選擇合適的坐標系巧解一道靜摩擦力問題

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學,內蒙古 鄂爾多斯 017010)

1 原題呈現

圖1

例題.在水平桌面上放置一塊正方形薄木板abcd,在木板的正中點放一個質量為m的木塊,如圖1所示,先以木板的dc邊為軸,將木板緩慢向上轉動,使木板的ad邊與桌面的夾角為θ,再接著以木板的bc邊為軸,將木板緩慢向上轉動,使木板的dc邊與桌面的夾角也為θ(bc邊與桌面的夾角θ不變),在轉動過程中木塊在木板上沒有滑動,則轉動之后,木塊受到的摩擦力大小為

2 典型錯解

3 選擇合適的坐標系后簡捷求解

圖2

該題的確是一道頗具難度的練習題,實際上我們只要求出兩次轉動之后的木板平面與轉動前的平面之間的二面角即可,根據幾何知識可以發現這個二面角又等于兩個面的法向量的夾角.不妨設轉動前的平面為平面1,轉動1次后的平面為平面2,轉動2次后的平面為平面3,也就是說,只需要利用數學方法求出平面1和平面3的法向量的夾角即可.不難發現,文獻[1-3]是選擇平面1來建立坐標系的,與已有文獻不同,筆者選擇平面2來建立坐標系,如圖2所示.平面abcd為初始時的平面,即平面1,平面a′b′cd為第1次轉動θ1后的平面(陰影部分),即平面2,平面a″b′cd″為第2次繼續轉動θ2后的平面,即平面3.以點c為原點建立空間直角坐標系,并且令平面2在xcy平面上.這樣做的好處是,cb邊剛好位于ycz平面上,且cb與y軸正方向的夾角為θ1,cd″邊剛好位于xcz平面上,且cd″與x軸正方向的夾角為θ2．

這樣一來,我們就很容易求得平面1和平面3內不在同一直線上的3點的位置坐標.設正方形薄板的邊長為l,則平面1內的3個點的坐標為

c(0,0,0),d(l,0,0),b(0,lcosθ1,-lsinθ1).

平面2內的3個點的坐標為

c(0,0,0),d(l,0,0),b′(0,l,0).

平面3內的3個點的坐標為

c(0,0,0),b′(0,l,0),d″(lcosθ2,0,lsinθ2).

對于平面1來說,

cd=(l,0,0),cb=(0,lcosθ1,-lsinθ1),

因此其法向量

0i+l2sinθ1j+l2cosθ1k=(0,l2sinθ1,l2cosθ1),

其中i、j、k為x、y、z3個方向上的單位矢量,其中矢量用了加粗字體的方式加以區分.

對于平面3來說,

cd″=(lcosθ2,0,lsinθ2),cb′=(0,l,0)，

因此其法向量

-l2sinθ2i+0j+l2cosθ2k=(-l2sinθ2,0,l2cosθ2).

可得兩個法向量的夾角α滿足

cosθ1cosθ2．

因此木塊受到的摩擦力為

當θ1=θ2=θ時,木塊受到的摩擦力為

與文獻[1-4]的結果是一致的．

4 結語

靈活地利用第一次轉動后形成的平面2去建立空間直角坐標系,使得確定每一個平面所需要的3個點的坐標更加容易求解,不需要尋找復雜的空間幾何關系.這是本文區別于已有文獻解法的關鍵所在．