不確定性需求下快速路應急疏散魯棒優化模型*

何勝學

(上海理工大學管理學院 上海 200093)

0 引 言

作為交通網絡“主動脈”的快速路在區域應急疏散中發揮著重要交通疏運作用.盡管存在大量的快速路管理控制優化研究，但是針對應急疏散情況下快速路優化管理的研究卻非常有限.以最常用的匝道釋放流量調節作為控制手段，本研究嘗試針對不確定疏散需求條件下的快速路疏散有效控制進行研究.一般而言，疏散需求的不確定性表現為對于一個指定疏散起點，僅可知其在指定時段內的疏散流量上下限和可行疏散期內總的疏散需求，而沒有其他相關信息，例如，需求的隨機分布規律.疏散需求的不確定性不僅會給快速路的優化控制建模帶來不便，也會造成無法對所建模型進行有效求解的困難.

So等[1]提出了一種上游優先的快速路疏散自適應式控制策略，利用該策略不僅可以在最短時間完成疏散，而且不需要疏散需求的具體信息.但是該策略假設快速路主線車流的行駛速度為無限大，任何一個匝道的到達車流率均大于近鄰下游的主線分段臨界流率，而上述假設與現實明顯不符.本研究借鑒了文獻[2]中快速路的拓撲結構，即不考慮下匝道分流且疏散僅有一個下游目的地.Zhang等[3]針對無起訖點對需求信息的快速路控制進行了研究，給出了一個兩階段控制策略.盡管對需求信息沒有要求，但是該研究假設所有下匝道與下游出口具有穩定的交通流率.細致分析可知上述兩研究給出的方法在本質上是相同的.與上述兩個研究的假設相仿，本研究假定確切的動態交通需求是不可得的.何勝學[4]將文獻[1]給出的方法進行了拓展，給出前向樹狀緊急疏散網絡的自適應式控制策略.

在確定性靜態交通流量條件下，Wattleworth[5]最早利用線性規劃技術建立了一個高峰期的快速路控制模型.基于元胞傳播模型(CTM)，Ziliaskopoulos[6]給出了一個以系統最優為目標且僅有一個終點的動態交通流分配模型.同樣基于CTM, Chiu等[7]研究了一般緊急疏散網絡的管理問題.文獻[2]通過對高階宏觀交通流模型的修正，給出了如何利用地面輔道緩沖疏散車流的快速路優化控制方法.盡管上述方法可以對快速路交通流演變進行較細致的刻畫，但是實際應用時需要對大量的網絡元素進行細分，并對各種路網參變量進行標定與輸入，因此，并不適用于不確定性需求條件下的快速路緊急疏散分析.特別是在給出控制方案的時間要求緊，且各種前期數據缺乏情況下，上述建模方法的劣勢更加突出.本研究將基于上述考慮，在合理的假設條件下，尋求更加簡單有效的建模方法.

為了處理不確定的動態疏散需求，本研究將利用仿射可調節的魯棒優化方法.該方法是由Bental等[8]首先提出的，在網絡和交通運輸方面的應用可參閱文獻[9-13].以CTM作為建模基礎，Bental等[14-15]利用該方法對動態交通分配和物流網絡中的不確定需求進行了分析研究.上述已有研究為本研究提供了可借鑒的思路.

1 確定需求下的基礎疏散模型

1.1 主要參變量

圖1為條用于緊急疏散的快速路.假設危險源處于快速路的上游端口附近，而避難所處于快速路的下游端口附近，所有匝道均有車輛需要緊急疏散.為了區分各匝道疏散風險的差異，在隨后的模型中將給出相應的風險權重.

帶箭頭的短斜線-上匝道；帶箭頭的水平線-快速路分段.圖1 緊急疏散中的一條快速路

1.2 基本假設條件

應急疏散期間的交通管理與控制在許多方面有別于日常的交通管理與控制.①快速路疏散有一個可行的疏散時間期.從各上游匝道進入快速路主線的疏散車流一般具有共同的開始時間；②快速路疏散交通流一般具有單向和共同目的地的特征；③為了使疏散車流通暢快捷的通過主線，在各個主線分段的車流始終不允許超過最大臨界交通流率；④來自各匝道的疏散需求一般是不確定的.假設僅可以估計出各匝道處的總疏散需求上限，以及各個分時段的需求大致變化范圍.

假設主線分段遵循圖2所示的交通流基本關系圖，則任何時段的主線分段流率將小于臨界流量qCr.如果當前分段的流率為qAB，那么其可對應的交通流狀態包括自由流狀態A和擁擠狀態B.在相同的時間段內，兩個狀態下通過分段的車輛總數相同；但是當處于擁擠狀態B時，所有通過的車輛將花費更長的時間并體驗令人不悅的交通擁擠.如果在疏散過程中始終保持主線的交通流率低于臨界流率，則交通狀態將維持在自由流狀態.這樣既避免了對復雜多變的擁擠狀態進行管理控制的必要，也保證了疏散車流運行的平順快捷.

圖2 三角形流量-密度-速度基本關系圖

1.3 快速路基礎疏散模型

1.3.1等價的目標函數

基于主線車流維持自由流狀態的假設，易知在疏散車輛進入快速路后，其到達下游目的地的時間確定.因此如果各匝道處總的實際疏散車輛數給定，則總的車輛行駛時間為定值.綜上，疏散優化目標應考慮最小化所有疏散車輛在匝道處等待被加載進入主線的時間.

圖3 具有動態需求的快速路假想累計 到達與釋放流量曲線

1.3.2基礎模型

基于已有的假設條件，建立相應的快速路疏散基礎模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 考慮不確定需求的魯棒優化模型

2.1 不確定的動態疏散需求

(8)

用θ表示疏散需求的不確定性水平，則式(8)可等價表示為

(9)

在基礎疏散模型MP1中加入約束條件(8)或(9)，模型將變為一個難以處理的半無限維數學規劃問題.如果沒有進一步的處理，很難得到新模型的最優解，有時甚至很難得到一個可行解.

2.2 魯棒優化模型

(10)

MP2:minz

(11)

MP2仍然是一個難以處理的半無限維優化問題.但是可以利用線性規劃的強對偶理論對MP2相關約束進行處理，得到如下一個等價的可處理線性規劃模型：

MP3:minz

?τ∈T,s∈R

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

?τ∈T,s∈R,r∈R

?τ∈T,s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

?τ∈T,s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

(12)

上述模型MP3中，λ表示對偶變量集合，增加的相關數字上標是為了簡化參變量表述.I(s)定義為一個0-1變量.當條件s滿足時，I(s)=1；否則，I(s)=0.

證明.利用下面的關系式，可將所有受不確定數據影響的約束轉變為一個等價的線性問題：

因此，存在滿足bλ≤ν,ATλ=α和λ≥0的對偶變量λ，定理得證.

盡管MP3的規模相比于MP2明顯增大，但是由于該模型仍然為線性模型，因此，可以利用已有的商業軟件高效求解.本文隨后的算例分析部分將采用數值優化軟件Lingo13.0，該軟件具有非常好的線性規劃求解效率.例如在處理近30 000個變量和13 000個約束的算例時，得到最優結果僅需數秒，因此本文不再對模型的求解算法加以展開分析.

3 算例分析

以一條與圖1具有相似拓撲結構且包含5個上匝道的快速路為例，該快速路的基本數據見表1.

表1 快速路疏散系統的基本參量

為了簡化分析，設定所有匝道的疏散優先權權重均為1，且所有匝道具有相同的多面體式疏散需求約束形式.令K=10，并假設所有疏散車輛與kT=5T時段前全部抵達相應的匝道處.在以上假設條件下，模型MP3共包含29 482個變量和13 057個約束.

表2 不確定性水平與名義需求大小對的影響

在利用SSP求解帶有不確定性需求的MP1模型時，假設疏散需求服從指定的Beta分布.首先利用隨機生成的50個樣本計算SSP方法的指導性釋放疏散車流和最終優化目標值；隨后，分別利用MP3和SSP對1 000個需求樣本進行疏散處理，并將疏散結果的目標均值和最差的目標函數值加以比較.表3為需求服從Beta(1,1)、名義需求為3.6以及cp=-5的比較結果；而表4為需求服從Beta(2,5)、名義需求為3.2以及cp=-20的比較結果.

表3 MP3與SSP的疏散效果比較

表4 MP3與SSP的疏散效果比較

由表3～4可知，SSP方法所得目標函數值在不同的不確定性需求水平下均高于MP3的計算結果.這一現象合理反映了兩種方法的本質特征.SSP的目標函數值是對已知樣本計算的一種均值；而MP3給出的是最糟糕情景下可行疏散方法的結果.用兩種方法對1 000個隨機樣本進行實際處理，表3～4中的數據顯示利用MP3的方法在樣本目標均值方面優于SSP.利用MP3的方法所得樣本目標值波動范圍較小，即對應的標準方差較小.在對1000個隨機樣本處理中的最糟糕情景下，MP3的表現則更加出色.利用MP3的方法不僅能保障解的可行性，而且提供了目標函數值的下界；而SSP則不具有上述兩方面的優勢.

4 結 束 語

快速路應急疏散具有不同于日常交通的一些特征，因此有必要針對這些特征實施有效的疏散管理與控制.應急疏散的一個突出特征就是疏散需求信息的不確定性.以上匝道作為快速路疏散的起點，疏散管理者往往只能估計不同時段到達各上匝道的疏散車流上下限和可行疏散期內總的疏散車流，而沒有其他關于疏散需求的信息.據此建立的疏散優化模型具有不可處理的半無限維特征.針對上述問題，在假設到達車流與匝道釋放車流之間存在仿射關系條件下，利用線性規劃的強對偶條件將半無限維模型轉化為等價的一般化模型，從而實現對不確定需求的有效處理.通過與隨機抽樣規劃方法的比較，說明本研究所給出的魯棒優化方法的合理性與有效性.

盡管通過在模型中添加權重系數考慮了疏散優先權，但是本文并沒有對此展開深入分析.疏散優先權對疏散整體效果的影響和優先權的合理分配可以作為一個拓展研究方向.本研究假設主線車流維持自由流狀態，但是可能的一些意外可能導致該假設失效，因此有必要針對如何處理該類現象加以研究.