格蘊涵代數中的極小素理想及α-理想

孟彪龍，付巧峰，梁少輝

MENG Biaolong,FU Qiaofeng,LIANG Shaohui

西安科技大學 數學系，西安 710054

Department of Mathematics,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China

1 引言

為了研究命題真值取值于格上的邏輯系統，徐揚等[1-2]將格和蘊涵代數相結合，提出了格蘊涵代數。王國俊[3]證明了格蘊涵代數與MV-代數范疇等價。理想/濾子是格蘊涵代數的一類重要子結構，是刻畫格蘊涵代數的一個重要工具。自格蘊涵代數提出后，諸多學者對格蘊涵代數的理想/濾子理論做了大量的研究工作。例如，Jun[4]提出了格蘊涵代數中的LI-理想并得到了ILI-理想的擴張原理。劉用麟等[5]、朱華等[6]相繼提出了格蘊涵代數的素理想、極大理想和準素理想等并討論了它們之間的關系等。趙建斌等[7]提出了格蘊涵代數中的零化子，給出其初步性質。孟彪龍[8]和Jun[9]分別引入格蘊涵代數的素濾子并證明了素濾子定理。朱華等[10]在格蘊涵代數中提出擴張濾子并用之刻畫了素濾子。α-理想是Cornish[11]在分配格中提出并用之對廣義Stone格進行了刻畫。之后，Jayaram等[12-15]進一步將此概念推廣到0-分配格、C-代數等并研究了其性質。Zou等[16]提出了BL-代數的α-理想并證明其等價于對合理想，繼而研究了α-理想集合的代數結構。本文進一步研究格蘊涵代數中的極小素理想，討論極小素理想與極小格素理想的關系以及極小素理想與零化子的相互表示問題。引入格蘊涵代數中的α-理想并討論其性質和等價刻畫。最后研究全體素α-理想之集Sα(L)的拓撲性質。

2 預備知識

定義1[1]設(L,∧,∨,')是一個有泛界0,1的有余格，≤是L上的偏序關系。若映射→:L×L→L滿足：

?x,y,z∈L

(I1)x→(y→z)=y→(x→z)；

(I2)x→x=1；

(I3)x→y=y′→x′；

(I4)若x→y=y→x=1，則x=y；

(I5)(x→y)→y=(y→x)→x；

則稱(L,∧,∨,'→,0,1)是一個擬格蘊涵代數。若它還滿足：

(I6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)；

(I7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)；

則稱(L,∧,∨,'→,0,1)是一個格蘊涵代數。

下文中，L始終表示一個格蘊涵代數。

定義2[2]設I是L的非空子集。若I滿足：（1）0∈I；（2）(x→y)′,y∈I蘊涵x∈I，則稱I是L的一個理想。

設I是L的一個真理想。若?x,y∈L,x∧y∈I蘊涵x∈I或y∈I,則稱I是L的一個素理想（見文獻[4]）。L的全體理想之集記為I(L)，顯然I(L)是一個完備分配格，其中對I(L)的任一非空子集{Ii|i∈Λ} ，∧i∈ΛIi=?i∈ΛIi，∨i∈ΛIi=(?i∈ΛIi]，后者表示由{Ii|i∈Λ} 所生成的理想。又記L的全體素理想之集為PI(L)。

定理1[2，17]設A是L的非空子集。由A生成的理想記為(A]，則：

其中，a?b=(a→b′)′，a⊕b=a′→b。

定義3[7]設B是L的非空子集，則集合B*={x∈L|稱為B的零化子。當B={a}時，簡記為a*。

定理2[6]設B、C是L的非空子集，則下列性質成立：

（1）B*∈I(L)且(B]*=B*；

（2）B?C?C*?B*；

（3）B?B**，B*=B***；

（4）(B?C)*=B*?C*；

（5）若B∈I(L)，則B?B*={0}。

3 格蘊涵代數上的（極小）素理想

命題1 設I,J∈I(L)，記I→J={x∈L|(x]?I?J}，則下列結論成立：

（1）I→J∈I(L)且I?(I→J)?J；

（2）I?K?J當且僅當K?I→J。

其中K∈I(L)。

證明 僅證（1）顯然0∈I→J。若(x→y)′,y∈I→J則 ((x→y)′]?I?J，(y]?I?J。由I(L)是分配格知(((x→y)′]∨(y])?I=(((x→y)′]?I)∨((y]?I)?J。又由(x→y)″→(y′→x′)=(x→y)→(x→y)=1 ，因 此x∈((x→y)′]∨(y]且 (x]?I?(((x→y)′]∨(y])?I?J，所以x∈I→J，此即說明I→J是L的理想。又 ?x∈I?(I→J)，由x∈I→J知(x]?I?J。又由于x∈I，因此x∈(x]?I?J,x∈(x]?I?J,蘊涵I?(I→J)?J成立。

由上述命題知，I(L)是一個完備的Brouwer格，其中?I,J∈I(L)，I→J是I關于J的相對偽補元。特別地，I→{0}=I*是I的偽補元。

命題2設P∈PI(L)且P*非零，則?a∈LP使得P=a*。

證明 若P*≠{0}，則 ?a∈P*且a≠0，由定理2（3）則有P?P**?a*。若x∈a*，x∧a=0∈P，又由P是素的知x∈P或a∈P。若a∈P，則a∈P?P*={0}，與a≠0矛盾。故x∈P，a*?P。綜上知P=a*，命題成立。

命題3 若 ?P∈PI(L)有P*非零，則 ?I,J∈I(L)，I?J={0}?I*∨J*=L。特別地，?I∈I(L)，I*∨I**=L。

證明 假設 ?I,J∈I(L)使得I?J={0}，但I*∨J*?L，則?a∈L(I*∨J*)，于是由格蘊涵代數的素理想定理（見文獻[4]）知?P∈PI(L)使得I*∨J*?P且a?P。由定理2（2）和I(L)是Brouwer格知P*?I**,J**?P*?I**?J**=(I?J)**={0}，與P*非零矛盾，因此命題成立。又?I∈I(L)，顯然I?I*={0}，因此I*∨I**=L。

定理3若?P∈PI(L)有P*非零，則I(L)是一個Stone格。

所謂Stone格即滿足Stone恒等式x′∨x″=1的偽補分配格，其中x′是x的偽補元（見文獻[18]）。

定義4設P是L的一個素理想（格素理想）。若對任意的素理想（格素理想）J，J?P蘊涵J=P，則稱P是L的一個極小素理想（極小格素理想）。

定理4設I是L的一個真的格理想。?a∈L，記Ia={x∈L|(a→x)′?I}，K(I)=?{Ia|a∈LI}，則K(I)是L的一個理想且K(I)?I。特別地，如果I是L的一個格素理想，則K(I)也是L的一個素理想。

證明 顯然 0∈K(I)。設 (x→y)′,y∈K(I)，則由(x→y)′∈K(I)知 ?a∈LI，(x→y)′∈Ia，即 (a→(x→y)′)′?I。由y∈K(I),則y∈I(a→(x→y)′)′,即((a→(x→y)′)′→y)′?I。由于

因此(a→x)′?I，x∈K(I)，此即說明K(I)是L的一個理想。又?a?I，由(a→a)′=0∈I，因此a?Ia，繼而有a?K(I)，故K(I)?I。

假設I是L的一個素理想，現證明K(I)也是L的一個素理想。首先說明下列事實：

（1）設J是L的一個真格理想，則?a∈L，x∧y∈Ja蘊涵x∈Ja或y∈Ja。

事實上，若x∧y∈Ja，則(a→(x∧y))′?J。又由于(a→x)′∨(a→y)′=((a→x)∧(a→y))′=(a→(x∧y))′,則由J是格理想知(a→x)′?J或(a→y)′?J，結論成立。

（2）若J是L的一個真格理想，則?a,b∈L,Ja∧b?Ja?Jb。 ?z∈Ja∧b,則 ((a∧b)→z)′?J。由于 ((a∧b)→z)′=(a→z)′∧(b→z)′，于是由J是格理想知 (a→z)′?J且 (b→z)′?J，即z∈Ja且z∈Jb，因此有Ja∧b?Ja?Jb。

設x,y?K(L)，則?a,b?I使得x?Ia,y?Ib。由I是素理想知a∧b?I。又如果x∧y∈K(I)，則x∧y∈Ia∧b，由（1）知x∈Ia∧b或y∈Ia∧b，繼而由（2）知x∈Ia或y∈Ib，矛盾。因此x∧y?K(I)，即說明K(I)是素理想。

推論1設P是L的一個真理想，則P是L的極小素理想當且僅當P是L的極小格素理想。

定理5設P∈PI(L)，則P是L的一個極小素理想當且僅當?a∈P，?b∈LP使得a∧b=0。

證明 僅證必要性：首先由推論1知P是L的一個極小格素理想。取a∈P，記F={x∈L|?y∈LP:a∧則易證F是L的一個格濾子且a∈F。又顯然LP?F，現證下列結論成立：

(*)若0?F，則存在L的一個格素理想M使得M?F=?。

記與F不交的L的格理想之集為S，由0?F知S≠?。又由Zorn's引理知S有極大元M。若M不是格素理想，則 ?x,y?M但x∧y∈M。記x、y分別與M生成的格理想為＜M?x＞，＜M?y＞，由M是S的極大元知＜M?x＞?F≠?,＜M?y＞?F≠?，故?r,s∈M使得r∨x∈F,s∨y∈F,由F是格濾子知(r∨x)∧(s∨y)∈F。又由L是分配格，則：

于是有M?F≠?，矛盾。因此M是L的一個格素理想，且M?F=?，(*)成立。

由LP?F和(*)知M?P且a∈PM,與M是極小格素理想矛盾，故0∈F,即?b∈LP使得a∧b=0,命題得證。

推論2設P是L的一個極小素理想，則P=?x?Px*。

下面給出零化子的一個表示定理。

定理6設a∈L，則a*=?{P|P是極小素理想且a?P}。

證明 記W=?{P|P是極小素理想且a?P}。設P是一個極小素理想且a?P,則?x∈a*，x∧a=0∈P。由P是素的且a?P知x∈P蘊涵a*?P，因此a*?W。反之，若x?a*,則存在素理想P0使得x∧a?P0，因此x?P0。記不包含x的素理想之集為B，則由對偶Zorn's引理知B有極小元Q且x?Q，因此x?W，W?a*，命題成立。

由于 ?I∈I(L)，I*=?x∈Ix*，結合定理6則下述結論成立。

推論3設I∈I(L)，則I*=?{P|P是極小素理想且I?P}。

定理7設P∈PI(L)，則P是極小素理想當且僅當?x∈L，x、x*有且僅有一個屬于P。

證明 設P是極小素理想，則顯然x、x*至少有一個屬于P。又若x∈P，由定理5知?y?P使得x∧y=0即y∈x*，因此y∈x*P，x*?P。若x*?P，則顯然x?P，否則?y?P使得y∈x*蘊涵y∈P，矛盾。反之，若Q∈PI(L)且Q?P，則?x∈PQ。由題設知x*?P，繼而有x*?Q，于是有y∈x*Q。由Q是素理想知x∧y?Q，由y∈x*又知x∧y=0，于是有0?Q，矛盾。因此P是極小素理想。

推論4設P∈PI(L)，若P是極小素理想，則?x∈L，x∈P當且僅當x**?P。

證明 設x∈P，y∈x**P。由定理7知x*?P，則?a∈x*P。由P是素理想知y∧a?P?y∧a＞0，而由y∈x**和a∈x*知y∧a=0，矛盾，故x**?P。又x**?P顯然蘊涵x∈P，故命題成立。

設I∈I(L)，若I**=I，則稱I是L的一個對合理想。由推論3知下列結論成立。

推論5設I是L的一個對合理想，則I=?{P|P是極小素理想且I?P}。特別地，L的所有極小素理想之交為{0}。

定理8設?I∈I(L)L且I*非零，則下列條件等價：

（1）每個理想是對合理想；

（2）每個素理想是對合理想；

（3）(PL(L);?)是反鏈。

證明 (1)?(2)顯然。

(2)?(3)不妨設P,Q∈PI(L)且P?Q，則 ?a∈QP。又?b∈Q*，則顯然a∧b∈Q?Q*={0}?P。由于a?P且P是素的，因此b∈P?Q，故而b∈Q?Q*={0}蘊涵Q*={0}。由題設Q是對合的，則有Q=與Q是真理想矛盾。因此，P?Q，故（3）成立。

(3)?(1) ?I∈I(L),I?I**成立。又a∈I**,則(a]?I**?I*=I***?(a]*=a*。若a?I，則 ?P∈PI(L)使得I?P，a?P，于是P*?I*。由a?P則有(a]?P，又由(a]?(a]*={0}?P和P是素的知a*=(a]*?P。由題設有 (a]∨P=L,因此 (a]*?P*=((a]∨P)*=L*={0}。又由I*?P*?(a]*?P*?P*=I*?P*={0}，矛盾。因此a∈I，即I**?I。綜上知I**=I，（1）成立。

4 格蘊涵代數上的α-理想

定義5設I∈I(L)。若?a∈L，a∈I蘊涵a**?I，則稱I是L的一個α-理想。

顯然，{0}和L都是α-理想。

例1[6]設L={0,a,b,c,d,1}是圖1所示的偏序集。定義L上的“′”運算為：0′=1,a′=c,b′=d，c′=a，d′=b，1′=0 。L的蘊涵運算“ → ”見表1，則 (L,∧,∨,'→,0,1)是一個格蘊涵代數。

圖1 L的偏序集

表1 L的“→”運算

I={0,d,a}是L的一個理想。驗證可知a*=d*={0,c},a**=d**={0,d,a}，因此I是L的一個α-理想。

命題4L的對合理想是α-理想。特別地，若B?L非空，則B*是L的一個α-理想。

設I∈I(L),記，則下列結論成立。

定理9 設I∈I(L)，則α(I)是包含I的最小α-理想。

證明 顯然I?α(I)。由0*=L知0∈α(I)。假設(x→y)′,y∈α(I)，則?i,j∈I使得i*?((x→y)′)*,j*?y*。又 ?t∈(i∨j)*，由 (t∧i)∨(t∧j)=t∧(i∨j)=0 知t∧i=0,t∧j=0 ，即t∈i*,t∈j*，于是有t∈((x→y)′)*,t∈y*，繼而(x→y)′∈t*,y∈t*，由t*是理想知x∈t*蘊涵t∈x*，故而 (i∨j)*?x*，又顯然i∨j∈I，因此x∈α(I)，即說明α(I)是L的理想。任取x∈α(I)，則 ?i∈I使得i*?x*。又 ?a?x**，則x*=x***?a*，因此i*?a*?a∈α(I)，所以有x**?α(I)即α(I)是L的α-理想。現假設J是包含I的任一α-理想。若x∈α(I)，則?i∈I使得i*?x*，進而由x∈x**?i**，又由題設知i**?J，故x∈α(I)，α(I)?J，命題得證。

推論6設I∈I(L)，則下列命題成立：

（1）I是α-理想當且僅當α(I)=I；

（2）α(I)是包含I的所有α-理想之交；

（3）映射α:I?α(I)是I(L)上的閉包算子。

命題5L的極小素理想是α-理想。

證明 設P是L的一個極小素理想，x∈P，則由定理5知?y?P使得x∧y=0,y∈x*。又由于?z∈x**?x*?z*，因此y∈x*?z*蘊涵z∈z**?y*。由y?P蘊涵(y]?P。若y*=(y]*?P，由P是素的則有0∈(y]?y*?P,矛盾，因此有y*?P。于是，z∈P,x**?P，P是α-理想。

命題6設P∈PI(L)且P*非零，則P是一個α-理想。

命題7設P是L的一個素理想，則I={x∈L|x∈a*:?a?P}是α-理想。

證明 顯然0∈I。現假設(x→y)′,y∈I，則 ?a,b?P使得(x→y)′∈a*,y∈b*,進一步有(x→y)′,y∈(a∧b)*。由(a∧b)*是理想，則x∈(a∧b)*。又P是素的蘊涵a∧b?P，故而x∈I，即I是理想。又?x∈I，y∈x**，則?a?P使得x∈a*?a∈x*，于是y∧a=0，y∈a*，因此y∈I蘊涵x**?I，即I是一個α-理想。

類似可證下列結論成立。

命題8設F是L的一個格濾子，則I={x∈L|x∈a*:?a∈F}是α-理想。

下面給出α-理想若干等價刻畫。

定理10設I∈I(L)，則下列命題等價：

（1）I是α-理想；

（2）?x,y∈L，x*=y*且x∈I蘊涵y∈I；

（3）I=?x∈Ix**；

（4）?x,y∈L，V(x)=V(y)且x∈I蘊涵y∈I，其中V(x)是包含x的所有極小素理想之集。

證明 (1)?(2)顯然。

(2)?(3) 若a∈?x∈Ix**，則存在x∈I使得a∈x**蘊涵a**?x****=x**，于是a**=a**?x**=(a∧x)**，繼而a*=(a∧x)*。由x∈I知a∧x∈I，由題設（2）知a∈I，?x∈Ix**?I成立。又相反包含關系顯然成立，（3）得證。

(3)?(1) 設a∈I，則由題設（3）知存在x∈I使得a?x**蘊涵a**?x**?I，故I是α-理想。

(2)?(4) 假設V(x)=V(y)。?a∈x*,由定理6知a∈P,其中P是不包含x的任一極小素理想，于是P∈V(x)，a?P。由V(x)=V(y)知?P∈V(y),a?P,所以a∈y*,x*?y*，因此x*=y*。反之假設x*=y*，若P是不包含x的任一極小素理想，則x*?P，由題設則y*?P。由P是極小素理想，繼而由定理7知y?P，此即P?V(x)蘊涵P?V(y)，因此V(x)=V(y)。

定理11設L是格蘊涵代數，則下列結論等價：

（1）每個理想是α-理想；

（2）每個主理想是α-理想；

（3）每個素理想是α-理想；

（4）?x,y∈L，x*=y*?(x]=(y]。

證明 (1)?(2)顯然。

(2)?(3) 設P∈PI(L)，又x∈P，則(x]?P。由題設知(x]是α-理想且x∈(x]，因此x**?(x]?P，即P是一個α-理想。

(3)?(4) 假設x*=y*且 (x]?(y]。記T={I∈I(L)|x?I,x∧y∈I}，則(x∧y]∈T，故T≠? 。由 Zorn's引理知T有極大元P且是素的。否則?s?P,t?P但s∧t∈P，于是P?(P?{s}]，P?(P?{t}]。由P的極大性知 (P?{s}]?T，(P?{t}]?T，于是由文獻[3]定理3.17知x∈(P?{s}]?(P?{t}]=P，矛盾，因此P是素的，繼而y∈P。由題設(3)知P是α-理想，又由定理10知x∈P，矛盾，命題成立。

(4)?(1) 設I∈I(L)，又若x*=y*且x∈I，則由（4）知y∈(y]=(x]?I，由定理10知I是L的一個α-理想。

下面討論格蘊涵代數L的所有素α-理想之集Sα(L)的拓撲性質。

記S(x)={P∈Sα(L)|x?P}，則易驗證S(x)?S(y)=S(x∧y)，?x∈LSSα(L)，因此T={S(x)|x∈L}是Sα(L)的一個拓撲基。

命題9 設I∈I(L)是α-理想，?≠S?L是∧-封閉的且I?S=?，則存在L的一個素α-理想P使得I?P且S?P=?。

命題10設L是格蘊涵代數，則?x,y∈L，下列結論成立：

（1）S(x)=S((x])=S(x**)；

（2）S(x∨y)=S(x⊕y)=S(x)?S(y)；

（3）S(x**)?Sα(L)S(x*)。

命題11設A、B是L的非空子集。若?x∈AS(x)??y∈BS(y),則存在A、B的非空有限子集A0,B0使得?x∈A0S(x)??y∈B0S(y)。

證明 記A生成的格濾子為[A]，則[A]?α((B])≠?。否則由命題9知?P∈Sα(L)使得α((B])?P,[A]?P=?。因此?x∈A,y∈B，P∈S(x)，P?S(y)蘊涵P∈?x∈AS(x),P??y∈BS(y),矛盾。現任取z∈[A]?α((B])，則由z∈[A]知 ?a1,a2,…,an∈A使得a1∧a2∧…∧an≤z蘊涵S(a1)?S(a2)?…?S(an)=S(a1∧a2∧…∧an)?S(z)。

由z∈α((B])且(B]亦是一個格理想知?b1,b2,…,bm∈B使得b≤b1⊕b2⊕…⊕bm且z∈b**，繼而有z∈(b1⊕b2⊕…⊕bm)**，于是由命題10（1）和（2）知S(z)?S(b1)?S(b2)?…?S(bm),因此S(a1)?S(a2)?…?S(an)?S(b1)?S(b2)?…?S(bm)，命題成立。

推論7Sα(L)的一個開子集U是緊的當且僅當?x∈L使得U=S(x)。

又Sα(L)顯然是一個緊的T0-空間，結合命題11則下列結論成立。

定理12Sα(L)是一個Stone空間。

設M是L的一個α-理想，若M不包含于L的任一真α-理想中，則稱M是L的一個極大α-理想。

定理13Sα(L)是一個T1-空間當且僅當每個素α-理想是極大的。

證明 ?:假設P是一個素α-理想但非極大的，則存在L的一個素的α-理想Q使得P?Q。由題設Sα(L)是T1-空間，則存在?S(xi)(i∈Λ)，?S(xj)(j∈τ)，其中Λ、τ是某兩指標集，使得P∈?S(xi)?S(xj)，Q∈?S(xj)?S(xi)，因此存在i∈Λ,j∈τ，使得P∈S(xi)S(xj)，Q∈S(xj)S(xi)。由P?S(xj)知xj∈P?Q，由Q∈S(xj)知xj?Q，矛盾，因此P是極大的。

?:假設每個素α-理想是極大的。任取P,Q∈Sα(L)且P≠Q。由于P、Q是極大的，因此P?Q且Q?P，從而有a∈PQ,b∈QP蘊涵Q∈S(a)S(b)，故Sα(L)是一個T1-空間。

定理14若?x∈L,有x*∨x**=L,則下列條件等價：

（1）Sα(L)是一個T2-空間；

（2）?P,Q∈Sα(L)且P≠Q,則?a,b∈L使得a*?P,b*?Q并且?R∈Sα(L)，a∧b∈R。

證明 (1)?(2) 設P,Q∈Sα(L)且P≠Q,由Sα(L)是T2-空間，則P∈ ?i∈ΛS(xi),Q∈ ?j∈ΓS(yj)且(?i∈ΛS(xi))?(?j∈ΓS(yj))=?，其中 Λ、Γ是某兩指標集。于是 ?i∈Λ,j∈Γ使得P∈S(xi)，Q∈S(yj)，S(xi)?S(yj)=? 。由知蘊涵于是就有，類似可證又若?R∈Sα(L)使得xi∧yj?R，則R∈S(xi)?S(yi)與其不交矛盾，命題（2）成立。

(2)?(1) 設P,Q∈Sα(L)且P≠Q,由題設?a,b∈L使得a*?P,b*?Q。若a∈P,則a**?P蘊涵L=a*∨a**?P，與P是理想矛盾，故a?P。類似可證b?Q，故P∈S(a),Q∈S(b)。由題設顯然S(a)?S(b)≠?，因此Sα(L)是一個T2-空間。

5 結語

本文進一步研究格蘊涵代數中的極小素理想的性質，證明了極小素理想等價于極小格素理想，并給出了極小素理想與零化子的相互表示定理。提出了格蘊涵代數中的α-理想概念并給出其若干等價刻畫，證明了極小素理想是α-理想。最后證明了素α-理想之集Sα(L)是一個緊的Stone空間，進一步給出Sα(L)分別是T1、T2拓撲空間的充要條件。