基于模型思想的用減法解決問題

羅建福

一、問題提出

“百度知道”上有家長這樣問：“孩子上一年級了，需要逆向思維的減法問題不會解答。比如，樹上有10只鳥，飛走了一些，還剩3只，飛走了幾只？他列式為：10-7=3。我給他講解了很多次，可是他再遇到類似的問題還是這么寫，我該怎么給他講？孩子為什么會這么想呢？”

其實不光家長有這樣的困惑，一年級的數學教師也面臨這一問題帶來的困擾。在課堂練習和期末學習水平檢測中學生經常出現下面這樣的問題：

“黃狗和花狗共有16只，黃狗有6只，花狗有幾只？”學生回答：“花狗有10只。”怎么列式呢？“6+10=16。”

“16個人，每人一把椅子，已經搬來6把，還要再搬幾把？”學生回答：“再搬10把，列式：6+10=16。”

“媽媽買來15個蘋果，還剩5個，吃了幾個？”答曰：“吃了10個，列式：15-10=5。”

雖然上述三個問題呈現的內容稍有不同，但其實都可以歸結為“已知總數和部分數，求另一部分數”的問題。那么為什么學生如此難以正確解答這一類問題呢？

二、原因分析

首先從學生對加、減法意義的認識開始來了解學生的思維過程。

人教版一年級上冊《1—5的認識和加、減法》這一單元開始學習加、減法的意義。

教材中加法意義的教學呈現了兩種模型，第一種是動態的，第二種是靜態的。但這兩種模型的意義是相同的，都是把兩個部分合并在一起，用加法計算。

接著教材試圖用兩種方式呈現減法的意義的教學，但實質上這兩種方式呈現的減法的意義是相同的，都是動態的。如從總數中去掉走了的小狗，用減法計算；從總數中去掉圈起來的花，用減法計算。也就是說都是從總數中去掉一部分，求剩下的一部分用減法計算。

接下來學生在《6—10的認識和加、減法》這一單元中開始學習有大括號的看圖解決問題，進一步強化了對靜態的加法、動態的減法意義的認識。

經過了這類看圖列式的反復訓練，學生在頭腦中牢固地建立了如下加、減法的意義模型。

1.左邊的數量+右邊的數量=一共的數量。

2.一共的數量-去掉的數量=剩下的數量。

只要有非常明顯的“跑了”“走了”“拿走”“吃了”這樣典型的動態的情境，就會引發學生頭腦中的減法模型。

于是學生在遇到問題時會這樣將其代入模型。

“黃狗和花狗共有16只，黃狗有6只，花狗有幾只？”沒有“跑了”“走了”，于是學生頭腦中呈現模型“黃狗只數+花狗只數=16只”，因此列式為“6+10=16”。

“16個人，每人一把椅子，已經搬來6把，還要再搬幾把？”沒有“拿走”“去掉”，學生頭腦中呈現的模型是“已經搬來的把數+還要再搬的把數=16把”，列式為“6+10=16”。

“媽媽買來15個蘋果，還剩5個，吃了幾個？”有“吃了”，符合減法模型“買來的蘋果個數-吃掉的個數=剩下的個數”，列式為“15-10=5”。

顯然學生是在運用自己已經掌握的數學模型在解決問題，只不過由于他們掌握的數學模型有限，因此限制了他們的思維。如果他們能正確掌握“總數-部分數=另一部分數”這一數學模型，他們應該也能夠正確地運用減法來解決上述問題。

三、解決方法

如何讓學生掌握“總數-部分數=另一部分數”這一數學模型？教材中有沒有提供對應的學習素材呢？

1.挖掘教材

《6—10的認識和加、減法》這一單元中出現的“一圖兩式”乃至“一圖四式”的教學既要讓學生體驗幾道算式中3個數的關系，也要讓學生感受到數學知識與實際生活的聯系。這個聯系提煉成數學模型就是“部分數+部分數=總數”“總數-部分數=另一部分數”。

左圖是一個動態的減法情境圖，要求列出兩個減法算式，那么就意味著學生不能僅僅從“一共的數量-去掉的數量=剩下的數量”這一單一模型來考慮，而必須真正理解并運用“總數-部分數=另一部分數”這一更廣泛的模型來解決。

看來教材是充分呈現了建構“總數-部分數=另一部分數”這一數學模型所需要的學習素材，該如何建構模型呢？

2.建構模型

從認知心理學的角度來看，學生數學學習的過程就是數學認知結構的發展變化過程，也就是“同化—順應—平衡”的過程。

因此，建構“總數-部分數=另一部分數”這一新的數學模型，我們應當幫助學生建立新舊兩種模型的聯系，通過“同化—順應”獲得新的平衡。

首先，在學習《1—5的認識和加、減法》這一單元時，我們應當認識到，學生在學前就已經掌握了“一共的數量-去掉的數量=剩下的數量”這一減法模型，我們在課堂教學中不能僅僅停留在重復并強化這一模型的層次上。我們應當幫助學生適當改造這一模型。這一階段可以告訴學生，“一共的數量”是“總數”，“去掉的數量”其實是“一部分”，“剩下的數量”就是“另一部分”。讓學生初步建立起“總數-部分數=另一部分數”的概念。

接下來學習《6—10的認識和加、減法》這一單元時，“一圖兩式”和“一圖四式”的教學中都應當幫助學生明確，無論是擺在左邊的學具還是擺在右邊的學具，都是總數的一部分；總數減去左邊的一部分就等于右邊的一部分，總數減去右邊的一部分則等于左邊的一部分。同樣的道理，拿走的和剩下的也都是總數的一部分，總數減去拿走的部分等于剩下的部分，總數減去剩下的部分則等于拿走的部分。這樣無論是靜態的情境還是動態的情境，都被納入到“總數-部分數=另一部分數”這一數學模型中。

最后在解決用大括號呈現的數學問題時，繼續強化并運用這一數學模型，使學生能熟練地將類似問題解讀為已知總數和部分數，求另一部分數，用減法計算。

經過了這樣的數學模型建構歷程，學生在遇到本文開篇所提到的用文字敘述的用減法解決的問題就基本能夠順利解決了。