淺談等效法分析電學實驗的系統誤差

鄭育坤

摘 要：用等效法分析半偏法的系統誤差，進而將等效法利用到測量電源的電動勢與內阻的系統誤差的分析中，可以輕松得到正確的誤差分析結論。

關鍵詞：等效法；半偏法；系統誤差；電動勢；內阻

等效法在高中物理應用非常多，比如等效重力加速度在計算單擺的周期、計算復合場中的最高點的速度等問題中的應用，可以將比較繁瑣的計算問題瞬間變成可以口算的題目。電學實驗的系統誤差分析一直是高考的熱門考點，但是也是中學生最為害怕的一個點，因為一般要通過比較復雜的計算比較才得出系統誤差結果。本文主要探討半偏法測電表內阻及測量電源的電動勢與內阻兩個實驗的系統分析。

1 半偏法測電表內阻實驗的系統誤差分析

日前筆者在一個QQ物理討論群中與同行的朋友探討一道有關半偏法誤差的問題，群主的方法非常好，但是計算量大了些；所以筆者想能不能找到其他更好的解答方法，可以較快地解出結果。因為在現行的理綜考試中即使會列式但是不會解或者沒有時間解，對解填空題來說沒有太大的意義。理綜考試中時間分配很重要，大部分的同學不可能花大量的時間去解一道填空題，而要拿高分的尖子生更不敢輕易花這么多時間計算，萬一后面題目更需要時間，那整個得分效率就太低了。

（1）在QQ群中討論的題目

例1：某實驗小組利用如圖1所示電路測量一微安表（量程500μA，內阻RA約300Ω）的內阻。提供的器材有，定值電阻R0 （阻值為120Ω）、滑動變阻器R1（最大阻值為10Ω）、電源E（電動勢2V，內阻很小），電阻箱R2 （最大阻值為999.9Ω）、開關和導線若干。

（i）完成下列填空：

①將滑動變阻器R1的滑片P移到最 （選填“左”或“右”）端，調節電阻箱R2的阻值為0；閉合開關S，移動滑片P，使微安表滿偏。

應該說群主老師給出的解答非常準確，且求方程的解也是很厲害，但是筆者覺得計算量實在太大了，在考場上的考生臨時計算是不切實際的，對于平時的講解也是沒有太大意義，老師們不適合花很長時間進行解方程計算給學生看，但是也不能說同學們回去自己算算看。所以，筆者試著給出下面的解法。

（3）利用等效法分析

由①②易解得：r1= RA +r等，則RA=r1-r等；而②③易解得：2r2=RA+r等，則RA=2r2-r等；所以常規計算法得到結論是一樣的，但是計算量少很多。

實際電路（二端含電源的電路網絡）中只要內部中電學元件是線性的，可以把兩個端點開路時的路端電壓看成這兩端的等效電動勢U等，而把內部除源后電阻視為等效內阻r等。這就是等效電壓源原理，也稱為戴維南定理[ 1 ]。如果利用這個原理，則上面討論的半偏法問題，等效電路作如圖5依次變換，下半部分等效成一個電源，其等效內阻 r等=。這個計算主要難點是理解什么是除源后等效電阻，其實就是這兩端的外電路去掉后，再去掉原來電路的電動勢而只保留電源內阻（而本題內阻視為零）的兩端等效電阻。本題等效內阻的電路如圖，只要能理解去源后留內阻后很快可得內阻的表達式與群主老師計算的結果是一樣的。

（4） 深入思考得到的結果

這個實驗的測量值與實際值的差值是一個并聯的等效內阻，由于并聯阻值一般較小，所以這種半偏法適合用于測量電表內阻較大的（比如電壓表的內阻），且有以下幾個結論：

①測量值比實際值大，差值就是并聯電阻。

②滑動變阻器選擇阻值較小的誤差會更小，因為并聯后阻值較小，差值就更小。

③電源的電動勢要選擇較大的，這樣為使得電表滿偏時并聯部分的阻值更小些，誤差小些。

2 測量電源的電動勢與內阻實驗的系統誤差分析

高中物理的另外一個重要電學實驗“測量電源的電動勢與內阻”，系統誤差的分析也有許多方法：圖象法、計算法、等效法等。各種方法計算的繁簡程度不一樣，對于普遍認為比較好的圖象法筆者也曾在教學中多屆使用，但是最后總發現沒有幾個同學能夠熟練地使用，而在考試中往往比背住答案的同學的準確率還要低，因為往往在圖象法的外推時出錯。下面我們來對比一下分別用計算法與等效法推導這個實驗的系統誤差的解答過程以及結論。

（1）先試試常規的計算法得出答案

例2：如圖6所示是伏安法測電源電動勢和內電阻的一種接法，假設只分析測量中的系統誤差，試分析這種測法中電動勢和內電阻的測量值與真實值的關系[ 2 ]。

解：用E測、r測表示測量值，E、r表示真實值，要測出電池的電動勢和內電阻，至少要有兩次測量數據。用I1、U1、I2、U2分別表示兩次測量中電流表和電壓表的讀數，則電源電動勢和內電阻的測量值由下式求出：

（2）使用等效法分析這種測量方法的系統誤差

而其中另外一種電流表位置不一樣的伏安法測量電源電動勢與內阻的實驗，如圖11所示，也可以將電流表和電源那部分等效成一個新的等效電源，由于此部分開路后電壓為U等=E，內阻去源后為兩個電阻串聯r等=RA+r，因此E測= U等=E=E真，r測=r等=RA+r >r真，這個方法與結論同樣可以用到圖12利用電阻箱與電流表測電動勢與內阻的實驗中。

顯然，通過使用不同方法分析上面兩個實驗的系統誤差的比較，我們發現結論是相同，但是不同的方法所需要的計算完全不同，有的非常繁瑣，需要的計算量讓人望而生畏，有的卻非常簡潔，可以口算或心算秒算出來。其實，解題方法的簡潔與否，在很大程度上反映了答題者對物理原理認識的深刻程度。認識越深刻，選擇的方法也必然越佳，解答也就自然越為簡潔。對于半偏法測電表內阻及測量電源電動勢與內阻的這兩個電學實驗的系統誤差，如果能深刻認識等效電壓源原理，那么基本不用繁瑣計算便可以輕松得到誤差分析的結論。

參考文獻：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]范小輝.高中物理奧賽講座二年級[M].西安：陜西師范大學出版社，2003.