一條中線剪下來，拼成一個平行四邊形進行推導：

平行四邊形的面積與原來的三角形的面積相等，只要算出平行四邊形的面積就算出了三角形的面積。

平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高的一半。

平行四邊形的面積=底（平行四邊形） × 高（平行四邊形）

=底（三角形） × 高（三角形）÷2

所以三角形的面積=底×高÷2

在上面思路的基礎上我又進一步引導學生發現第四種推到方法：

原來的三角形的面積等于兩個長方形的面積，只要算出一個長方形的面積再乘以2就能得到三角形的面積。

一個長方形的面積= 長 × 寬

一個長方形的面積=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）

兩個長方形的面積=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）×2

= 三角形底÷2 × 三角形高÷2 ×2

= 三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面積=三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面積=底×高÷2

上面的推導方法是將一個三角形轉化成了兩個長方形，在此基礎上我會引導學生思考：才能將這個三角形轉化成一個長方形來推導。得出下面的推導方法：

長方形的面積與原來三角形的面積相等，只要算出了長方形面積就等于算出了三角形面積。

長方形的面積= 長 × 寬

=（三角形底÷2）×（三角形高）

=三角形底÷2 ×三角形高

=三角形底×三角形高÷2

三角形的面積=底×高÷2

以上這幾種推導過程可以分成兩大類，教材中提供的前面兩種都是通過兩個相同的三角形剪、拼成一個學過的圖形進行推導的，而后面三種都是通過把一個三角形進行剪拼成一個學過的圖形進行推導。當然還可以說把第一和第三種推導方法分為一類，因為這兩種方法都是將三角形剪拼成平行四邊形進行推導，而第二、四、五種方法都是將三角形剪拼成長方形進行推導。但我更傾向于將上面五種推導方法按照第一種分類方法進行分類。原因如下：

課堂上引導學生將這幾種推導方法進行分類是很有必要的，因為這將為下一節課學習“已知三角形的面積和底，求三角形的高”或“已知三角形的面積和高，求底”有很大的幫助。因為將這幾種推導方法進行分類之后更有助于學生在解決“已知三角形的面積和底，求三角形的高”或“已知三角形的面積和高，求底”的時候找到算理的依據。我以“已知三角形的面積和底，求高”為例來進行分析：

已知三角形的面積是45平方厘米，底是10厘米，求三角形的高。

教材在引導學生解決這類問題時，給出了兩種思路，一種是方程的思路，在這里不做贅述。另一種是算術方法，基本的解題思路如下：

第一步：先算出與這個三角形等底等高的平行四邊形的面積：

第二步：再用等底等高的平行四邊形的面積除以底就能得到平行四邊形的高，這個高也就是三角形的高：

列成綜合算式是：45×2÷10

這種方法正是運用了常用的三角形面積公式的推導方法來解決這個問題的。

但我班上卻有幾個同學在課堂上寫出了這樣的算式：45÷10×2

很多教師可能以為學生這樣列式只是在熟練背誦了三角形面積公式之后的一種倒推的生搬硬套的方法。但當我在詢問了學生為何這樣列式的時候，學生給出了讓我極為驚訝的理由，而這個理由正是運用了上面的推導方法的原理來進行列式的。

因為，三角形的面積就是轉化后的平行四邊形的面積，也就是說這個平行四邊形的面積就是45，然后用平行四邊形的面積除以底就等于高，即45÷9得到的就是這個平行四邊形的高，而原來的三角形的高應該是這個平行四邊形的高的2倍，所以再乘以2。完整的綜合算式就是45÷10×2。學生這樣的解釋簡直太完美了。

當然，這種列式方法也能用上面講的推導公式的方法來進行解釋：

因為，三角形的面積就是轉化后的長方形的面積，也就是說這個長方形的面積就是45，然后用長方形的面積除以長就等于寬，即45÷（10÷2）得到的就是這個長方形的寬，而長方形的寬就是原來的三角形的高。將45÷（10÷2）進一步轉化就得到了45÷10×2。

而這種列式的方法用第四種推導公式的方法來解釋也是邏輯清晰的：

三角形的面積是45平方厘米，而右邊的一個長方形的面積就是三角形面積的一半，即45÷2。用長方形的面積除以長就能得到寬，即（45÷2）÷（10÷2）。而原來的三角形的高是這個長方形的寬的2倍，所以三角形的高就是（45÷2）÷（10÷2）×2。將這個算式進行簡單的轉化：

（45÷2）÷（10÷2）×2

= 45 ÷（10÷2）

= 45÷10×2

可見，用45÷10×2的方法來求這個三角形的高不僅是可以的，而且還能很好的培養學生對三角形面積公式的推導過程的理解，培養學生用多種方法解決問題的能力，能很好地對學生進行發散思維的訓練。

通過上面的對于《三角形面積》的兩節課的教學過程可以看出，學生真正的在探究數學，而不是背數學。而這種研究性的學習對于培養學生的發散思維能力和邏輯推理能力將起到很好地推動作用。