無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管磁場(chǎng)的一種簡(jiǎn)單計(jì)算方法

牛中明，于欣欣

（安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

求解無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管的磁場(chǎng)分布是大學(xué)物理教材中經(jīng)常使用的例子，但是，大部分教材都是直接假設(shè)螺線管內(nèi)部為軸向的均勻磁場(chǎng)，而外部磁場(chǎng)為零，然后利用安培環(huán)路即可簡(jiǎn)單地得到內(nèi)部磁場(chǎng)的大小[1].已有許多文獻(xiàn)[2-6]針對(duì)該假設(shè)直接使用畢奧—薩伐爾定律或是使用對(duì)稱性分析并結(jié)合安培環(huán)路定理進(jìn)行了證明.但是，這些證明往往過(guò)于復(fù)雜，很難在實(shí)際的課堂中使用，因此很多教材由于篇幅的限制并未給出該假設(shè)的證明.為了培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，找出一種可以證明螺線管磁場(chǎng)分布假設(shè)的簡(jiǎn)單方法是必要的.本文將首先利用無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管的對(duì)稱性和畢奧—薩伐爾定律，對(duì)螺線管內(nèi)外磁場(chǎng)的方向給出一種簡(jiǎn)單且嚴(yán)密地證明，然后再利用磁感應(yīng)性的閉合性與安培環(huán)路定路，定量地求出無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

1 無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管磁場(chǎng)的方向

由于螺線管無(wú)限長(zhǎng)，因此由對(duì)稱性可知，螺線管所有橫截面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等.因此，只要確定了磁場(chǎng)在螺線管任一橫截面上的分布，即掌握了整個(gè)螺線管的磁場(chǎng)分布.圖1給出了無(wú)限長(zhǎng)直密繞螺線管的橫截面圖，首先，在管內(nèi)任取一點(diǎn)P，為了研究P點(diǎn)的磁場(chǎng)分布，圖2給出了螺線管沿圖1任一虛線的縱截面圖.值得注意的是，圖2上方導(dǎo)線截面的電流并不總是垂直于紙面向外，僅有當(dāng)圖2恰好是沿圖1中虛線I的縱截面時(shí)，它才嚴(yán)格垂直于紙面向外，對(duì)于一般情況，如虛線II和III，其方向都是從紙面斜向外.

為了求出P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，我們以P點(diǎn)對(duì)稱地在A和B兩處分別選擇兩個(gè)電流元，由于是縱截面，因此，A和B兩處電流元的方向是一致的，在橫截面中，其方向在圖1中用箭頭標(biāo)出.因此，這兩個(gè)電流元在P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

盡管dl→和r→0的方向并不總是垂直，但是由dl→和r→0共同確定的平面總是與圖1的橫截面平行，因此它們叉乘的方向必然沿著軸向，具體指向與電流

圖1 無(wú)限長(zhǎng)直密繞螺線管的橫截面圖

圖2 螺線管沿圖1任一虛線的縱截面圖

方向滿足右手螺旋關(guān)系.由于螺線管無(wú)限長(zhǎng)，因此螺線管上任一點(diǎn)都存在與之對(duì)應(yīng)的另一點(diǎn)，使其產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度沿著軸向.綜上可知，無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管中的磁感應(yīng)強(qiáng)度必然沿著軸向，其具體指向與電流方向滿足右手螺旋關(guān)系.同理可證，對(duì)于螺線管外部，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向也沿著軸向，但其具體指向與螺線管內(nèi)恰好相反.

2 無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管磁場(chǎng)的定量計(jì)算

圖3 通電螺線管安培環(huán)路的選擇

知道了螺線管內(nèi)外磁場(chǎng)的方向后，就可以進(jìn)一步借助安培環(huán)路定理，定量地求出螺線管內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度.如圖3所示，取回路ABC'D'A，然后由安培環(huán)路定理可知

圖4 與密繞螺線管軸線垂直的無(wú)限大平面S

如圖4所示，作垂直于密繞螺線管軸線的無(wú)限大平面S，將管內(nèi)部分的面積記為S內(nèi)，管外部分的面積記為S外.那么，由于磁感應(yīng)線是閉合的，因此

所以B外=B內(nèi)S內(nèi)/S外，由于B內(nèi)和S內(nèi)都是有限大小，而S外趨于無(wú)窮大，因此B外→0，即無(wú)限長(zhǎng)密繞通電螺線管外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度與內(nèi)部相比近似為零.

然后，再取圖2中的ABCDA回路，并利用安培環(huán)路定理，有

從而可得

其中，μ0為真空磁導(dǎo)率，n為密繞通電螺線管單位長(zhǎng)度線圈的匝數(shù)，I為密繞通電螺線管內(nèi)的電流.

綜上，無(wú)限長(zhǎng)直密繞通電螺線管磁場(chǎng)外部磁場(chǎng)近似為零，內(nèi)部磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為μ0nI，方向與電流方向滿足右手螺旋關(guān)系.

3 結(jié)論

本文利用無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管的對(duì)稱性、磁感應(yīng)線的閉合性以及安培環(huán)路定理，給出了一種簡(jiǎn)單且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍蠼鉄o(wú)限長(zhǎng)密繞通電螺線管磁場(chǎng)分布的方法.根據(jù)筆者測(cè)試，發(fā)現(xiàn)使用該方法講述該問(wèn)題僅需10分鐘左右.因此，在實(shí)際的課堂教學(xué)中，可以使用該方法講解無(wú)限長(zhǎng)密繞通電螺線管磁場(chǎng)分布的問(wèn)題，這樣能使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)掌握該問(wèn)題的嚴(yán)密求解過(guò)程，也有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.