基于多體系統傳遞矩陣法的四旋翼飛行器振動建模

范肖肖，賀嘉璠，戚國慶，李銀伢，盛安冬

（南京理工大學自動化學院，江蘇南京210094）

在四旋翼飛行器的控制問題研究中，建模方法通常是將四旋翼飛行器簡化為剛體，從整機受力出發，基于牛頓第二運動定律及歐拉方程建立動力學模型[1-3]。然而依據實際情況，此類模型未考慮系統的固有頻率，在飛行中四旋翼飛行器受到固有頻率附近的周期激振力時，容易產生共振現象。目前對四旋翼飛行器振動的研究相對較少，共振的研究主要集中在航天器、直升機這類飛行器中[4-6]。文獻[4]針對共軸鉸接式旋翼直升機，提出時—頻分析法研究上下旋翼擺振和機體運動間的耦合，揭示共軸式直升機地面共振的物理機理。文獻[5]采用傳遞矩陣方法對直升機旋翼試驗臺傳動系統的振動特性進行分析。文獻[6]針對含有大型柔性附件的航天器，用有限元分析軟件與MATLAB聯合分析系統振動模態。在飛行過程中四旋翼飛行器也會受到外界的氣流干擾，當擾動頻率接近飛行器的固有頻率時，容易引起共振，從而影響飛行器姿態的穩定性。如果不能對其振動特性尤其是固有頻率進行準確求解，往往難以設計出動態性能良好的控制器，因此對四旋翼飛行器的振動特性進行準確表征有著重要的意義。

經典的有限元分析法雖然具備對旋翼類飛行器進行模態分析的能力，但旋翼類飛行器結構復雜，采用有限元法存在計算規模大、運算耗時長等問題。多體系統傳遞矩陣法在自行火炮發射動力學、多管火箭發射動力學與艦炮發射動力學等工程領域的成功應用驗證了該理論的有效性[7-9]，其中線性多體系統傳遞矩陣法[10]特別適用于復雜多剛柔體系統的振動特性求解，該方法由于涉及的矩陣階次低從而避免了復雜多剛柔體系統振動特性計算病態，保證了系統特征值的快速求解[11]。

文中基于線性多體系統傳遞矩陣法，建立四旋翼系統每個元件的傳遞矩陣以及系統總傳遞矩陣。在MATLAB上求解特征方程，獲得系統的固有頻率，并且通過實驗驗證固有頻率求解的準確性。在此基礎上，修正了四旋翼飛行器未考慮系統諧振模態的常規模型，提出一種帶有諧振模態的四旋翼飛行器動力學模型，對后續控制器設計中抑制共振現象有實際意義。

1 振動特性求解

1.1 結構分析

本文研究的四旋翼飛行器系統為常見的十字形對稱布局，簡化的三維模型如圖1所示。根據其結構特點，四旋翼飛行器可視為四端輸入一端輸出的空間振動多剛柔體[12]。應用線性多體系統傳遞矩陣法的思想，可推導出該模型輸入與輸出之間的關系，即得到傳遞方程和傳遞矩陣。

圖1 四旋翼飛行器簡化模型

根據四旋翼飛行器的結構特征，將其劃分為若干部件并依據各個部件的特性，進行簡化處理。機身簡化為剛體元件，機身的彈性效應等效為空間彈性鉸元件。機臂等效成Euler-Bernoulli彈性梁元件[12]。驅動電機簡化為剛體元件，驅動電機與機臂之間的聯接簡化為空間彈性鉸元件。根據多體系統傳遞矩陣法“體”元件和“鉸”元件統一編號的原則，將各元件分別編號，系統邊界均編號為0，元件的簡化方式及編號見表1。

根據線性多體系統傳遞矩陣法的原理[12]，該多剛柔體系統有4個輸入端，分別為槳葉22、槳葉23、槳葉24、槳葉25；機身1的中心為系統的輸出端，沿輸入端到輸出端的方向即為系統的傳遞方向。沿著傳遞方向，進入元件的點稱為輸入點，用I表示，傳遞完成后，離開元件的點稱為輸出點，用O表示。在每條傳遞路線上元件之間的聯接點不僅是前一元件的輸出點，也是后一元件的輸入點，用Pi，j表示該節點，其中i表示體元件的編號，j表示鉸元件的編號。

表1 元件簡化方式及編號

1.2 狀態矢量

圖1中的四旋翼系統含有24個聯接點和5個邊界點。其中聯接點依次為P1,i(i=2～5)?、Pi,i-4(i=6～9,14～17,22～25)?、Pi,i+4(i=6～9,14～17)?，5 個邊界點依次為P0,22,P0,23,P0,24,P0,25,P1,0。定義各點的狀態矢量如下

其中各狀態變量分別用來表示各點在模態坐標下的線位移、角位移、內力矩和內力[12]。其中狀態矢量Z0,22、Ζ22,18、Z14,18、Z14,10、Z6,10、Z6,2、Z1,2、Z1,3、Z1,4、Z1,5、Z1,0定義在I1x1y1z1坐標系內，Z0,23、Z23,19、Z15,19、Z15,11、Z7,11、Z7,3定義在I2x2y2z2坐標系內，Z0,24、Z24,20、Z16,20、Z16,12、Z8,12、Z8,4定義在I3x3y3z3坐標系內，Z0,25、Z25,21、Z17,21、Z17,13、Z9,13、Z9,5定義在I4x4y4z4坐標系內。

1.3 傳遞方程

1.3.1 空間振動剛體

槳葉22～25和驅動電機14～17均為單端輸入單端輸出的空間振動剛體，傳遞方程為：

傳遞矩陣為：

其中m為剛體的質量；在以輸入端I為坐標原點的連體坐標系中，JI為剛體相對輸入點I的轉動慣量矩陣，lIO為剛體輸出端相對I點的位移，lIC為剛體的質心相對I點的位移，分別為lIO和lIC的叉乘矩陣。

機體1為四端輸入一端輸出空間振動剛體，令P1,r+1(r=1～4)為第r輸入點Ir，則從輸入點P1,2～5到輸出點P1,0的傳遞方程為

在以輸入端I1為原點的連體坐標系中，為剛體相對I1點的傳動慣量矩陣，lIrO為剛體輸出端相對其它輸入端Ir的位移，是其叉乘矩陣。Hα、Hβ、H?分別為坐標系I2x2y2z2、I3x3y3z3、I4x4y4z4到I1x1y1z1的坐標變換矩陣[12]。

1.3.2 空間彈性鉸

元件 2～5，10～13，18～21為空間彈性鉸，傳遞方程為：

傳遞矩陣為：

式中

Kr,x、Kr,y、Kr,z分別為彈簧在x、y、z3個方向的彈性剛度，分別為扭簧在x、y、z3個方向上的扭轉剛度。

1.3.3 空間彈性梁

機臂6，7，8，9為空間振動彈性梁，考慮x軸、y軸、z軸的橫向空間振動，其傳遞方程為：

式中，Ur∈?12×12，除了以下說明元素，Ur中的其余元素均為零：

式中：0≤xi≤li，ρ為梁的密度，為梁的線質量密度，Iy,i、Iz,i為截面的慣性積，E為彈性模量，li為梁的長度。S(x)、T(x)、U(x)、V(x)

為 Крылов 函數[12]。

1.3.4 系統總傳遞矩陣

根據文獻[13]中多體系統傳遞矩陣法總傳遞方程的推導定理，可推導出四旋翼飛行器系統的總傳遞方程為：

分別為四旋翼飛行器系統邊界點組成的狀態矢量和系統總傳遞矩陣，并有：

1.4 固有頻率求解

利用多體系統傳遞矩陣法，拼接各元件的傳遞矩陣得到系統總的傳遞矩陣，代入邊界條件得到系統的特征方程，對其求解即可得到系統的固有頻率。

不加任何外部激勵的情況下，對四旋翼飛行器系統進行自由振動分析，槳葉和機身輸出端均為自由端，邊界條件表示如下：

將邊界條件帶入總傳遞方程，刪除狀態矢量Zall中的零元素記為，刪除狀態矢量Uall中對應零元素的行和列記為，改寫式（13）為如下形式：

從以上過程可知，和Uall都只與系統自身的結構參數及固有頻率ωk(k=1,2,3…)有關。對于實際的四旋翼飛行器系統，方程（19）必有非零解，則系統的固有振動頻率ωk(k=1,2,3…)對應的矩陣Uˉall需滿足下面的條件

式（20）即為系統的特征方程。求解特征方程得到四旋翼飛行器系統的固有振動頻率[14]。

2 數值仿真與實驗

2.1 固有頻率仿真與分析

對四旋翼飛行器振動分析能夠指導后續控制系統的設計，更好地抑制共振，從而提高四旋翼飛行器姿態控制系統的性能。

基于實驗室現有的四旋翼飛行器實驗平臺，得到四旋翼飛行器各部件的主要參數如表2所示。在線性多體系統傳遞矩陣法對四旋翼飛行器進行模態分析的基礎上，結合MATLAB計算得到系統的各階固有頻率，如表3所示。可以看出，前10階振動模態分布在12.3～5131.3 Hz之間，一階固有頻率最低，固有頻率隨著模態階數的升高呈遞增趨勢。固有頻率越低，越容易激發出相應的模態發生共振，因此工程上著重考慮低階固有頻率。

表2 四旋翼飛行器的主要參數

表3 四旋翼飛行器振動各階固有頻率

2.2 四旋翼飛行器振動實驗與分析

為驗證固有頻率求解的正確性，對四旋翼飛行器進行實驗研究，實驗平臺如圖2所示。采用F450四軸飛行器，配有ArduPilot Mega自動駕駛儀，通過地面控制站Mission Planner讀取MPU6000加速度傳感器，得到飛行過程中的姿態信息。

圖2 四旋翼飛行器實驗平臺

實驗過程中調節油門的大小來改變電機的轉速，從而使四旋翼飛行器在不同的頻率下工作。為了降低外界環境對實驗的干擾，在室內環境下，緩慢增大油門使旋翼轉速逐漸升高，得到四旋翼飛行器在機體坐標系下X、Y、Z3個方向的加速度時域曲線，如圖3、5、7所示，其中采樣頻率為50 Hz。

由X、Y、Z3個方向的時域曲線可知，在旋翼轉速上升初始階段四旋翼飛行器姿態保持穩定，當四旋翼飛行器工作在一階固有頻率附近時，X、Y、Z方向的振動范圍均超過±2 m/s2，四旋翼飛行器發生共振現象。

傅里葉變換能夠準確辨識出信號的諧振情況，因此對共振時間內X、Y、Z 3個方向的加速度時域信號進行FFT頻譜分析，結果如圖4、6、8所示，可以看出圖中主頻均在10 Hz左右，對應四旋翼飛行器的一階固有頻率，次頻均為23 Hz左右，對應四旋翼飛行器的二階固有頻率。實驗結果與本文表3理論計算的結果基本一致，證明本文所用的多體系統傳遞矩陣法在四旋翼飛行器振動建模方面具有較好的精度。

圖3 X方向振動時域曲線

圖4 X方向75～85s共振頻域曲線

3 四旋翼飛行器模型修正

在研究四旋翼飛行器的控制問題中，文獻[15]給出了一類常見的建模方法，根據牛頓-歐拉方程得出飛行器機體的非線性動力學模型之后，通過引入4個控制量，如式（21）所示，將復雜的非線性耦合系統解耦為4個獨立的控制通道，在懸停狀態下根據小擾動線性化原理將非線性模型進行線性化處理，從而得到每個通道的線性化模型。

圖5 Y方向振動時域曲線

圖6 Y方向75～85s共振頻域曲線

圖7 Z方向振動時域曲線

圖8 Z方向75～85s共振頻域曲線

其中b為升力系數，d為反扭矩系數，Ωi為第i個旋翼的轉速。

根據文獻[15]的小擾動線性化理論以及本文中實際的四旋翼飛行器參數，俯仰通道開環傳遞函數可以表示為:

實際系統中，四旋翼機架的柔性、連接件的彈性等非剛體因素引起的諧振效應不可忽略，然而式（22）表示的俯仰角傳遞函數模型未對系統的諧振模態進行建模。后續通過設計復雜的控制器來補償這種建模誤差，雖然反饋控制元件能夠反饋系統的響應，但動力學模型的過度簡化常常導致難以預測的運動規律和多余的系統高頻行為，從而嚴重影響控制精度和速度，因此引入系統的諧振模態對此類模型進行修正非常有必要。由于實際系統中高階模態較難激發，因此工程上主要考慮系統的一階模態。結合表3得到的四旋翼系統的固有頻率，通過引入諧振環節，修正式（22）的傳遞函數模型，修正后的俯仰通道開環傳遞函數表示如下:

其中ω1為四旋翼系統的一階固有頻率，單位rad/s。

修正后的四旋翼動力學模型描述了系統的振動特性。圖9實線部分表示修正后俯仰通道的開環頻率特性，虛線表示加入PID控制器后系統的開環頻率特性。對比發現在ω=ω1頻率點附近系統增益均很大，即一階模態被激發后系統可能出現較強的震蕩，單純通過經典的PID控制器難以對機械諧振抑制產生顯著效果[16]，很難消除系統的震蕩傾向，后續必須引入其他補償措施濾除此諧振頻率從而抑制共振[17]現象。

圖9 修正后四旋翼俯仰通道的頻率特性

4 結 論

文中針對四旋翼飛行器在飛行過程中的共振現象，以線性多體系統傳遞矩陣理論為基礎，建立四旋翼系統的總傳遞矩陣模型，根據各元件的基本結構參數獲得四旋翼飛行器的前十階固有頻率[18]，并通過實驗驗證了固有頻率求解的準確性。在此基礎上，修正了四旋翼飛行器未考慮系統諧振模態的常規動力學模型，提出了帶有一個諧振峰的四旋翼飛行器模型。此模型不僅較為精確地刻畫了四旋翼飛行器的振動特性，也為引入其他補償措施抑制共振現象提供了理論基礎，對四旋翼飛行器的建模和控制工作具有一定的指導意義。