在課堂教學(xué)中有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

福建省連江尚德中學(xué) 林 安

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”。在形成理性思維過程中，數(shù)學(xué)思維能力發(fā)揮著獨(dú)特的作用。什么是數(shù)學(xué)思維呢？數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象相互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。概念、判斷、推理是數(shù)學(xué)思維的基本形式。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家A.A斯托利亞把數(shù)學(xué)教學(xué)定義為數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)可以理解為思維活動的結(jié)果，也可以理解為思維活動的過程。但如何有效地激發(fā)學(xué)生的思維能力，這里針對高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)際談?wù)剛€人的一些看法。

一、以學(xué)生為主體，激發(fā)學(xué)生主動參與思維過程

以學(xué)生為主體的主體教育是一種充分注重學(xué)生主體地位，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生主體性為核心的素質(zhì)教育。主體教育體現(xiàn)以人為本，在教學(xué)活動中，充分尊重他們，形成良好的能激發(fā)學(xué)生不斷創(chuàng)新的寬松環(huán)境和自由空間。心理學(xué)研究表明學(xué)習(xí)不發(fā)生于單純的吸收，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是一個以積極的心態(tài)調(diào)動原有的知識經(jīng)驗(yàn)，嘗試解決新問題、同化或順應(yīng)新知識的積極的構(gòu)建過程。只有激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和興趣，才會促進(jìn)他們積極主動地參與學(xué)習(xí)活動。所以教師可以通過創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境讓學(xué)生參與教學(xué)。教師要認(rèn)真提出問題讓學(xué)生自主去討論、去研究，鼓勵學(xué)生發(fā)表見解，互相爭論，互相啟迪，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，在證明三角恒等式

師：思考課本證法的依據(jù)是什么？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)模型和原理：要證只要ad=bc或，這是比例和等式的基本性質(zhì)。然后，師：證明恒等式，可證其等價命題，你能否也根據(jù)等式和比例的性質(zhì)，再構(gòu)造出一些新的證法呢？學(xué)生興趣盎然，積極思考，很快得出許多令人贊嘆的成果：可由證得等等。最后大家討論形成共識：構(gòu)造是為了達(dá)到目的，形式越簡越好。可見，調(diào)動學(xué)生積極參與，他們的思維更能夠得到激發(fā)。

二、通過問題情境設(shè)置，激發(fā)學(xué)生思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在生動具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開數(shù)學(xué)問題的解決，而數(shù)學(xué)問題的解決是從新的數(shù)學(xué)問題情境出發(fā)的，是運(yùn)用已知的知識尋求解決問題的方法途徑，并達(dá)到問題目的狀態(tài)的探索過程。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)引入新的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)生動的問題情境，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生自然地獲得數(shù)學(xué)知識與技能，有利于培養(yǎng)他們的探索精神和思維能力。對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，如何引發(fā)學(xué)生積極思維，主動學(xué)習(xí)和鉆研，最關(guān)鍵的就是在于問題設(shè)置。通過教師有效地設(shè)置問題，將教學(xué)各環(huán)節(jié)，知識各部分連接起來，讓學(xué)生通過問題解決進(jìn)行學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要途徑。數(shù)學(xué)問題的設(shè)置是以解決問題為中心組織教學(xué)的基礎(chǔ)。什么是“好問題”？那就要求所給出的問題的條件、結(jié)論，所描述的對象，給解題者提供廣闊的思維空間，使他們有機(jī)會經(jīng)歷有意義的數(shù)學(xué)活動，而且在活動中需要使用基本的、重要的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法等。好的問題引導(dǎo)學(xué)生思維的展開、引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，進(jìn)而促進(jìn)他更深入進(jìn)行思考，有重要的推動作用。

例如在推導(dǎo)兩角差的余弦公式時，可設(shè)置如下的問題情境培養(yǎng)學(xué)生的思維批評性及發(fā)散思維。

師：想想 cos（α-β）是否有實(shí)數(shù)的分配律？

也就是 cos（α-β）=cosα-cosβ 會成立嗎？

生：不會。

師：為什么？

生：可以舉反例：cos（60°-30°）≠cos60°-cos30°。

師：很好，那么我們能不能借助于已學(xué)的知識中具有求夾角余弦值的相關(guān)公式來推導(dǎo) cos（α-β）？

生：向量數(shù)量積公式變形可以求夾角余弦值。

生：平面幾何中，三角函數(shù)的知識也可以求余弦值。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)置好的問題情境，不僅可以使學(xué)生的解題思維開闊，妙法頓生，克服思維刻板與僵化，解題思路受阻，方法單一的缺陷和題目稍有變化就不知所措等現(xiàn)象，而且對于培養(yǎng)學(xué)生成為勇于探索新方法，新理論的創(chuàng)造人才具有重要意義。

三、通過精心設(shè)計(jì)的習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

1.通過變式訓(xùn)練培養(yǎng)思維品質(zhì)。

高中教學(xué)中，變式訓(xùn)練教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)技能和思維品質(zhì)方面具有很大的有效性和實(shí)用性，教師把經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的變式情境呈現(xiàn)在課堂，使課堂因變化而顯得生動，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣由此被激發(fā)，注意力被吸引。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該為學(xué)生獨(dú)立解決問題做好題型形式和思維能力上的鋪墊和過渡，學(xué)生通過課堂中邊練邊思考能夠得到信息數(shù)量的增加和思維能力的提高。變式教學(xué)要給學(xué)生在問題上的參與和表象上的傳授，更關(guān)鍵的是讓學(xué)生在問題的認(rèn)知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)、解決、創(chuàng)造等全過程深層次的參與，從中獲得對問題的深刻理解，達(dá)到思維激發(fā)。

例：△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，-6），（0，6），邊 AC、BC 所在直線的斜率之積是求頂點(diǎn)A的軌跡？

變式1：△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，-6），（0，6），邊 AC、BC所在直線的斜率之積是求頂點(diǎn)A的軌跡？

變式2：△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，-a），（0，a），邊 AC、BC所在直線的斜率之積是k，求頂點(diǎn)A的軌跡？

以上過程不僅有效培養(yǎng)了學(xué)生抽象概括能力，也體現(xiàn)了分類討論思想，培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)。

2.通過一題多解培養(yǎng)思維創(chuàng)造性。

所謂思維的創(chuàng)造性，就是主動地、獨(dú)創(chuàng)地發(fā)現(xiàn)新事物，提出新見解，解決新問題的一種思維品質(zhì)。我國司馬光破缸救人，古代曹沖稱象，10歲的高斯很快計(jì)算出100以內(nèi)自然數(shù)和等所表現(xiàn)出來的就是這種與眾不同的突破常規(guī)的可貴思維品質(zhì)。教學(xué)中應(yīng)注意發(fā)揚(yáng)教育民主，提倡多思多想引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，分析問題解決問題。同時盡可能運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法，研究性，學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維提供條件。

例如在解決以下有關(guān)三角函數(shù)基本關(guān)系式問題時，可以通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

分析：這是一道有關(guān)三角函數(shù)基本關(guān)系式應(yīng)用的問題，解答方法有多種，常規(guī)代數(shù)方法有三種：（1）解一元二次方程（5sinθ-4）（5sinθ+3）=0，然后驗(yàn)根；（2）解二元一次方程組轉(zhuǎn)化雙弦齊次式，然后驗(yàn)根。

教師通過問題設(shè)置，學(xué)生有目的思考，可以發(fā)現(xiàn)也可以用數(shù)性結(jié)合法，過程如下：

令 sinθ=y，cosθ=x，

總之，在課堂教學(xué)中，要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科和學(xué)生的特點(diǎn)，合理創(chuàng)設(shè)問題情境，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，提倡多思多想，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，分析問題、解決問題，讓課堂教學(xué)真正體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。