數形結合法在高等數學教學中的應用研究

朱麗娜

【摘要】數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。新課改對高等數學教學提出了更高要求，通過高等數學教學，不僅要傳授學生基礎知識，還要兼顧學生能力的培養。數形結合作為一項思維轉換思想，能把復雜、抽象的問題簡單化、具體化，能將抽象問題更為直觀、簡單地呈現出來，幫助學生分析、解決問題，提高學習效率，同時還可以開拓我們的解題思路。由此，加強對數形結合思想在高等數學中應用的研究具有現實意義。

【關鍵詞】數形結合法 高數教學 應用研究

【中圖分類號】O13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0053-02

一、數形結合思想概述

數形結合思想主要是指數與形的結合，作為一種數學思想方法，數形結合主要分為兩種情況，一種是利用數的精確性闡明形的某些屬性，另一種是借助形的幾何直觀性表明數之間的關系。簡而言之，就是“以數解形”和“以形助數”。巧妙地運用數形結合思想，能夠引導學生在掌握基礎知識的基礎上，提高數學素養和敏銳性，使學生能夠在“形中見數”，又能夠“數中見形”，深化對知識本質的理解，從而培養數感。另外，數形結合思想能夠實現數與形之間的轉換，將各個要素之間關系更為直觀、簡單地呈現出來，為學生提供解決問題的思路。不僅如此，將數形結合思想運用到高等數學教學過程中，還能夠將各知識點聯系到一起，構建數學知識體系。

二、數形結合法在高等數學教學中的重要性

首先，幫助學生更好地理解抽象的問題。通過研究高等數學可以發現，幾何問題與微積分起源都對高等數學的學習具有重要的指導意義。在高等數學學習中運用數形結合的方法，能夠有效地把抽象問題通過形象直觀的圖形語言描述出來，從而使得學生在學習相關的概念及定理時，能夠在圖形的幫助下，尋找到相應的證明思路。

其次，提升學生對高等數學的學習興趣。數形結合的核心理念就是把抽象的理論和圖形結合起來，將抽象概念形象化處理，通過這樣的方式提升學生的抽象思維能力，使學生能夠更好的描述中掌握高等數學的基本知識，數形結合法學生可以把理論、概念性的知識實施簡化處理，從而能夠有效地提升學習效率。因此，在數形結合中，把”數”理念與”形”特點結合起來，通過兩者間的相互促進和配合，為學生理解以及掌握高等數學提供新思路，增強學生學習高等數學的積極性，啟發學生對問題的深入思考，也是提升學習興趣的一個重要途徑。

三、數形結合法在高等數學教學中的應用

1.深化概念本質，夯實基礎知識

高等數學很多概念都是由抽象的數學語言構成，進行形式化的描述，由于過于抽象，不利于其理解和消化數學概念。因此，利用數形結合思想從概念背景入手，利用直觀的幾何圖形引導學生觀察、分析，逐漸由具象圖形轉變為抽象的概念，幫助學生理解和接受概念。“數形結合”有助于對數學知識的記憶，教學中運用形象記憶的特點，使抽象的數學盡可能地形象化，對學生輸入的數學信息和映象就更加深刻，在學生的腦海中形成數學的模型，可以形象地幫助學生理解和記憶。例如：在進行“導數”概念教學過程中，可以從曲線的切線斜率著手，并借助變速直線運動的瞬間速度求法進行整理。通過這種方式不僅能夠讓學生了解知識發展過程，強化對概念的認識，還能培養學生概括思維，更好地解決生活中遇到的問題。

2.通過數形結合解釋數學思維

應用“數形結合”，訓練學生數學直覺思維能力，應用“數形結合”，培養學生的創造性思維能力。在數學里存在著大量的直覺思維，這就是人們在求解數學問題時，運用已有的知識，從整體上對數學對象及其結構迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設，并作出試探性的結論，它具有頓悟、飛躍的特征。用數形結合的方法解題，能最直接揭示問題的本質，直觀地看到問題的結果，只需稍加計算或推導，就能得到確切的答案。教學中要注意用數形結合的方法訓練直覺思維，讓學生養成整體觀察、檢索信息、把握問題實質的好習慣。數形結合的教學方法要求教師在實踐中能夠更好地把教學思維融合進來，因此，教師在教學實踐中需要把數形結合的方法用于解釋數學思維，同時也重視對數學思維能力的培養，在解決問題時應用數形結合思想表達出來。

3.強化定理理解，培養學生創造力

定理作為高等數學教學的重難點，學生理解難度大，但是利用數形結合思想，能夠將定理通過直觀的幾何圖形呈現給學生，強化學生對定理的理解，提高學生對定理的運用能力。例如：在“微分中值定理”教學過程中，該定理包括內容較多，如羅爾定理、拉格朗日中值定理等，是學習高等數學定理的關鍵，由于定理相對集中，教師可以利用數形結合思想，呈現定理之間的關系，降低學生理解難度。從幾何角度來看，定理之間屬于切線平行于弦，而從解析角度來看，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，特定條件下，羅爾定理是另一種定理。由此可見，數形結合思想，能夠引導學生參與到教學過程中，強化學生對定理的理解，并讓學生感受到數學知識的魅力。

4.應用數形結合引導學生思考

在高等數學的學習中，教師采用數形結合的教學方法還可以引導學生對數學問題進行思考。最有效的方法就是引導學生自主的思考問題，使得學生在學習中能夠發揮主觀能動性，通過數形結合方法有效地提升學生探索問題的能力，最終達到解決問題的目的。因此，在高等數學的學習中，教師可以引導學生進行思考，培養學生勤于思考與樂于思考的良好習慣。例如有一個十分重要的極限公式，如果使用定義以及極限的運算法則來證明將十分復雜，此時可以換一個角度思考，運用夾逼準則（也稱為夾擠定理或者兩邊夾定理），它作為極限存在判定的準則之一，運用此定理來判定此函數極限問題，通過數形結合來證明此問題就較為簡單.在解答問題中，學生需要對這些問題進行多角度的思考，進而找到最為簡單的解答途徑。

5.豐富解題思路，提高解題效率

數學家華羅庚曾說過：“幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”高等數學中部分數學問題，僅能夠通過數和形解決，但是，過于麻煩且困難，如果能夠發現問題各要素之間的聯系，并運用代數和幾何含義，豐富解決思路，最終快速解決問題。例題：設函數f（x）在定義域內可導，y=f（x）的圖形如圖1所示，則導函數y′=f′（x）圖形為（ ）。通過圖形能夠看出，x小于0時，呈現遞增趨勢，相對應的圖形應在x上方，反之，則呈現曲線，先增后降再增，使得f（x）也要隨之變化，由此，選擇最后一個答案。通過這種方式，不僅能夠將數形結合思想滲透到學生思維中，還能夠將知識有機結合。

四、數形結合在高等數學中的應用實例

利用數形結合可以增加高等數學解題的求簡意識。數學知識來源于對實踐的感性認識，在對數學的認識過程中，也是這樣。通過數形結合可以提高對數學知識的認知能力，通過數形結合可以從直接體驗數學知識，加強對概念、定義、定理的理解，更好的掌握數學知識的內涵和外延，提高對高等數學的自主學習能力。

1.利用數軸解決集合的相關問題

當兩個集合的解是不等式時，要求其并集或者交集，可以用過數軸表示來把不等式的解集表示出來。

例1：已知集合A={X|-2 （1）若AB，求a的范圍

（2）若BA，求a的范圍

解：

（1）用數軸來表示集合A，根據題意得，集合B覆蓋集合A，如圖（1），則a≥2，且2a≥6，

得出a≥3。

（2）若集合A覆蓋集合B，如圖（2）所示，則-a≥-2，且6≥2a，且2a>-a，得出0 -a -2 6 2a -2 -a 2a 6

（1）（2）

通過上述例題充分利用了數軸，把抽象的數學問題反映到圖形上，清晰的表達各集合之間的關系，從而得解答集合運算、求解參數值等一系列的問題。

2.運用數形結合思想解決函數問題

借助于圖像研究函數的性質，是一種常用的方法，函數圖像的集合特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。運用這種數形結合的思想有助于理解題意，探求解題思路，檢驗解題結果。

例1：已知奇函數f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，+∞）上單調遞增，若f（1）=0，滿足x·f（x）<0的范圍是_____。

分析：函數f（x）比較抽象，欲解出目標不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自變量與函數值異號，故可作出f（x）的圖像加以解決。

解：作出符合條件的一個函數圖像，如圖1。由圖可知：x·f（x）<0的x取值范圍是（-1，0）∪（0，1）。可見，對于較抽象的函數問題，只需按題設作出最簡單的函數圖像即可。

總之，數形結合法在高等數學教學中發揮著重要作用，教師通過數形結合的教學方法，能夠更好地解析高等數學中比較抽象的概念，通過直觀化的方式開拓學生的思路以及想象力，達到提高學生學習效率，進而提升學生分析問題和解決問題的能力的目的。

參考文獻：

[1]牛海軍.關于某些抽象函數原型問題的研究[J].河南教育學院學報.2014（01）.

[2]蔡俊娟.Mathematica在《高等數學》教學中的應用[J].長江大學學報，2012，20（5）.