對圓柱螺旋運(yùn)動的別樣處理

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué),江西 南昌 330046)

常見的螺旋線有拋物螺旋線、圓錐螺旋線、圓柱螺旋線等.其中圓柱螺旋線是一種比較典型的空間曲線,一個動點沿圓柱面的母線做勻速直線運(yùn)動,同時該母線又繞圓柱面的軸線做勻速轉(zhuǎn)動的合運(yùn)動的軌跡構(gòu)成圓柱螺旋線.圓柱螺旋線在生產(chǎn)生活中很常見,絕大多數(shù)彈簧也做成圓柱螺旋線的形狀.小球沿平面曲線運(yùn)動很常見,例如小球做圓周運(yùn)動和拋體運(yùn)動,但沿空間曲線運(yùn)動研究較少，本文研究小球在重力的作用下沿空間曲線——圓柱螺旋線運(yùn)動的規(guī)律.

圖1

建立模型:如圖1所示,一個均勻薄壁圓筒,質(zhì)量為M,半徑為R,在其內(nèi)側(cè)刻有等距螺旋形溝槽,螺距為2πRtanα,一個質(zhì)量為m的小球在溝槽的最高點,最初均靜止,現(xiàn)釋放小球,不計所有的摩擦,重力加速度為g.

問題1:圓筒固定不動,試求小球的速度和受到圓筒的作用力.

圖2

解析:如圖2所示,如果將圓筒的側(cè)面打開,發(fā)現(xiàn)螺旋形溝槽可以展開成傾斜直線,傾角為α,在垂直于傾斜直線向上的方向上是平衡的,受到的支持力為N12=mgcosα.小球沿傾斜直線的加速度a=gsinα,于是小球的速度為v=g(sinα)t.

考慮小球沿螺旋線的運(yùn)動,可以分解為水平面內(nèi)的勻加速圓周運(yùn)動和豎直方向的勻加速直線運(yùn)動.指向圓心的彈力充當(dāng)勻加速圓周運(yùn)動向心力為

注意到N2=N122+N32,由以上諸式可得圓筒對小球的作用力為

小結(jié):小球沿切線方向只受到下滑力的作用,于是小球的速率隨時間成正比,為勻加速曲線運(yùn)動.小球受到的作用力隨時間不斷增加.

問題2:圓筒有固定豎直轉(zhuǎn)軸,試求小球的速度和受到圓筒的作用力以及圓筒的運(yùn)動.

圖3

解析:用動力學(xué)法處理本問題,如圖3所示.將圓筒沿側(cè)面展開,則等距螺旋線展開成傾斜直線,傾角為α,小球受到的支持力為N12,小球相對斜面的加速度為a′.水平速度為vx,豎直速度為vy,圓筒的角加速度為β.

由圓筒相對筒軸的轉(zhuǎn)動定理，有

N12sinαR=MR2β.

(1)

以斜面為參考系,小球受到切向慣性力mRβ的作用,由小球垂直于斜面方向的平衡可得

N12+mRβsinα=mgcosα.

(2)

以斜面為參考系,小球沿斜面方向應(yīng)用牛頓第二定律，有

mgsinα+mRβcosα=ma′.

(3)

由(1)～(3)式可以求得

進(jìn)一步求得

考慮到v2=vm2+vy2,可以得到小球的速度為

在圓筒參考中,由于a′為定值,則小球在水平方向為勻加速圓周運(yùn)動,小球沿水平法向受到兩個慣性力的作用,離心慣性力為mRω2,水平切向相對速度引起的科氏力為2ma′tcosαω.設(shè)指向圓心的彈力為N3,這3個力的合力充當(dāng)水平勻加速圓周運(yùn)動的向心力,即

(4)

將a′、ω代入(4)式可得

(5)

考慮到N2=N122+N32,可得圓筒對小球的作用力為

小結(jié):這種情況下,小球的速率隨時間成正比,圓筒為勻加速轉(zhuǎn)動,小球受到的作用力隨時間不斷增加.

問題3:圓筒放在光滑地面上,試求小球的速度和受到圓筒的作用力以及圓筒的運(yùn)動.

圖4

解析:用守恒方程法來處理本問題,某時刻的俯視圖如圖4所示,小球下降的高度為y,系統(tǒng)在水平方向不受外力,于是系統(tǒng)的質(zhì)心O在水平方向靜止,小球到筒軸的距離不變,于是小球和圓筒均以O(shè)為圓心做圓周運(yùn)動,其圓周半徑分別為rm和rM,速度分別為vm和vM,同時圓筒繞筒軸的角速度為ω,小球的豎直速度為vy(垂直紙面向下,圖中沒有畫出).可以得到小球和圓筒的圓周半徑分別為

(6)

系統(tǒng)水平方向不受外力,故水平方向動量守恒，有

mvm=MvM.

(7)

相對過質(zhì)心O的豎直軸,系統(tǒng)的角動量守恒，有

mvmrm+MvMrM-MR2ω=0，

(8)

其中圓筒的角動量為圓筒相對筒軸的角動量和筒軸(圓筒質(zhì)心)相對系統(tǒng)質(zhì)心的角動量的矢量和.

地面和圓筒均光滑,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則

(9)

圖5

小球相對圓筒為等距螺旋運(yùn)動,如圖5所示,相對速度間存在幾何關(guān)系為

vy=(vm+vM+Rω)tanα.

利用(6)～(8)式,可以將上式化簡為

(10)

由(6)～(9)式可以聯(lián)立求解得

考慮到v2=vm2+vy2,可以得到小球的速度為

下面以地面為參考系來求圓筒對小球的作用力N.

由小球在豎直方向應(yīng)用牛頓第二定律，有

mg-N1=may,

將ay代入可得

小球在水平方向加速圓周運(yùn)動，切向應(yīng)用牛頓第二定律，有

將vm代入可得

法向應(yīng)用牛頓第二定律，有

將vm和rm代入可得

考慮到N2=N12+N22+N32,可得圓筒對小球的作用力為

小結(jié):這種情況下比較復(fù)雜,小球的速率隨時間成正比,圓筒繞筒軸為勻加速轉(zhuǎn)動,同時筒軸繞質(zhì)心軸在平動.小球受到的作用力隨時間不斷增加.

本文在3種情況下研究了小球沿圓柱螺旋線運(yùn)動的規(guī)律,分別是圓筒固定不動,圓筒有固定轉(zhuǎn)軸,圓筒放在光滑地面上等3種情況,分析相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式發(fā)現(xiàn)小球的運(yùn)動全部都是勻加速曲線運(yùn)動,小球受到的作用力都在隨時間增加.第3種情況很特別,結(jié)果表明小球的水平分速度和豎直分速度以及圓筒的水平速度和轉(zhuǎn)動角速度都與時間成正比,都是勻加速運(yùn)動.從物理層面來說也很好解釋,圓柱螺旋線展開后的傾角不變,于是小球在豎直面內(nèi)與圓筒作用力為大小不變的力,作用于圓筒為勻加速平動和勻加速轉(zhuǎn)動.在該力和重力的共同作用下小球做勻加速曲線運(yùn)動.如果M?m，可以發(fā)現(xiàn)第2種和第3種情況完全等同于第1種情況，這也是很自然的結(jié)果.