時間測度鏈上帶有積分邊界條件的二階邊值問題對稱正解的存在性

王 靜

（蘭州文理學院 教育學院，甘肅 蘭州 730000）

Hilger[1]首次提出了時間測度鏈上的分析理論,將看起來不相關(guān)聯(lián)的連續(xù)分析和離散分析進行了高度統(tǒng)一.之后,測度鏈上動力方程的新理論在生物種群模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自動控制、醫(yī)學動力學模型、經(jīng)濟學和社會科學領(lǐng)域中都有非常重要的應(yīng)用[2].與此同時,測度鏈上的幾類典型的動力方程邊值問題的研究引起了學術(shù)界的廣泛興趣和高度關(guān)注,并得到了一些很好的結(jié)果[3-8].

本文考慮時間測度鏈上三點邊值問題

其中,T表示對稱時間測度鏈，α,β＞0,非負函數(shù)h1,h2∈L1([2,b])且在[a,b]上對稱；f∈C([a,b]×[0,∞)×R→[0,∞)).

為了后面推理的需要，做如下記號：

1 預備知識

定義1 對稱時間測度鏈：?t∈T，[a,b]?T，若b+a-t∈T，則稱T為對稱時間測度鏈.

定義2 時間測度鏈上對稱函數(shù)：?t∈T，若函數(shù)u:T→R且u(t)=u(b+a-t)，則稱u為時間測度鏈[a,b]?T上的對稱函數(shù).

全文做如下假設(shè)：

(H1)α,β＞0；

(H2)非負函數(shù) h1,h2∈L1([a,b])且在[a,b]上對稱,1-v1-v2＜0；

(H3)f:[a,b]×[0,∞)×R→[0,∞)連續(xù),f(·,u,v)在[a,b]上對稱且 f(t,u,v)=f(t,u,-v)，(t,u,v)∈[a,b]×[0,∞)×R；

(H4)f(t,·,v)，f(t,u,·)為非減函數(shù)，(t,u,v)∈[a,b]×[0,∞)×R.

為了得到本文的主要結(jié)果,需要以下幾個重要引理.

引理 1 設(shè)(H1)(H2)成立,μ≠0,p∈C([a,b]),方程

在邊界條件(2)(3)情況下有唯一解，

其中

證明 設(shè)u(t)是方程(4)的解.對(4)式進行積分,可得

再次積分,有

由邊界條件，可得

因此,

且

即有

從而，可知

其中G(t,s)如式(6)所示.

考慮

令h1(t)與式(7)相乘，并對其進行積分處理，可得

其中

類似,令h2(t)與式(7)相乘，并對其進行積分處理，可得

其中

由式(8)和(9),可得

即有

其中H(t,s)如式(5)給出.引理得證.

因此，(H2)可表述為：

(H2)h∈L1([a,b])非負，且在[a,b]上對稱

在h1=h2=h情形下唯一解u(t)可表示為

其中，

引理2 設(shè)(H1)(H2)成立，則有

證明 (i)顯然成立.下證(ii)和(iii).

證明 (ii)設(shè) t≤s，則 b+a-t≥b+a-s由式(7),可得

類似的,可證 G(b+a-t,b+a-s)=G(t,s)，s≤t.這樣,有

由式(5),對 s,t∈[a,b],有

得證.

證明 (iii)若 t≤s，由式(7)和(H2),有

類似的,容易證得

再由式(6),可知

另外,當 s,t∈[a,b]，有

從而

因此,對當 s,t∈[a,b]，有

得證.

設(shè) Banach 空間 E=C[a,b]且其范數(shù)為 ||u||=max{||u||∞,||uΔ||∞},其中定義錐 P?E,且 P={u∈E:u(t)≥0，u 是對稱凸函數(shù)}.對于u∈P,S:P→E,定義

引理3 設(shè)(H1)(H2)成立，則S:P→P是全連續(xù)的且為非減函數(shù).

2 主要結(jié)果

本文的主要結(jié)果及證明.

定理 1 設(shè)(H1)-(H4)成立.若存在兩個正數(shù)a1,c且a1＜c使得

且

則問題(1)-(3)有唯一解w*∈P,且滿足

證明 分三步來證明.令Pc={w∈P:||w||≤c}.

第一步證明SPc?Pc.設(shè)w∈Pc,則有

由式(10)、(11)、(12)及引理 2 可知,

另外,由式(5),(6),(10),(11)及(12)可知,對于 t∈[a,b],有

因此可得 ||Sw||≤c,即

第二步證明 ||w0Δ||∞≤c，w0(t)∈Pc.設(shè) w0(t)=(b-a)a1G(t,t)+，t∈[a,b],由式(11)和引理 2,易得 ||w0Δ||∞≤c.再由G(t,s)，可知

分兩種情況討論：

由式(13),(14)和(15),可得

第三步證明 Sw*=w*.設(shè) w1(t)=Sw0(t),w1(t)∈Pc,wn+1=Swn=Sn+1w0,(n=0,1,2,…).由 SPc?Pc,可得 wn∈Pc,(n=1,2,3,…).由引理3,可知 S 是緊的.另設(shè)有收斂子列1,且存在 w*∈Pc,使得 wnk→w*.從而，由 S 的定義、引理 2 及式(10),可得

因此,有 w1(t)≤w0(t),t∈[a,b].從而,據(jù)引理 3,可知 Sw1(t)≤Sw0(t),t∈[a,b]，即 w2(t)≤w1(t),t∈[a,b].從而得

即得wn→w*.由 連續(xù),可得

得證.