利用GeoGebra3D視圖創設鮮活的光的干涉情景

曾 燕 殷正徐

(1. 江蘇省常熟中學,江蘇 常熟 215500; 2. 江蘇省沭陽高級中學,江蘇 沭陽 223600)

1 問題的提出

干涉是波特有的現象,楊氏干涉實驗是認識光之本性的里程碑．教材中“光的干涉”一課用圖1研究了光的干涉,筆者覺得有3處值得商榷: (1) 用光線代替光波; (2) 忽視干涉的空間性; (3) 對“決定條紋間距的條件”有名無實．筆者覺得主要原因乃是教材編者受到教材載體的束縛,盡管考慮得周全,但其主張只能在二維紙面書寫,難以詳盡表達其想法．所以,無論教材重編多少次,只要載體還是紙張,就無法徹底解決這個難題．

圖1 教材研究光的干涉原圖

編者的難題應由教師借助多媒體來解決．本文應用的多媒體軟件GeoGebra,它是一款動態幾何軟件,開源免費,比幾何畫板功能強大,可以繪制點、線段、射線、向量、多邊形、曲線、函數等等,用戶也可以在命令欄直接輸入方程或點坐標進行繪圖,有代數區、表格區、運算區、繪圖1區、繪圖2區和3D繪圖區等．本文重點介紹利用GeoGebra 3D繪圖功能打造生動鮮活的干涉情景,幫助學生全面深入理解干涉機制．

2 課件制作

(1) 建立干涉場景.

① 打開GeoGebra 3D繪圖區,改變其默認設置:顯示x軸,顯示y軸但隱藏其數值與刻度,隱藏z軸．

圖2 光的干涉情景

② 用描點工具單擊y軸,設定為點S1,在命令欄輸入:S_2=(0,-y(S_1),0)(備注:在GeoGebra命令欄中,下劃線“_”后表示下標,如S2在命令欄中表示成“S_2”,下同);在y軸上繪制點S2,與S1關于x軸對稱．S1和S2用來模擬雙縫．

③ 單擊滑動條工具新建變量L,數值范圍[1,20],表示雙縫到光屏之間的距離;在命令欄輸入:曲面(u,v, 0,u, 0,L,v,-20, 20),新建平面a表示波的平衡位置,在命令欄輸入:曲面(L,u,v,u,-20, 20,v, 0, 3),新建平面b(垂直于平面a)模擬光屏．效果如圖2所示．

(2) 制作相干光波.

① 設定光波參數．利用滑動條工具,設置兩列波的振幅A1=1,A2=1,變化范圍為[0.5,1,5],設置兩列波的波長λ1=4 m,λ2=4 m,變化范圍為[3, 5],設置兩列波的圓頻率ω1=1,ω2=1,變化范圍為[1,2]．

② 作平面a與平面b的交點,得到直線f,用描點工具單擊直線f,得到點P,點P可以在直線f上自由移動;設S1P與x軸正方向的夾角為α1,在命令欄輸入:α_1=atan2(y(P)-y(S_1),x(P)-x(S_1)),即可得到α1的數值,同理在命令欄輸入:α_2=atan2(y(P)-y(S_2),x(P)-x(S_2))得到S2P與x軸正方向的夾角α2;利用滑動條工具創建變量t,用于模擬時間,變化范圍為[0,100]．

③ 在命令欄輸入:曲線((x(S_1)+sx, y(S_1)+tan(α_1) sx, A_1 cos(ψ_1-k_1 sx/cos(α_1)+ω_1 t)), sx, 0, L),得到從S1到點P的波形圖,其中初相ψ_1=π/2,波數k1=2π/λ1,sx為函數曲線的參數變量,其范圍為[0,L],表示從雙縫到光屏的距離;同理繪制從S2到點P的波形圖,在命令欄輸入:曲線((x(S_2)+sx, y(S_2)+tan(α_2) sx, A_2 cos(ψ_2-k_2 sx/cos(α_2)+ω_2 t)), sx, 0, L)．如圖3所示．

圖3 相干光波的設定

(3) 繪制合振動圖.

點P的振動由兩列波疊加而成,只有明白點P的振動情況才能理解干涉的內涵,為了形象清晰描繪出三維視圖中點P的振動情況,可以在過點P且平行于xOz平面繪制點P為振源的假想波,在命令欄輸入:曲線((x(P)+sx, y(P), A_1 cos(ψ_1-k_1 (s_1+sx)+ω_1 t)+A_2cos(ψ_2-k_2 (s_2+sx)+ω_2 t)), sx, 0, λ_1),如圖4所示,其中A_1 cos(ψ_1-k_1 (s_1+sx)+ω_1 t)+A_2 cos(ψ_2-k_2 (s_2+sx)+ω_2 t))表示兩波的疊加,s1為線段S1P的長度,s2為線段S2P的長度．

(4) 呈現干涉圖樣.

① 為了研究干涉圖樣,著重研究了點P的振動情況．點P雖然可動但畢竟只是一點,而干涉圖樣是空間分布,為避免學生“只見樹木不見森林”,可以在光屏上呈現干涉強度圖像．在命令欄輸入:s1(x)=sqrt((y(S_1)-x)2+L2),將以P點的y值作為參數代入函數,得到此時P點與S1點的距離,同理在命令欄輸入:s2(x)=sqrt((y(S_2)-x)2+L2)得出,P點到S2點的距離．

② 在命令欄輸入:曲線((x(P), sy, sqrt(A_12+A_22+2A_1 A_2 cos(ψ_2-ψ_1-(k_2 s2(sy)-k_1 s1(sy))))), sy,-20, 20),根據波的疊加規律得到點P在光屏的振幅分布,可以直觀顯示整體的干涉情況．最終效果如圖4所示．

圖4 假想波與光強曲線

3 GeoGebra課件優勢與應用

(1) 以波動的形式展示光的傳播與干涉.

光線是幾何光學模型,具有簡單形象的優點,可以充分闡述光的直線傳播、反射與折射規律等．但用于解釋光的波動性,光線模型變成缺點,過于簡單而欠形象,忽視了波動特征．縱使學生已經學習了機械波的疊加與干涉,也別奢望學生經過一兩節的學習就能深刻理解波動性,用光線模型示意波的傳播過程實屬操之過急,教材中說:“兩列波的波峰與波峰疊加”,學生很納悶:波峰在哪?根本原因在于教材編寫時忽視光線模型的適切范圍．

GeoGebra課件具有動態直觀的特點,可以生動傳神地展示光波的傳播過程．右擊時間t滑動條,啟動動畫,變量t在均勻“流動”,兩列波從雙縫徐徐向P點傳播,拖動轉換3D視角,學生可以從各個角度進行觀察,切身體會光的傳播過程,比教材的兩條光線表示波的傳播過程形象百倍．利用GeoGebra的動態性可以準確地展示光波的疊加過程,滾動鼠標放大課件聚焦于典型疊加位置,細致清晰展現疊加細節,為理解干涉打下基礎．

① 干涉加強區域.

如圖所示5,兩列波在P點相遇,均處在波峰位置,隨著時間的推移,兩列波由波峰逐漸向波谷移動,二者始終保持同一步調,同時到達平衡位置、同時到達波谷、同時返回波峰位置,以點P為振源的假想波振幅變成S1、S2兩列波的兩倍,學生有充足的時間和空間體會“加強”的物理意義,容易理解為什么在此區域會出現亮條紋．課本圖片加強區要么是顯示波峰與波峰的疊加、要么是波谷與波谷的疊加,缺乏中間動態過程,常常誤導學生:加強區質點的位移一直處在最大位移處,位移不可能為0．而利用GeoGebra課件動態演示可以有效防止出現諸如此類的錯誤認識．

② 干涉減弱區域.

如圖所示6,兩列波在P點相遇,波1處在波峰位置,波2處在波谷位置,隨著時間的推移,二者始終保持相反步調,兩列波的振動在P點完全抵消,以質點P為振源的假想波變成了一條直線,所以此處的P點呈現暗條紋．學生經常錯誤地認為減弱區振幅一定為0,這與課本所舉事例皆為等振幅波源有關．調節GeoGebra課件中振幅滑動條,使波1和波2 的振幅不再相等,從課件可以直觀看出P點振幅不為0;也有學生認為P點振動一定比兩列波中的任何一列波振動都弱,同理調節GeoGebra課件振幅滑動條,使A2A2,從課件可以直觀看出P點振幅大于波2的振幅,從而糾正學生的錯誤認識．

圖6 相消干涉

③ 干涉一般區域.

課本用干涉最強區代替加強區,用干涉最弱區代替減弱區,忽略中間的一般過渡區域,導致學生認為干涉要么是最強的要么是最弱的,中間存在明確的界限．在GeoGebra課件中,拖動P點改變其位置,從干涉最強點到最弱點緩慢移動,使學生感受到振動強度的連續變化,通過光強曲線直觀表達振幅在光屏的變化,讓學生深刻理解明暗的漸次演變．

(2) 動態展示空間干涉.

“光的干涉高端備課”一文指出“教材一開始就引入了光的雙縫干涉實驗,在暗室中用氦氖激光器發出的紅色激光照射金屬擋板上的兩條平行狹縫,學生可以在屏上觀察到明暗相間的干涉條紋,由于該實驗僅在固定的光屏上進行觀察,會讓學生誤以為干涉只發生在光屏處,如凸透鏡只有光屏處成一個清晰的像一樣”．教材在處理光的空間干涉問題確實存在不足,容易誤導學生只有在光屏處才有干涉現象產生．通過慢慢拖動滑動條L,改變光屏與雙縫之間的距離,可以觀察到振幅曲線依然存在,改變GeoGebra課件視角,從多個角度觀察振幅曲線,體現空間干涉．引導學生觀察到振幅曲線的間距——條紋間距——是否發生變化及如何變化,讓學生猜測影響條紋間距的其他因素,順利過渡到研究“決定條紋間距的因素”．

圖7 條紋間距與雙縫到屏之間距離的關系

(3) 直觀顯示決定條紋間距的因素.

本節教材第2部分小標題是“決定條紋間距的因素”,但第2部分內容只講了產生亮紋和暗紋的條件,絕口未談“決定因素”,讓人匪夷所思．教材下一節內容是“實驗:用雙縫干涉測量光的波長”,首先推導了決定條紋間距的公式,然后利用此公式測量光的波長,學生會感到很突兀:怎么會想到通過測量條紋間距來測量波長的呢?如果在兩節內容之間銜接一個真正的“決定條紋間距的因素”,通過定性研究波長與條紋間距的關系,學生便會覺得通過條紋間距測量波長順理成章．在展示干涉空間性時,得到距離越大,條紋間距越大,如圖6所示．影響條紋間距還有哪些因素呢?改變入射光的波長,即拖動λ滑動條,可以發現,波長越長,條紋間距越大;改變雙縫之間的距離,即拖動點S2,可以發現,S1、S2距離越小,條紋間距越大．有此作為基礎,對條紋公式x=Lλ/d會有更加深刻的理解．

4 小結

本文通過GeoGebra的3D視圖,動態地展示了光波的傳播過程,鮮活地呈現光的疊加過程,有效防止學生錯誤認識傾向,使學生真正理解干涉機制,深入理解光的波動特性．