正則FI-代數(shù)的刻畫及成為Boole代數(shù)的條件

凌雪岷，徐羅山，楊凌云

LING Xuemin1,XU Luoshan2,YANG Lingyun3

1.安徽新華學(xué)院 通識(shí)教育部，合肥 230011

2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002

3.江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 徐州 221116

1.Department of Common Education,Anhui Xinhua University,Hefei 230011,China

2.College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou,Jiangsu 225002,China

3.School of Mathematics and Statistics,Jiangsu Normal University,Xuzhou,Jiangsu 221116,China

1 引言

為給邏輯推理提供各種可能的邏輯體系，許多學(xué)者陸續(xù)提出了各種型和形不同的代數(shù)系統(tǒng)，每一種代數(shù)系統(tǒng)對應(yīng)著不同的公理組[1-2]。王國俊教授提出的與形式邏輯系統(tǒng)L*相匹配的R0-代數(shù)[3-4]，吳望名教授提出的FI-代數(shù)[5]，吳洪博教授提出的WBR0-代數(shù)[6]（又稱弱基礎(chǔ)R0-代數(shù)）等都是這一領(lǐng)域重要的代數(shù)系統(tǒng)。許多學(xué)者給出了它們的多種刻畫[7-10]和相互關(guān)系[9-12]并取得了許多好的成果[12-16]。在這些研究基礎(chǔ)上，本文首先對正則FI-代數(shù)進(jìn)行再研究，給出了正則FI-代數(shù)的兩個(gè)公理組條件更少的刻畫定理。然后在正則FI-代數(shù)中引入蘊(yùn)涵分配性，討論蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)的若干性質(zhì)，證明蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)與Boole代數(shù)是相互等價(jià)的代數(shù)系統(tǒng)。

下面給出FI-代數(shù)的基本概念和相關(guān)結(jié)果。

定義1[5]一個(gè)(2,0)型代數(shù)(X,→,0)稱為Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，簡稱FI-代數(shù)，若?x,y,z∈X，有：

（I1）x→(y→z)=y→(x→z)；

（I2）(x→y)→[(y→z)→(x→z)]=1；

（I3）x→x=1；

（I4）若x→y=y→x=1，則x=y；

（I5）0→x=1,其中1=0→0。

稱滿足（I6）：?x∈X,(x→0)→0=x的FI-代數(shù)為正則FI-代數(shù)。

引理1[6]在正則FI-代數(shù)(X,→,0)中，?x,y,z∈X，有以下結(jié)論：

（1）x→y=(y→0)→(x→0)；

（2）(y→z)→((x→y)→(x→z))=1。

2 正則FI-代數(shù)的等價(jià)刻畫定理

本章根據(jù)正則FI-代數(shù)的公理組內(nèi)在聯(lián)系，給出正則FI-代數(shù)的兩個(gè)公理組條件更少的等價(jià)刻畫定理。

命題1在正則FI-代數(shù)(X,→,0)中，對每一x∈X有1→x=x。

證明 由（I5）、（I6）和引理1（1）知：

1→x=(0→0)→((x→0)→0)=(x→0)→0=x

定義2一個(gè)(2,0)型代數(shù)(X,→,0)稱為正則NFI-代數(shù)。如果?x,y,z∈X有：

（N1）(x→y)→((y→z)→(x→z))=1；（N2）x→y=(y→0)→(x→0)；

（N3）若x→y=y→x=1，則x=y；

（N4）1→x=x；

（N5）0→x=1,其中1=0→0。

命題2每個(gè)正則FI-代數(shù)都是正則NFI-代數(shù)。

證明 由定義1知（I2）即為（N1），引理1（1）即為（N2），（I4）即為（N3），命題1即為（N4），（I5）即為（N5）。

命題3在正則NFI-代數(shù)X中，?x,y,z∈X有：

（1）x→x=1；

（2）x→1=1；

（3）(x→0)→0=x；

（4）x→(y→z)=y→(x→z)；

（5）x→(y→x)=1。

證明（1）由（N1）和（N4）知：

（2）由（N2）、（N4）和（N5）知：

（3）由（N2）和（N4）知：

（4）先證(y→(x→z))→(x→(y→z))=1。

證明分6步完成：

① 由（N1）和（N4）知：

② 由（N1）知：

(y→(x→z))→(((x→z)→z)→(y→z))=1

③若x→y=1，則(y→z)→(x→z)=1。因?yàn)橛桑∟1）和（N4）知：

④將③的題設(shè)條件x→y=1中的y用(x→z)→z代，(y→z)→(x→z)=1中z用y→z代，則由①和③知：

(((x→z)→z)→(y→z))→(x→(y→z))=1

⑤若x→y=1，y→z=1，則x→z=1。因?yàn)橛散酆停∟4）知：

1=(y→z)→(x→z)=1→(x→z)=x→z

⑥由②、④和⑤知：

(y→(x→z))→(x→(y→z))=1

同理可證(x→(y→z))→(y→(x→z))=1。再由（N3）可得x→(y→z)=y→(x→z)。

（5）由（1）、（2）和（4）知：

x→(y→x)=y→(x→x)=y→1=1

命題4每個(gè)正則NFI-代數(shù)都是正則FI-代數(shù)。

證明 由定義2知（N1）即為（I2），（N3）即為（I4），（N5）即為（I5），命題3（1）即為（I3），命題3（3）即為（I6），命題3（4）即為（I1）。

結(jié)合命題2和命題4立得下述第一個(gè)刻畫定理。

定理1正則FI-代數(shù)與正則NFI-代數(shù)是相互等價(jià)的代數(shù)系統(tǒng)。

借助于定理1，再給出正則FI-代數(shù)的另一種形式更為簡單的刻畫。

定理2一個(gè)(2,0)型代數(shù)(X,→,0)是正則FI-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對?x,y,z∈X，如下各條成立：

（F1）(x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

（F2）(x→0)→0=x；

（F3）若x→y=y→x=1，則x=y；

（F4）0→x=1,其中1=0→0。

證明（必要性）由定義1知（I2）即為（F1），（I6）即為（F2），（I4）即為（F3），（I5）即為（F4）。

（充分性）由定理1知只需驗(yàn)證（N1）～（N5）成立即可。（F1）即（N1），（F3）即（N3），（F4）即（N5），因此只需驗(yàn)證（N2）和（N4）成立即可。

（1）（N2）的驗(yàn)證

一方面，由（F1）知：

(x→y)→((y→0)→(x→0))=1

另一方面，由（F1）和（F2）知：

綜上，由（F3）知x→y=(y→0)→(x→0)。

（2）（N4）的驗(yàn)證

由（F2）、（F4）和（1）知：

1→x=(0→0)→((x→0)→0)=(x→0)→0=x綜上，充分性成立。

3 蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)與Boole代數(shù)

本章在正則FI-代數(shù)中引入蘊(yùn)涵分配性，探討蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)的若干性質(zhì)，證明蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)與Boole代數(shù)是相互等價(jià)的代數(shù)系統(tǒng)。

定義3設(shè)X是正則FI-代數(shù)，稱X是蘊(yùn)涵分配的，如果?x,y,z∈X滿足條件（Impd），即：

((x→0)→y)→z=((x→z)→((y→z)→0))→0

需要說明的是在Boole代數(shù)中，容易驗(yàn)證等式：

x∨y=(x→0)→y

(x→z)∧(y→z)=((x→z)→((y→z)→0))→0

De Morgan分配律：

(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)

均自然成立。可見，上述蘊(yùn)涵分配條件（Impd）是將De Morgan分配律中x∨y換成(x→0)→y，將(x→z)∧(y→z)換成 ((x→z)→((y→z)→0))→0后得到的在FI-代數(shù)里實(shí)用的一種分配性條件。

命題5設(shè)X是蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)，則?x,y,z∈X，有：

（1）(x→y)→x=x；

（2）(x→y)→y=(y→x)→x。

證明（1）一方面，由命題3（5）知：

x→((x→y)→x)=1

另一方面，由（N2），（N4），命題 3（1）、（3）、（5）和（Impd）知：

((x→y)→x)→x=

((((x→y)→0)→0)→x)→x=（命題3（3））

((((x→y)→0)→x)→((x→x)→0))→0=（Impd）

((((x→y)→0)→x)→0)→0=（命題3（1），N4）

((x→y)→0)→x=（命題3（3））

(x→0)→(x→y)=（N2）

(x→0)→((y→0)→(x→0))=（N2）

1（命題3（5））

綜上，由（N3）知(x→y)→x=x成立。

（2）由（N4），命題3（1）、（4）和結(jié)論（1）知：

((x→y)→y)→((y→x)→x)=

((x→y)→y)→((y→x)→((x→y)→x))=（結(jié)論（1））

((x→y)→y)→((x→y)→((y→x)→x))=（命題3（4））

1→(((x→y)→y)→((x→y)→((y→x)→x)))=（N4）

(y→((y→x)→x))→(((x→y)→y)→

((x→y)→((y→x)→x)))=（N4，命題3（1））

1（引理 1（2））

同理，((y→x)→x)→((x→y)→y)=1。由（N3）知：

(x→y)→y=(y→x)→x

命題6設(shè)(X,≤,')是Boole代數(shù)，則X是蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)。

證明 在Boole代數(shù)X中定義x→y=x′∨y，則容易驗(yàn)證（F1）～（F4）成立。下證蘊(yùn)涵分配性（Impd）條件成立。

((x→0)→y)→z=(x∨y)→z=

(x→z)∧(y→z)=（De Morgan分配律）

((x→z)′∨(y→z)′)′=（De Morgan對偶律）

((x→z)→((y→z)→0))→0

從而（Impd）條件成立，于是Boole代數(shù)是蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)。

命題7設(shè)(X,→,0)是蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)，定義運(yùn)算“'”使 ?x∈X,x′=x→0 和二元關(guān)系“ ≤ ”使?x,y∈X,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1,則(X,≤,')是Boole代數(shù)。

證明 易驗(yàn)證在蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)中，命題中定義的“≤”是X上偏序，0和1分別是最小和最大元。對每一x,y∈x,由命題1（1）、（2）、（4）、（5）知x→((x→y)→y)=1，故x≤(x→y)→y，同理可證y≤(x→y)→y。

設(shè)ω是x、y的任一上界，則x≤ω，y≤ω，從而x→ω=1,y→ω=1,由（N1）和（N4）知(ω→y)→(x→y)=1,即ω→y≤x→y,進(jìn)而由（N4）和命題5（2）知：

(x→y)→y≤(ω→y)→y=(y→ω)→ω=1→ω=ω這說明ω是x、y的上確界，故x∨y=(x→y)→y,從而(X,≤)為并半格。

又若x≤y，則由（N2）知 1=x→y=y'→x'，因此y′≤x′。于是“'”是逆序?qū)蠈?yīng)，從而 (X,≤,')是有界格且滿足De Morgan對偶律。進(jìn)一步有：

x′∨y=(x′→y)→y=

((x→y)→((y→y)→0))→0=（（Impd）中z用y代）

((x→y)→0)→0=（N4）

x→y（命題3（1）、（3））

下證(X,≤,')為分配格。事實(shí)上，?x,y,z∈X：

z∧(x∨y)=

(z′∨(x∨y)′)′=（對偶律）

(z→(x′→y)′)′=(x′∨y=x→y)

(x→z′)→(y→z′)′=（（Impd），命題3（3））

(x′∨z′)′∨(y′∨z′)′=(x′∨y=x→y)

(x∧z)∨(y∧z) （對偶律）

故(X,≤,')為分配格。

最后證可補(bǔ)律，即驗(yàn)證x∨x′=1和x∧x′=0。事實(shí)上，?x∈X,由命題3（1）知x∨x′=x′→x′=1,x∧x′=(x′∨x)′=0。于是(X, ≤,')是Boole代數(shù)。

由命題6和命題7立得下述定理。

定理3蘊(yùn)涵分配正則FI-代數(shù)與Boole代數(shù)是相互等價(jià)的代數(shù)系統(tǒng)。

4 結(jié)束語

文獻(xiàn)[6-7]已經(jīng)提到了正則FI-代數(shù)與Boole代數(shù)之間的關(guān)系。本文實(shí)際給出了正則FI-代數(shù)成為Boole代數(shù)的一個(gè)新充要條件，同時(shí)也是對Boole代數(shù)的一種新刻畫，使其在形式上更接近二值邏輯代數(shù)。這種刻畫既豐富了邏輯代數(shù)的理論體系，也便于后續(xù)對Boole代數(shù)和其他邏輯代數(shù)關(guān)系的研究。