兩類狄利克雷判別法的推廣

余 戡

（安慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133）

在高等數(shù)學(xué)[1]和數(shù)學(xué)分析[2]的教科書中，狄利克雷判別法是用來判別反常積分和級(jí)數(shù)收斂性的，因此占有相當(dāng)重要的位置.眾所周知，狄利克雷判別法中有單調(diào)遞減趨于0的條件，文[3]中提出了弱于遞減的RBV條件.

則稱數(shù)列A為剩余有界變差數(shù)列，簡記為A∈RBV（rest bounded variation sequences,RBVS）.

文[4]中，對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)狄利克雷判別法條件進(jìn)行的減弱，給出了狄利克雷判別法在RBV條件下的推廣.

可以看出，定理2中也有單調(diào)遞減趨于0的條件，根據(jù)文[4]的思想，我們將對(duì)反常積分的狄利克雷判別法進(jìn)行推廣，首先，類似于定義1，提出關(guān)于函數(shù)的RBV條件.

定義2 如果對(duì)于[a,+∞)上非負(fù)可微趨于0的局部絕對(duì)可積函數(shù)f(x)對(duì)任意b≥a，存在僅和函數(shù)f(x)有關(guān)的正常數(shù)C，滿足

則稱函數(shù)f(x)為剩余有界變差函數(shù)，簡記為f(x)∈RBVF（rest bounded variation functions,RBVS）.

類似于定理1，建議如下定理.

證明 由已知可設(shè)存在M＞0，使得|G(y)|≤M，?y∈[a,+∞]，并且?ε＞0，存在 X，?x＞X，均有 f(x)＜，由此結(jié)合分部積分法就有對(duì)任何a2＞a1＞X，有

接下來討論關(guān)于反常含參變量積分狄利克雷判別法[2]的推廣，首先給出反常含參變量積分的狄利克雷判別法.

定理 4 設(shè)函數(shù) f(x,y)，g(x,y)滿足下列條件：（i）當(dāng)A→+∞時(shí)，積分分關(guān)于 y∈[c,d]一致有界，即存在常數(shù)K，使得

（ii）g(x,y)是 x的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng) x→+∞ 時(shí)，g(x,y)關(guān)于 y∈[c,d]一致地趨于零，即任給 ε＞0，存在A0=A0(ε)，當(dāng) x≥A0時(shí)，|g(x,y)|＜ε,?y∈[c,d]，則反常含參變量積分關(guān)于y∈[c,d]一致收斂.

接下來給出二元函數(shù)關(guān)于變量x的RBV條件.

定義3 如果對(duì)于[a,+∞)×[c,d]上非負(fù)對(duì)變量x可導(dǎo)且一致趨于0的關(guān)于變量x局部絕對(duì)可積函數(shù)f(x,y)對(duì)任意b≥a，存在僅和函數(shù)f(x,y)有關(guān)的正常數(shù)C，滿足

則稱函數(shù)f(x,y)對(duì)x剩余有界變差，簡記為f(x,y)∈xRBVF.

定理4可以推廣為定理5.

定理5 設(shè)函數(shù)f(x,y),g(x,y)滿足下列條件：

證明 由定義有任給 ε＞0，存在A0=A0(ε)，當(dāng)x≥A0時(shí)，|f(x,y)|＜ε，?y∈[c,d]，從而任給 a2＞a1＞A0