生活中的幾何問題

文 /王華軍

數學來源于生活，又服務于生活.下面以中考題為例，把生活中的幾何問題歸類如下，供你復習時參考.

一、解釋現象

例1某同學用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖1），發現剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是（ ）

A．兩點之間線段最短.

B．兩點確定一條直線.

C．垂線段最短.

D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

解析：剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，實質上就是剪掉的葉片兩端點之間，線段的長度小，依據是“兩點之間線段最短”.選A.

溫馨小提示：“兩點之間線段最短”用于縮短路程；“兩點確定一條直線”用于“直”但不涉及到“長短”；“垂線段最短”適應于比較線段的大小．

圖1

二、平行管道的對接

例2如圖2所示，要在一條公路的兩側鋪設平行管道，已知一側鋪設的角度為120°，為使管道對接，另一側鋪設的角度大小應為（ ）

A.120°. B.100°. C.80°. D.60°.

圖2

解析：兩平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補，因此，另一側鋪設的角度大小為180°-120°=60°.選D．

溫馨小提示：這里應用平行線的性質，解決了鋪設平行管道中的對接問題，體現了數學的應用價值.

三、生活中的對稱圖案

例3如圖3，下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是（ ）

圖3

解析：只有B圖形是中心對稱圖形.選B．

溫馨小提示：判斷一個圖形是否是中心對稱圖形，關鍵是看在平面內能否找到一個點，把圖形繞著這個點旋轉180°，旋轉后的圖形是否能與原來的圖形重合．

四、小巷的寬度

例4如圖4，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（ ）

A．0.7米. B．1.5米. C．2.2米. D．2.4米.

解析：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴AB2=0.72+2.42=6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，

∴BD2+A′D2=A′B′2，

∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，

∴BD=1.5（米），

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2（米）．選C．

溫馨小提示：將勾股定理與方程結合是解幾何題的常用方法，是數形結合思想的應用．

圖4

五、景點的位置

例5如圖5是根據某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉90°后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是_____．

解析：如圖5，過點A作AD⊥x軸于點D，連接AC.

∵A（400，300），∴OD=400m，AD=300m.

∵AD⊥OD，CB⊥OB，∴∠ODA=∠ABC=90°．

∵AB=300m，BC=400m，由勾股定理得AC=500m．

在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，

∴△AOD≌△ACB，∴∠CAB=∠OAD，AO=AC.

∵點B，A，O在一條直線上，∴點C，A，D也在一條直線上，

∴AO=AC=500m，∴CD=AC+AD=800m，∴C點坐標為（400，800）．

溫馨小提示：將實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵．若是解答題，要謹防默認“點C，A，D在一條直線上”而出現的錯誤．

圖5

六、工程質量的檢驗

例6如圖6是某斜拉橋的剖面圖.BC是橋面，AD是橋墩，設計大橋時工程師要求斜拉的鋼繩AB等于AC.大橋建成后，工程技術人員要對大橋質量進行驗收，由于橋墩AD很高，無法直接測量鋼繩AB，AC的長度.請你用兩種不同的方法檢驗AB，AC的長度是否相等．（檢驗工具為刻度尺；檢驗時，人只能在橋面上）

解析：測量一些數據后，可利用全等三角形證明AB=AC.

方法1：用刻度尺測量BD，CD的長度，若BD=CD，又AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC，AD是公共邊，則△ABD≌△ACD，∴AB=AC.

方法2：如圖6，在∠B的兩邊任取兩點E，P，在∠C的兩邊取兩點F，Q，使BE=CF，BP=CQ，再度量EP和FQ的長度，若EP=FQ，則AB=AC.

理由如下：在△BEP和△CFQ中，BE=CF，BP=CQ，EP=FQ，所以△BEP≌△CFQ，所以∠B=∠C，即AB=AC.

溫馨小提示：利用等腰三角形的概念與判定方法，構造全等三角形，解決測量長度問題．

圖6

七、行走的路程

例7如圖7為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F．若小敏行走的路程為3100m，則小聰行走的路程為______m．

解析：已知小敏行走的路程來求小聰行走的路程，就需要求出小聰行走的路程與小敏行走路程的關系.比較兩人走的路線，小敏走的路程為AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，則AG+GE=1600m，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）.下面關鍵是要尋找AG+GE與DE+EF的關系，這樣就把實際問題轉化為數學問題.

連接CG.在正方形ABCD中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD.

在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG.

又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，

∴四邊形GECF是矩形，∴CG=EF.

∵∠CDG=45°，∴DE=GE，

∴小聰走的路程BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）．

溫馨小提示：本題比較復雜，經過分解轉化，問題得到了簡化，即尋找AG+GE與DE+EF的關系，將問題轉化為證明兩條線段相等，從而找到了解決問題的途徑.

圖7

八、幾何體的表面積

例8如圖8是某幾何體的三視圖，根據圖中數據，求得該幾何體的表面積為_____．

解析：由三視圖可知，幾何體是由圓柱體和圓錐體構成的，

溫馨小提示：判斷幾何體的形狀、確定圓錐的底面直徑和高是解題的關鍵.

圖8

九、求熱水器的支架長

例9某太陽能熱水器的橫截面示意圖如圖9所示，已知真空熱水管AB與支架CD所在直線相交于點O，且OB=OD，支架CD與水平線AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．

（1）求支架CD的長；

（2）求真空熱水管AB的長．（結果保留根號）

解析：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，

（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，

溫馨小提示：本題主要考查解直角三角形的應用，將實際問題抽象為數學問題，構造直角三角形求解．

圖9