Pythagorean模糊環境下基于交叉熵和TOPSIS的多準則決策方法

范建平，閆 彥，吳美琴

FAN Jianping,YAN Yan,WU Meiqin

山西大學 經濟與管理學院，太原 030006

School of Economics and Management,Shanxi University,Taiyuan 030006,China

1 引言

隨著參與人數的增加，決策速度變得更緩慢，決策過程也變得更復雜。因而多屬性群決策在現代決策理論和決策科學中發展為一個極為重要的研究領域，在工程、物流、醫學及軍事等諸多方面都有著廣泛的應用。Zadeh提出用隸屬度表示決策信息的不確定性和模糊性，模糊集[1]（Fuzzy Set，FS）理論迅速發展起來。然而僅僅通過隸屬度描述不確定性是不夠的，因此Atanassov等提出同時用非隸屬度和猶豫度的概念來表達決策信息的模糊性和不確定性，將其擴展到了直覺模糊集[2]（Intuitionistic Fuzzy Set，IFS）理論。隨后Gau和Buehrer定義了Vague集[3]。Torra等[4-5]提出猶豫模糊集（Hesitant Fuzzy Set，HFS）的概念，允許隸屬度可以以多個可能值集合的形式存在，用來表達專家在決策過程中表達目標偏好時的猶豫程度。雖然模糊集已經發展很廣泛，但仍然無法解決隸屬度和非隸屬度之和大于等于1的情況。比如，一位專家表達他認為方案滿足某準則的程度是0.8，不滿足程度是0.4。這種情況就無法用直覺模糊集解決。因此，Yager[6]提出Pythagorean模糊集（Pythagorean Fuzzy Set，PFS），擴大了隸屬度和非隸屬度的空間范圍，即拓展到隸屬度與非隸屬度平方之和小于等于1。Pythagorean隸屬度和復數之間的關系也很好地被Yager和Abbasov[7]討論，并證明Pythagorean隸屬度是復數的一個子集，稱作π-i數，并提出集結算子對準則滿意度進行集結。

各位學者將不同的方法引入PFS中。Ren等[8]基于前景理論，將TODIM方法運用在Pythagorean模糊集中，并分析了風險如何影響心理行為。Zhang[9]在多準則Pythagorean模糊環境下提出一個分層的QUALIFLEX方法，并用貼近度索引排名法對Pythagorean模糊數（Pythagorean Fuzzy Number，PFN）進行排名，同時提出區間PFS的概念。Garg[10]提出一個新的相關系數和加權相關系數公式來計算兩個Pythagorean模糊集的關系，并用在模式識別和醫療診斷。Garg[11]在解決多準則決策問題時基于區間Pythagorean模糊環境提出了一個新的精確函數，它考慮到了未知的猶豫度。Zhang[12]提出了一個新的基于相似度測量的方法來解決基于PFN的多準則群決策問題。Peng等[13]定義了兩個新的運算，除法和減法，并對其性質深入研究，也拓展了一個Pythagorean模糊優勢和劣勢排序法來解決多準則不確定群決策問題。Peng等[14]將PFS的特征和軟集的參數化相結合構造了畢達哥拉斯模糊軟集，并對其德摩根定律進行討論，還設計了基于Pythagorean模糊整合算子的決策算法，并對其計算復雜度進行了分析。Gou等[15]對Pythagorean模糊信息的一些基本性質進行研究，把PFN看作變量，并根據其基本運算把所有變化的值分為8個區域，同時對其基本性質中的連續性、可導性和可微性進行詳細探討。

為了對決策信息進行集結，Ma等[16]、Peng 等[17]、Garg[18]和 Peng 等[19]基于對稱性、Choquet積分、Einstein運算和語言集分別提出了對應的集結算子。Peng等[20]提出了區間Pythagorean模糊加權平均（IVPFWA）算子和區間Pythagorean模糊加權幾何（IVPFWG）算子，以及一個新的區間Pythagorean模糊ELECTRE方法來解決不確定多屬性群決策問題。Peng等[21]提出了幾個新的Pythagorean模糊點集結算子，可以根據某些參數調整集結信息的大小。Zeng等[22]提出了新的集結算子和距離測度，在集結算子中使用了距離測度，同時考慮到了每個概念的重要程度，并提出了一個混合的TOPSIS方法來解決Pythagorean模糊多準則決策問題。

基于Luca等[23]提出的模糊熵概念，Bhandari等[24]在模糊集中通過隸屬函數定義了交叉熵。最大交叉熵原理[25]可以被用來從大數據庫中選擇有代表性的樣本，被用在機器學習和決策樹中。Mao等[26]基于直覺模糊集提出了一個新穎的交叉熵和熵測度，并將其應用到模式識別和決策中。

Zhang等[27]將TOPSIS擴展到了PFS中，并基于PFN定義了得分函數和距離的概念。首先提出得分函數來確認Pythagorean模糊正理想解和負理想解，同時定義了兩個PFN之間的距離，采取了歐氏距離的表示形式，但是根據所定義的距離對PFN進行集結時會忽略掉一些模糊信息。因此，本文定義了兩個PFN之間的交叉熵，并采用交叉熵來測定它們之間的“距離”，以此消除在距離測度中使用歐氏距離引起的不確定性，可以更大程度地保留不確定信息。本文主要在TOPSIS原理的基礎上，采取交叉熵描述兩個PFN之間的差異程度，最終通過每個方案和正、負理想解之間的相對貼近度來選出最優的方案。本文最主要的創新之處便是將交叉熵概念引入Pythagorean模糊集中，并提出了兩個Pythagorean模糊集交叉熵測度。最后通過算例，以及與其他文獻中所提方法的比較分析驗證了本文方法的有效性。

2 相關概念

2.1 Pythagorean模糊集

定義1[7]設X是一個非空集合，則X中任意的Pythagorean模糊集P表達如下：

函數μP(x)和νP(x)分別表示集合P中元素x∈X的隸屬度和非隸屬度，滿足約束條件表示元素x屬于P的猶豫度（不確定程度），πp(x)的值越小說明關于x的信息越多，也越為精確；反之亦然。

為了簡便，PFS的元素(μP(x),νP(x))稱作一個Pythagorean模糊數[27]，記為γ=P(μP,νP)，其猶豫度同樣滿足

定義2[27]P的補集定義為PC,PC={＜x,νP(x),μP(x)＞|x∈X}。

定義3[6]γ1=P(μP1,νP1) 和γ2=P(μP2,νP2) 是 兩 個PFN，二者之間的一個擬排序定義如下：

γ1≥γ2當且僅當μP1≥μP2且νP1≤νP2

定義4[27]記γ=P(μP,νP)是一個PFS，則γ的得分函數定義如下：

定義5[11]一個PFN記作γ=P(μP,νP)，則γ的精確函數定義如下：

γ1=P(μP1,νP1)，γ2=P(μP2,νP2)，可分別根據二者的得分函數和精確函數對其比較大小，方法如下：

（1）若S(γ1)＞S(γ2)，則γ1＞γ2。

（2）若S(γ1)=S(γ2)，則：

① 若h(γ1)＞h(γ2)，則γ1＞γ2；

② 若h(γ1)=h(γ2)，則γ1=γ2；

③ 若h(γ1)＜h(γ2)，則γ1＜γ2。

2.2 TOPSIS方法

在Pythagorean模糊環境下根據TOPSIS原理，定義Pythagorean模糊正理想解（PIS）和Pythagorean模糊負理想解（NIS）[27]。TOPSIS的原則是最優方案應該與正理想解PIS有著最小距離，同時與負理想解NIS有著最大距離。考慮到決策信息采取PFN的格式，因此使用定義4中得分函數來確定Pythagorean模糊PIS和Pythagorean模糊NIS。將Pythagorean模糊PIS[27]定義為x+，并且具有下列形式：

在實際的多準則決策問題中，并不一定存在Pythagorean模糊PIS，即x+并非可行的方案，不滿足x+∈X。反之x+就是多準則決策問題中的最優方案。然而，方案與x+有最短距離并不能保證與Pythagorean模糊負理想解（NIS）有最大距離。定義Pythagorean模糊NIS[27]為x-，表達如下：

同樣，通常在實際的多準則決策問題中，也不一定存在x-，即x-也許是一個非可行方案，x-∈X。否則，x-在多準則決策問題中就應該是最差的方案，在決策過程中應該首先被剔除。

2.3 Pythagorean模糊交叉熵

基于模糊集交叉熵的定義，本文提出兩個PFS的交叉熵定義。

定義7 設A、B為兩個PFS，A=(μA(xi),νA(xi)),B=(μB(xi),νB(xi))，則A、B之間的Pythagorean模糊交叉熵IPFS(A,B)定義為：

式（3）和式（4）中，IPFS(A,B)均說明了A、B之間的差異程度，也稱為兩個PFS之間包含的差異信息。因為IPFS(A,B)均不具有對稱性，所以A、B之間的對稱差異測度表示為：

定義6[24]設A、B是兩個模糊集，X={x1,x2,…,xn}是一個有限論域，A,B∈X，則A相對于B的交叉熵為：

DPFS(A,B)稱為兩個PFS的對稱差異信息測度。

定理1A、B是兩個PFS，將A、B之間的對稱差異信息測度定義為DPFS(A,B)，則下列定理成立：

（1）DPFN1(A,B)=DPFN1(B,A)且

DPFN2(A,B)=DPFN2(B,A)；

（2）DPFN1(A,B)=DPFN1(AC,BC)且

DPFN2(A,B)=DPFN2(AC,BC)，AC和BC分別是A和B的補集，見定義2；

（3）DPFN1(A,B)≥0（DPFN1(A,B)=0當且僅當A=B)，DPFN2(A,B)同樣成立；

（4）A、B之間區別越大，則DPFN1(A,B)、DPFN2(A,B)越大。

證明 很顯然定理中（1）和（2）是成立的，（3）和（4）的證明如下。

首先證明定理（3）。考慮等式（7）：

x∈[0,1]且y∈[0,1]。顯然不論x≥y或y≥x，函數f1(x,y)≥0總是成立。

根據交叉熵公式（5），下列公式可以得到：

因為 ?(μA(xi),μB(xi),νA(xi),νB(xi))∈[0,1],且由式（7）有f1(x,y)≥0，所以 (tanμA(xi)-tanμB(xi))×tan(μA(xi)-μB(xi))≥0,(tanνA(xi)-tanνB(xi))×tan(νA(xi)-νB(xi))≥0。則有DPFS1(A,B)≥0成立。尤其是DPFS1(A,B)=0成立當且僅當μA(xi)=μB(xi)，νA(xi)=νB(xi)，即A=B。

然后證明定理（4）。A=(μA,νA)，B=(μB,νB)和C=(μC,νC)是3個PFS。假設A≥B≥C，根據定義3有，μA≥μB≥μC，νA≤νB≤νC，由式（8）可得：

此外，容易得到下列不等式是正確的。顯然，DPFS1(A,C)≥DPFS1(A,B)成立。同樣可證明DPFS1(A,C)≥DPFS1(B,C)成立。

同理可證DPFS2，此處略。

3 模型構建

多準則決策問題可通過一個決策矩陣來表達，它的元素即每個方案在每個準則下的估計值。現考慮一個Pythagorean模糊環境下的多準則決策問題，X={x1,x2,…,xm}(m≥2)是m個方案的集合，C={C1,C2,…,Cn}是n個準則的決策準則集，W=(w1,w2,…,wn)T是所有準則對應的權重向量，滿足0≤wj≤1且現在定義方案xi(i=1,2,…,m)在準則Cj(j=1,2,…,n)下的估計值為Cj(xi)=(uij,vij)，則R=(Cj(xi))m×n就是一個Pythagorean模糊決策矩陣。因此，元素是PFN的多準則決策問題有如下的矩陣形式：

矩陣中的每一個元素Cj(xi)=P(uij,vij)是一個PFN，uij表示方案xi滿足準則Cj的值，vij表示方案xi不滿足準則Cj的值。

為了有效求解包含PFN的多準則決策問題，本文提出一個Pythagorean模糊環境下基于交叉熵和TOPSIS方法，具體步驟如下：

步驟1標準化決策矩陣。

決策矩陣R中決策信息Cj(xi)必須是標準化后的。對于一個元素是PFN的多準則決策問題，先建立決策矩陣元素是Cj(xi)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)，表示方案xi∈X在準則Cj∈C下的評估值。準則可以分為成本準則和效益準則，可以根據下列公式標準化決策信息：

B是效益型的準則集，C是成本型的準則集，的補集。標準化后的矩陣為：

R=(Cj(xi))m×n

步驟2計算x+和x-。

根據式（1）和式（2）確定Pythagorean模糊正理想解x+和負理想解x-。

步驟3計算方案xi和x+以及x-之間的交叉熵。

根據式（5）和式（6）分別計算第i個方案xi與Pythagorean模糊正理想解x+和負理想解x-之間的交叉熵，以xi和x+以及x-之間的交叉熵分別來替代xi和x+與x-之間的距離。

步驟4計算方案xi的相對貼近度。

基于TOPSIS原理計算方案xi的相對貼近度[8]，記為ζ(xi)(i=1,2,…,m)，其計算公式如下：

步驟5確定最優方案。

ζ(xi)越大，則方案越優；反之亦然。基于所有方案的最優順序確定最優方案。

4 算例分析

算例是一個綠色供應商的選擇問題。有5個待選的綠色供應商X={x1,x2,x3,x4,x5}，6個準則C={C1,C2,C3,C4,C5,C6}，分別代表“產品質量”、“柔性”、“安全因素”、“服務”和“提前期”，以選出最優的綠色供應商。表1是其Pythagorean模糊決策表，表內每一個元素分別代表該供應商在相對應準則下的評價值，用PFN的形式表示，相對于決策矩陣的權重向量為W=(0.20,0.10,0.30,0.15,0.15,0.10）T。

步驟1標準化決策矩陣。

因為準則都是效益型準則，所以決策矩陣不變。

步驟2計算x+和x-。

根據式（1）和式（2）計算x+、x-，結果如下：

表1 Pythagorean模糊決策矩陣

步驟3根據式（5）中DPFS1(A,B)計算供應商xi分別與x+和x-之間的交叉熵，結果見表2；根據式（6）中DPFS2(A,B)計算供應商xi分別與x+和x-之間的交叉熵，結果見表3。

表2 由本文交叉熵DPFS1(A,B)得到的結果

表3 由本文交叉熵DPFS2(A,B)得到的結果

步驟4由式（9）分別計算供應商xi的相對貼近度ζ(xi)，結果見表2和表3。

步驟5根據相對貼近度選出最優的綠色供應商。由表2得4個供應商的排序為：

因此最優的供應商是x3，最劣的供應商是x4。

表4是本文所提的方法（有序數對分別為各方案與正、負理想解的交叉熵，根據相對貼近度進行排序）和文獻[27]中TOPSIS法（有序數對分別為各方案與正、負理想解的距離，根據相對貼近度進行排序）和文獻[6]（有序數對分別為各方案經過算子集結后的結果，根據得分函數進行排序）中提出的兩個集結算子以及文獻[26]中提出的交叉熵計算結果的比較。為了更形象、直觀地表示各方案的排名結果，包括TOPSIS方法、PFWA算子、PFWG算子以及本文提出的交叉熵1和2，將所有結果繪于圖1。與已有方法的排名結果相比較，最優供應商是一樣的，都是x3，其他方案之間的排名有偏差，但是兩個交叉熵公式結果對于最優方案和最劣方案的一致性驗證了其穩定性和可行性。與文獻[27]中的TOPSIS方法相比較，文獻[27]計算兩個PFS之間的“距離”時采用簡單的歐幾里德距離，會丟失掉一些不確定信息，本文方法采用交叉熵對PFS之間進行差異測度，考慮到評價過程中信息具有的模糊性和評價準則之間的關聯，消除了歐氏距離帶來的不確定性，是一個較為合適的不確定信息和不連續信息測量。

表4 對于算例不同方法的計算結果

圖1 5種方法的比較結果

5 結語

Pythagorean模糊集由于比直覺模糊集有更廣闊的范圍，因此可以被用于解決現實中直覺模糊集所不能解決的包含不確定、不完整和不一致信息的問題。本文的主要貢獻如下：（1）在一般的TOPSIS方法中，采用歐氏距離測度，本文用交叉熵替代其中的距離測度，使其決策過程中包含的不確定信息更加完整，具有較高的準確性，同時減少了因為采用的測度不確定性而帶來的誤差。（2）本文將直覺模糊環境下的基于交叉熵與TOPSIS的方法拓展運用在Pythagorean模糊環境下，并提出Pythagorean模糊集中交叉熵的概念，同時提出兩個交叉熵公式，豐富了Pythagorean模糊集的研究。最后，基于相同算例下本文方法和其他不同方法得到結果的比較分析也表明了本文方法的有效性和應用性。

未來，根據實際應用領域的不同需求，可以對Pythagorean模糊集中的交叉熵的形式以及應用范圍進行更多的研究。