考慮不完整邊界條件的新型混合試驗方法

吳 斌， 寧西占， 許國山， 王 貞

(1. 哈爾濱工業大學 結構工程災變與控制教育部重點實驗室，哈爾濱 150090；2. 哈爾濱工業大學 土木工程智能防災減災工業和信息化部重點實驗室，哈爾濱 150090)

混合試驗是一種將物理實驗和數值模擬通過在線方式整合到一起的混合模擬方法，在土木工程領域，它起源于擬動力試驗方法[1]。對于大型結構，混合試驗將整體結構拆分為若干個子結構，其中無法準確數值模擬、具有復雜非線性的部分作為物理子結構在實驗室中進行加載，剩余部分則進行數值模擬，這就是所謂子結構試驗方法。子結構試驗降低了混合試驗對試驗設備的需求，可完成大比例尺甚至足尺試驗模型的混合試驗，有效地減小了尺寸效應的影響。

子結構試驗的關鍵問題之一，是物理子結構邊界條件的模擬。在土木工程子結構試驗中，物理子結構的邊界條件一般由作動器實現。嚴格地來講，作動器的數量應該與邊界自由度的數量相同。對于簡單邊界，即自由度較少的邊界，如以單根構件或減震控制裝置為物理子結構(或物理子系統)的情況，子結構試驗取得了成功的應用[2-6]。但是對于更多情況，物理子結構的邊界自由度往往大大超過一般結構實驗室的作動器數量。例如，對于空間框架結構，一個梁柱單元節點有6個自由度，如果取結構底部若干層作為物理子結構，那么即使對于一個雙向單跨的框架，其邊界自由度也有24個。即使個別大型試驗室有這么多作動器和雙向反力墻，但是豎向作動器的加載能力和反力架也將是對試驗室硬件資源的一個考驗。因此，在很多子結構試驗中，不得不對邊界條件進行簡化處理，甚至放棄某些自由度的模擬[7-10]。顯然，這樣做將不同程度地降低試驗精度，甚至可能導致結構破壞模式發生變化，試驗結果嚴重偏離實際反應。

我們將物理子結構邊界條件無法完全實現稱為不完整邊界條件問題。為了解決子結構試驗的不完整邊界條件問題，本文提出基于模型更新的在線數值模擬方法，稱之為考慮不完整邊界條件的混合試驗方法。本文余下部分主要介紹這種新型混合試驗方法的基本原理和所采用的本構參數識別方法，通過一個子結構試驗的數值模擬算例驗證所提方法的可行性。

1 基本原理

考慮不完整邊界條件的混合試驗方法的主要思想是：針對待模擬的結構建立三套模型，其一是結構的整體數值模型，其二是物理子結構即試件，其三是物理子結構的數值模型；將結構整體數值模型計算出來的物理子結構邊界上部分自由度的位移通過作動器實現；利用物理子結構的位移和反力實測信息，以及物理子結構的數值模型，采用適當識別方法，識別物理子結構的本構參數；假定全結構與物理子結構具有相同的本構關系，因此可用識別得到的本構參數更新全結構數值模型的本構參數值，進而進行下一步的結構反應計算和參數識別更新，如此反復直至試驗結束。本文提出的新方法與傳統的混合試驗方法最重要的區別在于，前者需建立整體結構的數值模型，而后者無整體結構的數值模型。本文方法相對于傳統方法的最大優點在于，可通過整體結構的數值模型降低物理子結構不完整邊界條件對模擬結果的影響。

關于軟件實現，如圖1所示，本文所提考慮不完整邊界條件的新型混合試驗方法由以下4個模塊組成：① 時間積分模塊，用于求解結構運動方程，本文采用Matlab編程；② 整體結構有限元分析模塊，本文利用OpenSees求解整體結構的靜恢復力；③ 物理子結構分析模塊，采用OpenSees建模，為識別模塊提供在部分邊界自由度位移輸入下物理子結構的恢復力；④ 本構參數識別模塊，根據作動器加載物理試件得到的位移及其對應的恢復力和物理子結構分析模塊計算得到的恢復力，在線識別本構模型參數，采用Matlab編程。新型混合試驗方法的實施步驟為：

圖1 考慮不完整邊界條件的新型混合試驗原理

步驟1采用逐步積分方法求解結構運動方程，獲取整體結構動力自由度上的位移向量dk，并將其發送給整體結構有限元模型中對應的自由度。

步驟5以最新估計的本構模型參數θk更新整體有限元模型中本構模型參數θk-1，再次根據結構的位移向量dk完成一步靜力分析，并提取相應節點反力Rk返回時間積分模塊。

步驟6重復步驟1～5，直至試驗結束。

2 基于梯度的材料本構參數估計

本文方法不限于特定的本構模型和參數估計方法，僅以單軸混凝土本構和基于梯度的參數識別方法為例，說明本文方法的有效性。

2.1 材料本構模型

通過材料本構關系直接反應結構或構件力學行為的截面纖維模型常用于模擬鋼筋混凝土框架結構，梅竹等[11]采用有限元軟件OpenSees中Concrete01對應的Kent-Scott-Park模型[12]作為混凝土的本構模型，提出了混凝土結構混合試驗的模型更新方法。本文也采用此本構模型，其骨架曲線(見圖2)的數學表達式為

當εc≤0.002K

(1)

σc=Kfc[1-Zm(εc-0.002K)]

當εc>0.002K

(2)

圖2 OpenSees中的單軸混凝土本構模型

式中：fc為非約束區混凝土峰值應力；σc為混凝土的軸向應力；εc為混凝土的軸向應變；K為約束引起的混凝土強度增加系數；Zm為應變軟化段斜率。考慮到約束區與非約束區混凝土參數之間關系，式(1)和式(2)所描述的本構模型可表示為如下非線性函數

σc=φ(εc,fc,ε0,εu,Kuc,Ks1,Ks2,Ks3,ρs)

(3)

Ks1=fyh/fc

(4)

Ks3=0.9fyh/300εu

(5)

式中：ε0，εu分別為非約束區混凝土峰值應變、極限應變；Kuc為混凝土極限應力和峰值應力的比值；ρs為體積配箍率；fyh為箍筋的屈服強度，Ks2=(1～5)Ks1。

2.2 參數估計方法

參數識別有很多可用的方法，這里僅以基于梯度的優化方法為例來說明本文所提新型混合試驗方法的效果。相應的目標函數可表達為

R(d1:k))

(6)

θ=[fc,εc,εu,Kuc,Ks1,Ks2,Ks3]T

(7)

式中：下標k為當前時刻；θ為由待識別的本構模型參數組成的決策變量；d1:k為從初始時刻到時刻k的位移向量；R和F分別為實測和預測的物理子結構部分邊界自由度上恢復力組成的列向量，其維數是nk×1，n為邊界自由度個數。

顯然對基于有限元的混凝土本構參數優化問題，恢復力是參數θ的非線性函數。以式(6)為目標函數的參數識別問題可歸結為非線性最小二乘問題，然后通過迭代求解。求解式(6)非線性最小二乘問題的迭代方法較多，本文選用Levenberg-Marquardt法。

按Levenberg-Marquardt方法，參數的迭代表達式為

(8)

其中,

(9)

(10)

(11)

式中：i為迭代步；α的選取及計算方法參見文獻[13]，δ為一小參數，本文取10-9。由于梯度函數無法解析表達，因此在式(9)中我們采用差分方法近似計算梯度。

3 數值模擬

以鋼筋混凝土框架結構為例，通過對比傳統混合試驗、模型更新混合試驗、考慮不完整邊界條件的新型混合試驗和OpenSees純數值分析結果來驗證本文所提方法的優越性和有效性。結構整體數值模型、虛擬物理子結構模型與Matlab之間采用基于TCP/IP協議的socket通訊機制進行數據交互[14]，參數識別程序和物理子結構數值模型之間采用文本方式進行數據交互。

3.1 虛擬混合試驗概況

本文算例取自一正在進行的實際混合試驗，其全結構為一榀2層2跨鋼筋混凝土框架結構，如圖3所示，層高分別為3.6 m和3.0 m，跨度6 m，梁柱截面分別為500 mm×500 mm，300 mm×550 mm。為考慮樓板對梁的約束作用，取梁的有效翼緣為1 740 mm。建模時假定基礎與地基剛接，梁柱均采用基于力的非線性梁柱單元，每個單元取5個Gauss-Lobatto積分點，截面為纖維截面；每層質量為8 150.4 kg。混凝土纖維和鋼筋纖維的本構模型分別為單軸Kent-Scott-Park (Concrete01)和 G-M-P(Steel02)模型，鋼筋和混凝土材料特征點參數見表1，表中未列參數建模時采用OpenSees的推薦值。地震動輸入選為El-Centro波，時間間隔為0.01 s，峰值加速度為310 gal，持時為10 s。采用OpenSees作的結構整體純數值分析結果作為參考準確解來評估三種混合試驗的模擬效果。

(a) 框架原型

(b) 梁柱截面尺寸

虛擬混合試驗的物理子結構取為底層邊柱2/3柱高以下部分，幾何相似比為1/2，并施加恒定軸力荷載P=135.8 kN，相應的試驗裝置圖如圖4所示。這里假定此柱反彎點在2/3柱高處，邊界取在反彎點處可以避免轉角自由度的模擬。顯然，這里物理子結構的邊界條件是不完整，僅水平位移可以完全實現。為模擬真實物理試驗過程，采用均值為零的隨機數作為物理子結構恢復力的觀測噪聲，其幅值為恢復力峰值的1%。

3.2 模擬結果

三種虛擬混合試驗模擬結果與參考解的結構首層響應如圖5所示，定量誤差見表2。從圖5和表2可以看出，傳統混合試驗與參考解的差異最大，模型更新混合試驗次之，本文新方法與參考解幾乎完全重合，顯示了本文方法的優越性。傳統混合試驗的數值子結構材料本構參數采用初始值，與真實值存在較大差別，所以其結果也自然誤差最大。模型更新混合試驗方法，利用物理子結構的試驗數據對數值子結構的混凝土參數本構進行更新，很大程度上改善了模擬結果。但是模型更新混合試驗的邊界條件與傳統混合試驗一樣存在誤差：因為反彎點不一定在三分之二柱高處，亦即三分之二柱高處可能仍然存在彎矩；試件柱軸力恒定，也與實際受力不相符。而本文新方法的整體結構數值模型無邊界條件問題，同時本構參數也得到了更新，所以其精度高于另外兩種方法。

圖4 試驗裝置及試件

(a) 位移時程整體圖

(b) 位移時程局部放大圖

圖6給出了底層左柱2/3高處軸力和彎矩在各種方法下的對比結果，為了便于比較，這里的結果均指原型結構(即相似比為1∶1)。結構在動力荷載作用下軸力的變化幅值高達35%；彎矩且假定反彎點處的彎矩高達底部最大彎矩參考解的30%。由此可看出，簡化邊界條件將顯著改變結構的受力狀態，影響結構性能評估的準確性。

表1 鋼筋和混凝土材料參數

圖7給出了模型更新混合試驗與本文所提方法混凝土峰值應力和峰值應變的識別結果，兩種情況下本構參數在2.4 s內歷經一定波動后均收斂于真實值。

(a) 軸力時程(b) 彎矩時程

圖6 邊界軸力與彎矩時程對比

(12)

式中：xref，xsim分別為參考解和混合模擬結果。

4 結 論

為解決邊界條件不完整對混合試驗的不利影響，提高混合試驗的模擬精度，本文提出基于模型更新的

(a) fc(b) ε0

圖7 混凝土本構模型部分參數識別結果

Fig.7 The identification results of constitutive parameters of concrete

在線數值模擬方法，稱之為考慮不完整邊界條件的新型混合試驗方法。與傳統混合試驗相比，本文所提方法物理子結構的恢復力不再返回時間積分模塊參與運動方程的求解，而是返回到本構參數識別模塊用于本構模型在線識別。新方法中結構反應由整體結構數值模型求得，邊界條件自然得到滿足；而且數值模型的本構參數不斷根據物理試件的試驗結果在線修正，提高了數值計算的準確性。對一邊界條件不完整的鋼筋混凝土框架結構的混合試驗進行了數值仿真分析，結果表明，新方法幾乎消除了邊界條件不足帶來的不利影響，極大地提高了混合試驗的模擬精度。