基于平均化骨骼模型的接骨板優化設計

張榮麗，何坤金，張玉雪

(1.河海大學 物聯網工程學院，江蘇 常州 213022； 2.常州市圖形圖像與骨科植入物數字化技術重點實驗室，江蘇 常州 213022)(*通信作者電子郵箱kjinhe@163.com)

0 引言

人口老齡化的加劇和各類交通事故的頻發導致骨科植入物的需求大幅度增加。目前，外科手術中最常見的骨科植入物有：接骨板、髓內釘、鋼針等，其中接骨板的設計是植入物設計的核心[1-2]。接骨板的設計包括個性化設計和系列化設計[3]，相較于個性化接骨板，具有通用性的系列化接骨板應用更為廣泛。然而，系列化接骨板目前仍存在一些問題。尺寸設計方面，技術水平限制我國現有系列化接骨板主要是參照國外參數生產，骨骼形狀的較大差異導致從國外引進的接骨板形狀尺寸難以滿足國人的需求。其中，在材料和應力方面，接骨板的主要制作材料鈦合金價格昂貴，且由于應力集中導致接骨板易斷裂。

近年來，數字骨科[4]發展迅速，申曉光等[5]從工程加工角度上總結了快速成型技術在人工假體等制造技術的研究成果，為我國在數字骨科領域奠定了基礎；任龍韜等[6]采用CT(Computed Tomography)原始數據實現骨折的模擬復位及個性化解剖型接骨板的三維實體模型的創建；Nrto等[7]從設計的角度先基于骨骼表面生成接骨板的大致形狀，并對其進行修剪生成符合患者所需形狀模型，實現術前規劃。上述研究提出了基于骨骼模型設計個性化接骨板，但設計方法可重用性差。Yumer等[8-9]提出利用語義特征編輯形狀，該方法允許非專業用戶利用語義引導形狀變化，關鍵問題在于構建高層語義參數與底層幾何元素之間的映射關系；Langerak[10]在自由曲面上定義語義參數，基于特征提供對形狀的高級控制。上述研究提出了曲面的參數化設計，考慮到接骨板基于曲面設計，可將參數化思想應用于接骨板設計中。Arnone等[11]提出了采用基于有限元分析的計算機輔助仿真模型指導骨科植入物的設計方法；Kaman等[12]提出基于有限元的數值仿真，估算脛骨手術中接骨板和螺釘受到的馮米斯應力；Megan等[13]對鎖骨固定接骨板的有限元參數進行研究，指出接骨板的厚度對其結構剛度有較大的影響。上述研究成果提出利用有限元分析接骨板的應力，然而，通過調整厚度參數實現接骨板材料節約以及應力分散的文章鮮有報道。

課題組對平均化骨骼的構建和接骨板設計已有相關研究[14-15]，重點研究了平均化語義骨骼模型的構建和接骨板貼合面層次參數化設計。本文在課題組已有研究成果的基礎上，著重研究基于平均化幾何骨骼模型設計具有一般性的通用接骨板，定義接骨板的實體參數，并對其作優化設計，關鍵問題在于如何獲取平均化骨骼模型以及如何快速有效地優化接骨板厚度。本文通過帶權值的平均化骨骼模型，設計指定類型接骨板及定義語義參數，以便于后期接骨板的優化修改；并利用二分策略快速修改接骨板厚度參數，在滿足應力的條件下盡可能減少材料。

1 平均化骨骼模型生成

接骨板的設計依賴于骨骼模型特征[16]，平均化骨骼模型為系列化接骨板數量及其尺寸大小的合理分布提供了科學依據。本文構建了帶權值的平均化骨骼模型生成方法，如式(1)所示：

(1)

(2)

構建平均化骨骼模型包括如下步驟：

步驟1 將N個同類型的骨骼點云或者網格模型看成N個節點的集合，且每個節點設有權值。

步驟2 選出節點集合中任意兩個節點(如圖1(a)～(c))，利用剛體配準和非剛體變形[17](如圖1(d)、(e))，使兩個骨骼具相同的拓撲結構(如圖1(f))，生成一個新的平均化節點(如圖1(g))，其權值為選出的兩個節點的權值之和。

步驟3 從節點集合中刪除選取的兩個節點，將生成的新的平均化節點加入到集合中。

步驟4 重復步驟2，直到集合中最后一個節點，即為平均化骨骼模型，權值為N個節點的權值之和。

圖1 任意兩根骨骼配準變形獲取平均化模型

以股骨為例，采集100根形狀尺寸各不相同的股骨作為節點集合。首先，定義初始狀態下股骨的權值為1；其次，選取其中任意兩根股骨(一根作為源模型，一根作為目標模型)，通過剛體配準和非剛體變形生成一個新的平均化模型，其權值為2；然后，在100根股骨模型集中刪除選取的兩個股骨模型，將新生成的平均化股骨模型加入到模型集中；最后重復以上步驟，直至最后一根股骨，此時其權值為100，該骨骼即為100根股骨的平均化股骨模型。

2 基于平均化骨骼模型的接骨板設計

基于平均化骨骼模型可以設計出具有一般性的通用接骨板，以股骨三葉型接骨板為例，具體設計方法如下：首先，在平均化股骨模型表面定義感興趣區域并繪制邊界線，如圖2(a)、(b)所示；然后，定義感興趣區域內部約束線，如圖2(c)所示；最后，通過曲面生成方式(如填充)生成新的獨立曲面，該曲面即為接骨板的貼合面，如圖2(d)所示。

圖2 選取感興趣區域構建接骨板貼合面

為實現接骨板形狀的修改和編輯，需要作貼合面參數化設計，重點在于如何通過修改少量的語義參數實現接骨板貼合面變形。接骨板貼合面為自由曲面，其參數化定義較為復雜，本文采用基于特征點和特征線的層次化參數化方法[18-19]：底層參數描述曲線和曲面的特征點，如圖3(a)所示；中間層參數描述特征線形狀，包括邊界線和內部約束線，如圖3(b)所示；高層語義參數用于描述曲面形狀，如圖3(c)所示。各層參數之間存在約束關系[20-21]，通過少量高層語義參數實現曲面特征的修改。

貼合面參數用于描述曲面形狀，實體參數用于定義接骨板不同位置的厚度，實體參數是本文的重點。厚度參數定義在接骨板貼合面和外表面之間，生成貼合面之后，運用式(3)生成外表面：

E(u,v)=A(u,v)+d(u,v)*I(u,v)

(3)

其中：A(u,v)是貼合面；E(u,v)是外表面；d(u,v)是貼合面與外表面不同位置的厚度；I(u,v)是貼合面不同位置的單位法向量。外表面相應關鍵點的位置可以式(4)表示：

Pi′=Pi+di*Ii

(4)

其中：Pi′是外表面對應的關鍵點，Pi是定義在貼合面上的關鍵點，di是厚度參數，Ii是Pi位置的單位法向量。

圖3 接骨板貼合面參數化

結合式(3)和式(4)，構建接骨板主要包括以下步驟：

步驟1 選取感興趣區域構建接骨板貼合面，如圖4(a)所示；

步驟2 在貼合面上定義關鍵點、約束線和語義參數，建立各層參數之間的約束關系，通過調整語義參數編輯修改貼合面，如圖4(c)、(d)所示；

步驟3 在貼合面關鍵點定義厚度參數生成對應的外表面關鍵點，如圖4(e)所示；

步驟4 基于步驟3生成的關鍵點構建外表面，并定義厚度語義參數，如圖4(f)所示；

步驟5 連接貼合面和外表面生成接骨板實體，如圖4(b)所示。

3 接骨板優化

在參數化接骨板的基礎上，通過修改語義參數，可以快速設計出形狀尺寸各不相同的系列化接骨板。針對接骨板的優化，本文在選擇尺寸大小適合的接骨板基礎上，側重于厚度參數的修改作接骨板優化，以減少接骨板材料使用，分散接骨板應力。

3.1 接骨板變形與分析

在接骨板不同位置定義不同厚度參數值，其應力強度也不同。針對上文中在平均化股骨模型上設計的三葉型接骨板，在其關鍵位置定義5個厚度參數H1、H2、H3、H4、H5，如圖5所示。通過修改厚度參數值可以生成新的接骨板，如圖6所示。

圖6 不同厚度接骨板

接骨板在人體內受到的載荷受到各種因素的影響，包括肌肉、韌帶與螺釘摩擦力以及沖擊載荷等[22]。本文僅考慮正常60 kg成年男子單腿站立時接骨板受到的軸向壓縮力，其余影響因素忽略不計。接骨板所受軸向壓縮力的載荷設定為600 N，方向設定為與板面平行線呈15°角，與人直立時的負重力線一致[23]。接骨板材料為醫用鈦合金，彈性模量為105 GPa，泊松比為0.3。對上述不同厚度接骨板作有限元分析得出應力分布圖，如圖7所示。實驗結果顯示不同厚度接骨板所受應力也不同。為了快速合理地設計出滿足應力需求的接骨板，在3.2節提出了優化方法。

圖7 不同厚度接骨板應力分析

3.2 接骨板優化

制造接骨板的材料通常有兩種：鈦合金和不銹鋼。鈦合金由于其具有質量輕、高強度和高韌性的特點在接骨板制造中被廣為使用；但是鈦合金價格昂貴，而且由于應力集中導致接骨板易斷裂，因此，為了減少質量節省材料，同時使應力盡可能分散，需要對接骨板作優化設計。Andrade等[24]和Kutuk等[25]提出一種基于拓撲優化獲取接骨板最小質量的方法；Arnone等[11,26]提出一種基于計算機輔助工程減少植入物質量使其滿足安全系數約束的設計方法。然而，以上方法均基于相同厚度的接骨板設計。本文提出在貼合面固定在受損骨骼的前提上優化接骨板厚度，對接骨板作不等厚設計，在應力集中的位置增加厚度；相反則減少厚度。

式(5)給出了計算接骨板體積的微積分方程：

M=?d(u,v)dσ=?|E(u,v)-A(u,v)|dσ≈

∑Δs*di

(5)

其中：M是接骨板的體積；Δs是接骨板貼合面的微分面積；di是不同位置的厚度；A(u,v)是貼合面；E(u,v)是外表面，如圖8所示。M約等于∑Δs*di。

圖8 計算接骨板體積

本文采用二分策略快速計算和優化接骨板的厚度，二分策略即基于二分思想有針對性地將大規模數據分解成小的數據集，逐步縮小求解規模。優化流程如圖9所示，圖中Pi表示接骨板最大壓力值，di表示接骨板各個關鍵位置的厚度，考慮到生產工藝的難度，其數值精確到小數點后兩位，dmin表示接骨板最小厚度。

圖9 優化接骨板厚度流程

二分策略修改di主要包括如下步驟：

步驟1 首次分析應力后，ti=di，若P(ti)Pi，則di=ti+Δd，其中Δd=di-dmin(此處di為初始值)。

步驟2 再次分析應力后，若(P(di)-P(ti))*(P(ti)-Pi)>0，則重復步驟1；否則di=(di+ti)/2。

步驟3 重復應力分析，直至滿足條件,輸出di。

以三葉型接骨板為例，最大壓力值Pi設定為醫用鈦合金的最大屈服強度817 MPa[27]，初始厚度值di設定為2 mm，為保證后期接骨板螺釘的固定最小厚度值dmin設定為1.5 mm。具體優化過程如圖10所示，步驟中顯示了優化過程中不同厚度接骨板的線框圖和應力分布圖：設定接骨板初始厚度值為2 mm，分析其應力分布情況；然后在應力較小的位置減小厚度參數，在應力較大的位置增大厚度參數，再次進行應力分析；接著利用二分策略迭代，如圖10(a)～(c)所示，最終得到滿足應力條件下使用材料最少的接骨板，如圖10(d)所示。由于鈦合金為各向同性的彈性材料，只有一個點或者較小的范圍內出現高應力不會對材料整體造成屈服影響，故本文中當接骨板較大范圍內應力低于屈服強度時認為滿足應力條件。

圖10 采用二分策略的三葉型接骨板厚度優化過程

3.3 實例分析

對本文所提方法在VC++ 2008和幾何造型引擎CATIA V5R21平臺進行了實例測試，系統運行環境所需軟硬件環境如下：操作系統Windows 7及以上，內存2 GB或以上，CPU 2.1 GHz或以上，硬盤100 GB或以上。最終實現了基于平均化骨骼模型的接骨板優化設計。

以股骨遠端Ⅲ型接骨板為例，首先在平均化股骨上選擇感興趣區域構建接骨板貼合面，并對其參數化，如圖11(a)所示；貼合面參數化針對接骨板形狀設計，修改貼合面參數可以構建大小尺寸各不相同的接骨板，如圖11(b)所示；然后在關鍵點設置厚度參數H1、H2、H3、H4和H5，如圖11(c)所示；厚度參數用于描述接骨板不同位置的厚度，如圖11(d)～(h)所示；最后通過二分策略和有限元分析優化厚度，圖12顯示利用該方法優化接骨板厚度的過程，顯示了各個步驟不同厚度的接骨板及其應力分布。

在接骨板優化分析過程中：圖12(a)接骨板初始厚度設定為H1=2 mm，H2=2 mm，H3=2 mm，H4=2 mm，H5=2 mm，有限元分析結果顯示H1、H2應力較大，需增大厚度，H3、H4和H5應力較小，需減小厚度。根據二分策略，修改接骨板厚度值為H1=2.5 mm，H2=2.5 mm，H3=1.5 mm，H4=1.5 mm，H5=1.5 mm，如圖12(b)所示；迭代有限元分析和修改接骨板厚度的過程，如圖12(c)、(d)；最終得出接骨板的最優厚度H1=2.13 mm，H2=2.63 mm，H3=1.88 mm，H4=1.5 mm，H5=1.5 mm，如圖12(e)所示，此時接骨板應力較為分散。

圖11 Ⅲ型接骨板的參數化與不同厚度接骨板

將本文中優化前等厚接骨板與優化后不等厚接骨板作體積和最大應力比較，結果如表1所示。由表1可知：三葉型接骨板優化后體積減小2.7%，最大應力減小56.9%；股骨遠端Ⅲ型接骨板體積減小12.2%，最大應力減小24.4%。實驗表明：利用本文方法優化接骨板可以減少接骨板體積，達到節省材料減小質量的目的；同時優化后的接骨板應力分布更為均勻，降低了接骨板斷裂風險。

表1 不同厚度接骨板體積與最大應力比較

圖12 修改厚度參數優化股骨遠端Ⅲ型接骨板

4 結語

為優化接骨板應力分布、節省生產材料，本文提出基于平均化骨骼模型的接骨板優化設計方法。主要包括：通過多個同類型骨骼模型，構建平均化骨骼模型；在平均化骨骼模型的指定區域設計接骨板，并定義語義參數；通過二分策略快速修改接骨板厚度參數，使得接骨板在滿足應力的條件下使用材料最少。本文方法的特點在于：1)構建了帶權值的平均化骨骼模型生成方法，此方法有利于后期的平均化模型擴展，如有新的骨骼模型加入；2)在接骨板上定義語義參數，便于從高層參數編輯修改生成新的接骨板；3)將二分策略應用于接骨板設計優化中，快速構建出理想的接骨板，以滿足材料節約和應力分散的要求。下一步工作將結合醫學需求，分析統計參數間的關聯關系，更好地設計出不同個體需求的個性化接骨板，并進一步優化接骨板的拓撲結構。