水波與雙重不同豎直剛性薄板相互作用的理論研究*

汪利先 金春偉

(武漢理工大學交通學院 武漢 430063)

0 引 言

防波堤是海岸與海洋工程中的一種重要的水工建筑物結構，其主要作用是防御波浪入侵，為港口碼頭等形成掩蔽水域.基于波浪能量集中在水體表層的特點，許多專家學者提出了一種新型結構防波堤，即自由面防波堤.這種防波堤主要包括透空式防波堤和浮式防波堤，其利用上部的擋浪結構衰減外海傳來的大部分波浪，而在下部允許水體通過，這樣既可以達到較好的掩護效果，又可以保證所掩護區域具有良好的水質條件.同時，其還具有成本低、適用水深范圍廣，以及對水底地質要求低等優點，因此，關于自由面防波堤的研究工作是海岸工程和海洋工程界的熱點課題之一[1-2].

由置于自由液面附近的雙重豎直剛性薄板所組成浮式防波堤是一種典型自由面防波堤結構.基于線性波理論，Mciver等[3-6]對波浪與雙重相同豎直剛性薄板在無限深水或有限均勻深水中的相互作用的展開了廣泛的研究，并計算了這種結構的反射與透射系數等水動力特性.但是，目前國內外對波浪與雙重不同豎直剛性薄板相互作用的研究相對較少， Evans等[7]研究由一個穿透水面、另一個浸沒水下并向下無限延伸的兩個豎直剛性薄板組成的結構與正向波的相互作用問題，并考慮了斜向入射波和有限深水的情況.另外，他們使用的是變分方法結合多項伽遼金逼近法，得到了非常準確的反射系數和透射系數.文獻[3]應用匹配特征值函數法定性研究了有限深水中正向波與雙重不同穿透水面剛性豎直薄板的相互作用，但是沒有考慮薄板吃水、兩板間距等因素對反射系數的影響，也沒有計算作用在薄板上的波浪力.Roy等[8-9]采用積分方程和單項伽遼金逼近法,研究了三組不同的雙重剛性薄板與斜向波在無限深水的相互作用，其中一組穿透水面，一組則是完全浸沒并向下有限延伸，還有一組完全浸沒并向下無限延伸.

本文利用匹配特征函數展開法求解邊值問題，并應用最小二乘法處理混合邊界條件，得到了穿透水面的雙重不同豎直剛性薄板的波浪繞射問題的解析解，系統地分析了兩板吃水比、后板吃水、兩板間距等因素對反射系數和水平波浪力的影響規律.研究的結果可為新型防波堤的物理模型試驗和工程實踐提供參考.

1 邊值問題

圖1為當前研究問題的理想化示意圖.考慮到豎直剛性薄板的厚度遠小于入射波長，可將其忽略.在有限均勻水深h的計算水域中，規則波浪從左至右正向入射.直角坐標系的原點O位于左側豎直薄板與靜水面的交點處，X軸水平向右，Z軸垂直向上.前、后兩豎直薄板的吃水深度分別為d1，d2，兩板之間的間距為b.根據豎直薄板的水平位置，將整個計算流域劃分為三個區域：區域1(-∞≤x≤0，-h≤z≤0)，區域2(0≤x≤b，-h≤z≤0)；區域3(b≤x≤+∞，-h≤z≤0).

圖1 正向波與雙重不同豎直剛性薄板的相互作用示意圖

1.1 控制方程

基于勢流理論，當入射波為圓頻率(的線性規則波時，計算區域j中流體運動的速度可以用速度勢Φj表示為

Vj(x,z,t)=Φ(x,z,t)=

(1)

式中：Re為對變量取實部；φj為與時間t無關的空間速度勢.

將流體視為無粘不可壓縮理想流體并假設流體運動無旋，則空間速度勢φj應滿足拉普拉斯方程

2φj(x,z)=0,j=1,2,3

(2)

1.2 邊界條件

空間速度勢除了需要滿足式(2)的控制方程外，還需要滿足以下邊界條件，包括：

線性化的自由水面條件：

?φj/?z=ω2/gφj,j=1,2,3

(3)

海底邊界無穿透條件：

?φj/?z=0,j=1,2,3

(4)

無窮遠處輻射邊界條件：

?φR/?x=-ik0φR,x→-∞

(5)

?φT/?x=ik0φT,x→+∞

(6)

前、后薄板表面無穿透條件：

?φj/?x=0,-d1≤z≤0,x=0,j=1,2

(7)

?φj/?x=0,-d2≤z≤0,x=b,j=2,3

(8)

區域1，2分界面上速度及壓力連續邊界條件：

?φ1(x=0-,z)/?x=

?φ2(x=0+,z)/?x,-h≤z≤-d1

(9)

φ1(x=0-,z)=

φ2(x=0+,z),-h≤z≤-d1

(10)

區域2、3分界面上速度及壓力連續邊界條件：

?φ2(x=b-,z)/?x=

?φ3(x=b+,z)/?x,

-h≤z≤-d2

(11)

φ2(x=b-,z)=φ3(x=b+,z),

-h≤z≤-d2

(12)

式(3)～(12)中：g為重力加速度；k0為入射波波數；φR、φT分別為反射波、入射波空間速度勢.

2 解析方法

2.1 特征值函數展開法

三個計算區域中的空間速度勢φj可以展開為適當形式特征值函數的疊加.采用分離變量法，滿足式(2)及式(3)～(6)的速度勢可以寫為

φ2=

(13)

φ2(x,z)=

(14)

φ3(x,z)=

(15)

式中：A為入射波波幅；Rn，Tn，An，Bn(n=0,1,2,3,…)為未知的展開系數；kn為波數；Zn為沿水深變化的垂向特征函數：

Z0(k0z)=

(16)

波數kn滿足水波運動的線性色散關系：

ω2=gk0tanh (k0h)=

-gkntan(knh)，n=1,2,…

(17)

令α0=-ik0，αn=kn，n=1,2,…，則式(13～15)可以改寫為

φ1(x,z)=

(18)

φ2(x,z)=

(19)

(20)

為了求解上式中的未知系數Rn，Tn，An，Bn(n=0,1,2,…)，將式(18)～式(19)代入區域1，2分界處x=0處法向速度連續的邊界條件，即式(7)和(9)，可得

R0=1-A0+B0e-α0b,Rn=

-An+Bne-αnb,n=1,2,…

(21)

類似地，將式(19)～ 式(20)代入區域2，3分界處x=b法向速度連續的邊界條件，即式(8)和(11)，可得

Tn=Ane-αnb-Bn,n=0,1,2,…

(22)

由式(21)～(22)可知，只需求解出An，Bn(n=1,2,…)，就可以得到上節中邊值問題的完整解析解.

將式(18)、(19)和(21)代入到區域1、2分界處x=0壓力連續的邊界條件，即式(10)，可得

(23)

將式(18)和(21)代入到前薄板x=0處的無穿透邊界條件，即式(7)，可得

0,-d1≤z≤0

(24)

將式(19)、(20)和(22)代入到區域2、3分界處x=b壓力連續的邊界條件，即式(12)，可得

(25)

將式(19)代入到后薄板x=b處的無穿透邊界條件，即式(8)，可得

0,-d2≤z≤0

(26)

2.2 最小二乘法

式(23)～(24)為關于An，Bn(n=0,1,2,…)在區域1、2分界處x=0的對偶級數方程組，分別給出了部分邊界上的狄利克雷條件和諾依曼條件.同樣地，式(25)～(26)為區域2、3分界處x=b的對偶級數方程組.為了確定這兩組未知展開系數，需將分界處上的兩個部分邊界條件轉化為的一個混合邊界條件，給出沿水深方向的速度勢或速度.

在分界處x=0，令

(27)

為了在沿水深方向-h≤z≤0滿足S(z)=0，根據最小二乘法應滿足

最小值

(28)

因此可得

(29)

式中：S*(z)為S(z)的共軛.

類似地，在分界處x=b，令

(30)

根據最小二乘法應滿足

(31)

將式(29)和(31)中的m，n均截斷到N項，聯立求解，可以確定展開系數An，Bn(n=0,1,2,3,…,N-1,N)，也就獲得了計算區域流場內任意位置的速度勢.

2.3 反射系數、透射系數和水平波浪力

反射系數、透射系數分別定義為反射波高、透射波高與入射波高的比值.由圖1可知，區域1中包含入射波和反射波成分，其空間速度勢表達式(13)中的第一項對應于入射波，第二項對應于反射波，第三項對應于非傳播模態波,因此，反射系數可為

CR=|R0

(32)

區域3中僅包含透射波成分，其空間速度勢表達式(15)中的第一項對應于傳播透射波，第二項對應于非傳播模態波，則透射系數為

CT=|T0|

(33)

計算流域內的動水壓強可以利用非穩態伯努利方程求得

P(x,z)=iρωφ(x,z)

(34)

將動水壓強沿薄板表面積分，可以分別得到作用在單位寬度前、后薄板上的水平波浪力Ff、Fr：

(35)

(36)

3 結果與討論

首先利用其計算了正向波與雙重相同豎直剛性薄板相互作用問題.計算相關的參數選取為：前后薄板的吃水深度相同(d1/d2=1)，無因次后板吃水深度(d2/h)為0.2，無因次兩板間距(b/h)為0.6.為了保證計算結果的收斂精度，必須合理的選擇式(29)和(31)中的截斷項數N.計算試驗表明，當N=400時，可以保證本文的計算結果精度為10-2，足以滿足工程計算所需，因此，在下文中，無特殊說明時均采用這一截斷項數.正向波繞射雙重相同薄板的反射系數隨入射波頻率變化的計算結果見圖2.由圖2可知，本文的計算結果與文獻[5]中的結果吻合較好，證明了本文解析計算方法的正確性.另外，還同時驗證了不同入射波頻率情況下的波浪能量守恒關系，即反射系數與透射系數應滿足CR2+CT2=1，進一步證明了本文解析計算方法的正確性.

d1/d2=1;d2/h=0.2;b/h=0.6.圖2 正向波繞射雙重相同薄板的反射系數 隨入射波頻率變化的計算結果圖

3.1 兩板吃水比對水動力的影響

圖3為五種不同兩板吃水比即d1/d2=0.25，0.5，1，1.5，2所對應的反射系數隨入射波頻率變化的曲線.計算時固定后板吃水為d2/h=0.3，兩板間距為b/h=0.6.由圖3可知，反射系數隨著入射波頻率的增加單調遞增至1，即在高頻區發生全反射.當兩板的吃水相同時(d1/d2=1)，反射系數隨入射波頻率先減小后增大.本文的解析計算結果表明：在頻率為ω2/gh=1.67附近，反射系數存在一個接近0的極小值(0.45%)，而雙重不同薄板對應的反射系數曲線則不存在類似的零反射系數的極值點.這表明雙重不同薄板與雙重相同薄板存在顯著的水動力差異.由文獻[3]可知，當兩板完全相同時，必定在某一頻率存在零反射；當兩板不同時，對應的反射曲線顯著不同，不能滿足在同一頻率處的反射系數相等的條件，則零反射現象不存在.考慮到本文的計算精度，本文的計算結果與文獻[3]中的理論分析相吻合.另外，由圖3可知，當前板吃水大于后板吃水時(d1/d2>1)，隨著兩板吃水差異的增大，低頻區的反射系數也隨之增大.

d2/h=0.3;b/h=0.6.圖3 不同兩板吃水比情況下反射系數 隨入射波頻率的變化圖

圖4為不同兩板吃水比情況下作用在前、后板上的無因次水平波浪力|Ff|/(gAd1、|Fr|/(gAd1隨入射波頻率的變化曲線.由圖4a)可知，前板所受的水平波浪力隨入射波頻率先增加后減小，存在一個峰值.當兩板吃水比不斷增大時，水平波浪力峰值對應的頻率向低頻區移動.當吃水比為d1/d2=0.25時，水平波浪力峰值為0.87，對應的峰值頻率為ω2/gh=3.4；當吃水比增大至2時，水平波浪力峰值為1.7，對應的峰值頻率減小為1.6.另外，可以發現當雙重薄板相同時(d1/d2=1)，作用在前板上的水平波浪力峰值最大，約為雙重不同薄板(吃水比d1/d2=2)的1.31倍.因此，布置雙重不同薄板能顯著減小作用在前板上的波浪載荷.由圖4b)可知，作用在后板上的水平波浪力曲線與前板相似，但其峰值對應的頻率隨兩板吃水比的增大逐漸向高頻區逐漸移動，這與前板的情況正好相反.當吃水比為0.5時，對應的水平波浪力峰值最大，達到1.56，約為雙重相同薄板的1.06倍.當吃水比為2時，對應的水平波浪力峰值約為雙重相同薄板的44%.

d2/h=0.3;b/h=0.6.圖4 不同兩板吃水比情況下水平波浪力 隨入射波頻率的變化圖

3.2 后板吃水對水動力的影響

圖5為不同后板吃水(d2/h)情況下反射系數隨入射波頻率變化的曲線.計算時固定兩板吃水比為d1/d2=0.5，兩板間距為b/h=0.6，后板吃水d2/h從0.1變化到0.5.由圖5可知，當薄板吃水較小時(d2/h<0.3)，，反射系數隨入射波頻率單調遞增.當薄板吃水較大時(d2/h>0.3)，反射系數隨入射波頻率先單調遞增，后至臨界頻率處不再發生明顯變化，此時反射系數達到其理論最大值1.后板吃水為d2/h=0.5對應的臨界頻率為ω2/gh=2.3.另外，當薄板的吃水增加時，反射系數在低頻區隨之增大.如在入射波頻率為ω2/gh=1時，后板吃水為d2/h=0.5的反射系數約為d2/h=0.1的反射系數的21倍.

d2/h=0.3;b/h=0.6.圖5 不同后板吃水情況下反射系數 隨入射波頻率的變化

圖6為五種不同后板吃水所對應的前、后兩板的水平波浪力隨入射波頻率的變化曲線.與圖4相似，在所考慮的頻率范圍內，除d2/h=0.1外，前、后板的水平波浪力均存在一個峰值.當前、后兩板的吃水逐漸增大時，該峰值逐漸增大，并且對應于該峰值的入射波頻率朝低頻區移動.顯然，隨著薄板吃水的增大，所受的流體動壓強的影響范圍顯著增大，最終導致水平波浪力的增加.

d1/d2=0.5;b/h=0.6.圖6 不同后板吃水情況下水平波浪力 隨入射波頻率的變化

3.3 兩板間距對水動力的影響

圖7為不同板間距(b/h)所對應的反射系數曲線.計算時固定兩板吃水比為d1/d2=0.5，后板吃水為d2/h=0.3.可以看出，隨著入射波頻率的增大，反射系數的總體趨勢是逐漸增大.當兩板間距大于b/h=0.6時，反射系數波動上升，存在兩個極值點.當b/h=1.2時，在入射波頻率為ω2/gh=2.8和3.2附近，反射系數分別存在極大值和極小值.當b/h=2.4時，在ω2/gh=2.6和2.9附近分別存在極大值和極小值.

d1/d2=0.5;d2/h=0.3.圖7 不同兩板間距情況下反射系數 隨入射波頻率的變化

圖8為不同兩板間距對前、后板水平波浪力的影響關系曲線.兩板間距對作用在前后板上的波浪力影響比較復雜.由圖8a)可知，當兩板間距為b/h=0.15時，前板所受水平波浪力隨入射波頻率單調遞增.當b/h=0.3和0.6時，前板波浪力在所考慮的頻率范圍內為單峰曲線.當b/h>0.6時，水平波浪力隨入射波頻率的變化曲線存在兩個極大值.由圖8b)可知，當b/h<2.4時，作用在后板上的水平波浪力曲線均為單峰曲線.當兩板間距增大為b/h=2.4時，水平波浪力ω2/gh=2和3附近均存在極大值.

d1/d2=0.5;d2/h=0.3.圖8 不同板間距情況下水平波浪力 隨入射波頻率的變化

4 結 論

1) 與雙重相同薄板不同，雙重不同薄板的反射系數曲線不存在零反射現象.隨著兩板吃水差異的逐漸增大，低頻區的反射系數也隨之增大.另外，與雙重相同薄板相比，布置雙重不同薄板能顯著減小作用在薄板上的水平波浪力.

2) 當雙重不同薄板的吃水增加時，反射系數在低頻區逐漸增大.前、后板的水平波浪力隨入射波頻率的變化曲線為單峰曲線.隨前后板吃水的增大，對應的峰值逐漸增大，且對應峰值的入射波浪頻率逐漸朝低頻區移動.

3) 兩板間距對前后板的反射系數及水平波浪力比較復雜.隨著波浪頻率的增大，反射系數及水平波浪力存在若干個極值.