淺談極值點偏移問題

陳俊藝

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0131-02

在翻閱近幾年的高考試卷中，發(fā)現(xiàn)以極值點偏移為背景的試題，時有出現(xiàn)。通過閱讀一些參考文獻(xiàn)，筆者深受啟發(fā)，這里給出處理此類問題的一種突破策略。

1.知識準(zhǔn)備

極值點偏移：若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于，兩點，則的中點為，若則稱極值點左偏，若則稱極值點右偏。

2.真題再現(xiàn)

（2016年全國I卷）已知函數(shù)有兩個零點.

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)是的兩個零點，證明：.

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并對參數(shù)進行分類討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，根據(jù)有兩個零點，從而得到參數(shù)的取值范圍.

（2）證明：要證明即要證明，是極值點右偏的問題，現(xiàn)給出本題的解答.

解：不妨設(shè)，由（1）知，

在上單調(diào)遞增

令，則

，在上遞增

所以，即，

所以，

故，即.

點評：要證明等價于，即.所以想到構(gòu)造函數(shù)

3.突破策略

通過上面的解答，下面給出解決極值點偏移問題的一種策略：

（1）求出函數(shù)的極值點；

（2）構(gòu)造函數(shù)；

（3）研究函數(shù)的單調(diào)性；

（4）結(jié)合判斷的符號，從而確定與的大小關(guān)系.

下面再結(jié)合一些題目，加深對這種策略的理解。

4.牛刀小試

例1（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，

解：易求出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，不妨設(shè)，由函數(shù)單調(diào)性知。

構(gòu)造函數(shù)

令，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

從而，又

所以即。

而，所以，又，從而.

由于，且在上單調(diào)遞增，所以，即證

點評：這邊構(gòu)造函數(shù)主要目的是通過，判斷的符號，從而較與的大小。又所以只需要考慮的符號。

例2.（2010天津理）已知函數(shù) ，如果，且 ，證明：

解：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，且，如圖所示.由，不妨設(shè)，則必有，

構(gòu)造函數(shù)

則，所以在上單調(diào)遞增， 故

由，則，所以

所以，即

例3. （2015年蘇錫常鎮(zhèn)（二模）已知函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)記為（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求函數(shù)的極大值；

（2）解方程；

（3）若存在實數(shù)使得，

求證：

解：（1）函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減。則

（2）.若，顯然滿足上式.

若，方程等價于，

故，顯然當(dāng)時，，

令，

故在上單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時原方程有唯一根.

綜上，原方程的解為x=0或x=1

（3）證明：不妨設(shè)，

由（1）知，，

在上單調(diào)遞減

令，則，在上遞增

所以，即，

又當(dāng)時單調(diào)遞減

所以，

故，即

點評：（3）問欲證，只需證明，也就是極值點左偏的問題。

例4.（蘇州市2017屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù).（）若，且，證明：.

分析：令，則要證明轉(zhuǎn)化為證明，也就是極值點右偏問題

解：令，則，要證明只需證

把代入

得 ，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增則

令，則

，在上遞增

所以，即，

又當(dāng)時單調(diào)遞增

所以，

故，即

點評：本題是在原有的兩個變量的基礎(chǔ)上，運用換元法，從而轉(zhuǎn)化成極值點偏移問題去解決.

5.解題感悟

這類以極值點偏移為背景的題目，很好地考查了學(xué)生的方程與函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化和化歸思想。對學(xué)生的能力要求比較高。通過對相關(guān)題目的解答方法的探究，歸納總結(jié)出解決問題的通性通法。可以幫助學(xué)生加深對題目本質(zhì)的理解，提高解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]刑友寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（7）：19-22.

[2]王歷權(quán)，黨忠良.也談極值點偏移問題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（4）：12-14