SARIMA-Markov模型在船舶 交通流量預測中的應用*

江福才 范慶波 馬全黨 張 帆 馬 勇

(武漢理工大學航運學院1) 武漢 430063) (武漢理工大學內(nèi)河航運技術湖北省重點實驗室2) 武漢 430063)

0 引 言

隨著水上交通在智能化、信息化等方面的發(fā)展，實時、準確的交通流量預測可為水上智能交通系統(tǒng)進行交通誘導及控制提供有效的基礎數(shù)據(jù)，便于海事主管機關制定合理、有效的調(diào)度、交通組織方案.同時港口部門可根據(jù)船舶交通流量的變化趨勢，合理規(guī)劃碼頭、航道、錨地等水域的布局，提高港口資源的利用效率[1].

目前國內(nèi)外的學者在水上交通流預測方面取得了許多研究成果，但大多是借鑒陸地、航空等領域的預測方法，比較常用的方法有支持向量機(support vector machine，SVM)模型、灰色模型、時間序列模型、神經(jīng)網(wǎng)路模型、組合模型等[2-5]，這些模型有各自的優(yōu)勢，但很少考慮序列的非平穩(wěn)性，因此，預測精度相對較小.在進行月、季、年度交通流量的預測時，往往受到趨勢性、季節(jié)性等因素的影響，季節(jié)性自回歸移動平均(seasonal auto regressive integrated moving average，SARIMA)模型可以很好的解決這些問題.在SARIMA模型研究方面，李曉磊等[6]運用SARIMA模型對荊州港月度船舶交通流量進行了預測，并將該方法與Holt-Winters加法模型、自回歸移動平均(auto regressive integrated moving average，ARIMA)模型進行了對比，驗證了SARIMA模型的可行性；郝軍章等[7]將SARIMA模型運用到全國鐵路客運量預測中，通過將預測值與實際值進行對比，得到模型的預測能力為“優(yōu)良”；王瑩等[8]選擇SARIMA模型對北京地鐵進站客流量進行時間序列建模，從預測結果看，該模型可以較準確的描述進站客流量的變化趨勢.

馬爾科夫(Markov)模型具有無后效性，廣泛應用到交通流量、瓦斯流量、交通事故等預測方面.Yang等[9]運用Markov模型與小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型結合，深入洞察樣本流量模式，提高預測的準確性與魯棒性，對德克薩斯州休斯敦的高速公路流量進行了預測；Lyu等[10]運用BP神經(jīng)網(wǎng)絡與Markov模型組合，對防城港船舶交通流量進行了預測；陳釗等[11]運用GM(1,1)模型與Markov模型結合對礦井瓦斯流量進行了預測等等.因傳統(tǒng)的Markov模型在求取灰色區(qū)間的白化系數(shù)時存在不足，本文選用具備較強全局搜索能力的粒子群算法求解最佳的白化系數(shù)，在粒子群算法優(yōu)化方面，樊冬雪[12]利用無偏灰色馬爾科夫模型對鐵路客流量進行預測，并利用粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)輔助求解馬爾科夫模型中最佳的白化系數(shù)；Eseye[13]運用PSO進行全局搜索，對支持向量機中的參數(shù)進行優(yōu)化，以提高預測精度等.

鑒于以上分析，本文將SARIMA-Markov模型引入船舶交通流量預測領域，發(fā)揮了SARIMA模型與Markov模型所具有的優(yōu)勢，并且運用PSO進行優(yōu)化，求取最優(yōu)的白化系數(shù)，以期更好的表征船舶交通流量的發(fā)展趨勢.

1 SARIMA-Markov模型基本原理

1.1 SARIMA預測模型

ARIMA模型(B-J方法)，常用于解決隨機時序問題[14].SARIMA模型是由ARIMA模型衍生而來的，基本形式為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s.

設原始時間序列是它的當期和前期的隨機誤差項及前期值的線性函數(shù)，即可表示為

Xi=φ1xi-1+φ2xi-2+…+φpxi-p+

μi-θ1μi-1-θ2μi-2-…-θqμi-q

(1)

式中：時間序列Xi為自回歸移動平均序列；ui為相互獨立的白噪聲序列.上述為(p，q)階的自回歸移動平均模型，記為ARMA(p，q)；φ1,φ2,…,φp為自回歸系數(shù)；θ1,θ2,…,θq為移動平均系數(shù).

引入滯后算子，式(1)可簡記為

φ(B)xi=θ(B)μi

(2)

若序列在季節(jié)性差分前還進行了d階的逐期差分才平穩(wěn)，則最終形成的SARIMA模型表達式為

(3)

軟件常被用于解決時間序列建模及數(shù)據(jù)處理問題[15].

1.2 Markov預測模型

Markov模型具有無后效性，對于一個具有無后效性的隨機序列{Y(t),t∈T}，T為離散的時間集合，其無后效性可以表示為

P{Yn+1=in+1|Y1=i1,Y2=i2,…，Yn=in}=

P{Yn+1=in+1|Yn=in}

(4)

Markov預測模型的構建可以分為以下幾個步驟.

步驟1求取殘差序列e(i) 對原始數(shù)據(jù)Xi，運用SARIMA模型進行計算得到預測值fi，同時可以得到殘差序列e(i)

e(i)=xi-fi，i=0,1,2,…

(5)

步驟2狀態(tài)區(qū)間劃分 將殘差序列按照大小劃分為間隔寬度相等的r個狀態(tài)，殘差序列e(i)的第i步的第j個狀態(tài)的上下邊界分別用Qij和Hij表示，計算方法為

(6)

步驟3求取k步狀態(tài)轉移概率 設狀態(tài)空間為I={i1,i2,…，ir}，k步狀態(tài)轉移概率為

{ii→i1,ii→i2,…，ii→ir}

(7)

步驟4構建狀態(tài)轉移概率矩陣 構建能反映系統(tǒng)間各狀態(tài)概率轉移的一步轉移矩陣，其大小為r·r.該轉移矩陣描述為

(8)

步驟5求取預測值 Markov模型的預測值表示為

(9)

1.3 粒子群算法

選用粒子群算法進行全局搜索來確定Markov算法中的白化系數(shù)λi(i=1,2,…，r)[16-17].

對于某個粒子i，其粒子群搜索公式為

vi(t+1)=wvi(t)+c1rand1(xpbesti-xi(t))+

c2rand2(xgbesti-xi(t))

(10)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

式中：xi為在t時刻的位置；vi為粒子在t時刻的速度；xpbest為群體微粒搜索到的自身最佳位置；xgbest為群體微粒經(jīng)歷過的全局最好位置；rand1，rand2為服從U(0，1)的隨機數(shù)；w為慣性系數(shù)；c1，c2為加速度系數(shù).

用均方差fit來衡量每個粒子的適應度函數(shù)

(11)

選擇軟件編寫相關程序求得最佳的白化系數(shù)λi，最終得到狀態(tài)區(qū)間中可能的預測值zi為

zi=(1-λi)Qij+λiHijλi∈[0,1]

(12)

2 仿真與數(shù)據(jù)分析

2.1 數(shù)據(jù)樣本的選取

為了更好的表征船舶交通狀況，實現(xiàn)對不同水域相同時段或同一水域不同時段的船舶交通流量的可比性，提出了標準船舶的概念[18].我國在評估海上交通安全時提出的標準船舶換算系數(shù)見表1.

表1 標準船舶換算系數(shù)表

運用以上換算系數(shù)對原始數(shù)據(jù)的船舶交通流量進行加權，轉化為標準船舶，原始數(shù)據(jù)為從海事相關部門調(diào)研得到的赤壁長江公路大橋斷面2010年1月—2016年6月的船舶交通流量數(shù)據(jù)，經(jīng)過標準船舶轉化后的樣本數(shù)據(jù)見表2.

表2 赤壁長江公路大橋斷面標準船舶交通流量統(tǒng)計表

2.2 月度標準船舶交通流量預測

為驗證SARIMA-Markov模型的適用性，運用、軟件，選取赤壁長江公路大橋斷面2010年1月—2015年12月(編號1～36)的樣本數(shù)據(jù)用于建立模型，2016年1—6月(編號37～42)的樣本數(shù)據(jù)用于模型驗證，并運用相關評價指標對模型進行評價.

2.2.1SARIMA模型

依據(jù)前面介紹的建模步驟，首先對序列進行平穩(wěn)性處理，見圖1.各觀測值沒有完全圍繞其均值上下波動，曲線前后波動具有不一致性；表3為原始數(shù)據(jù)、一階差分后ACF-PACF分析圖，由圖3可知，原始數(shù)據(jù)的自相關系數(shù)(ACF)起初都落在顯著水平α=0.05的置信區(qū)間以外，綜上所述，得到序列xi為非平穩(wěn)時間序列.

對非平穩(wěn)序列通常采用逐期差分的方法，ACF很快的趨于0(滯后階數(shù)k>2或3時)，落入置信區(qū)間內(nèi)；對序列xi進行單位根檢驗，結果見表4.顯著水平為1%的臨界值大于t統(tǒng)計值，得到序列xi轉化為平穩(wěn)序列，因此d=1.

圖1 時間序列圖(2010年1月—2015年12月)

由表3可知，ACF在12階，24階等以12為周期的階數(shù)位置存在較大的峰值，表明序列存在以12個月為周期的季節(jié)波動，為消除模型的季節(jié)性，本文應用軟件中的seasonal adjustment-census X12功能.參照原始序列平穩(wěn)性的分析步驟，得到D=1.

ACF-PACF分析圖常被用來對SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型進行識別和定階.根據(jù)以上分析，得到d=1，D=1，見表5，由表5可知，ACF在k=12,24處顯著超出置信區(qū)間，存在以12為周期的波動性，得到P=1、Q=1.參照相關文獻、書籍對p、q值的取值方法[19-20]，對比表3、表5可知，得到可供選擇的(p、q)組合有(3,1)、(4,0)、(2,1)、(3,0).

表3原始數(shù)據(jù)、一階差分后ACF-PACF分析圖

表4 一階差分后ADF檢驗圖

根據(jù)不同的(p、q)組合建立SARIMA(3,1,1)(1,1,1)12，SARIMA(4,1,0)(1,1,1)12，SARIMA(2,1,1)(1,1,1)12，SARIMA(3,1,0)(1,1,1)12四組模型，運用軟件中的Equation Estimation功能對模型進行檢驗，得到選取SARIMA(3,1,0)(1,1,1)12是比較合適的.

SARIMA(3,1,0)(1,1,1)12模型表達式為

(1+B12)(1+0.621B+0.376B2+0.138B3)

(1-B)(1-B12)lg(xi)=(1-0.009B12})μi

表5一階季節(jié)差分后ACF-PACF分析圖

運用SARIMA(3,1,0)(1,1,1)12模型對2013年1月—2015年12月的月度標準船舶交通流量進行預測，結果見表6.

2.2.2SARIMA-Markov模型

根據(jù)Markov模型的建模步驟，首先確定殘差序列的范圍e(i)∈[-1 455,1 442]，將殘差序列劃分為4個狀態(tài)區(qū)間，區(qū)間的上下邊界值為

表6 SARIMA模型預測值及殘差序列統(tǒng)計表 艘·次

同理，E2、E3、E4狀態(tài)的上下邊界區(qū)間分別為[-730.75,-6.5]，[-6.5,717.75]，[717.75,1 442].殘差序列狀態(tài)分布見表7.

表7 狀態(tài)分布表

根據(jù)表7中狀態(tài)劃分情況，對從Ei經(jīng)一步轉移到Ej的頻數(shù)統(tǒng)計見表8.

表8 一步狀態(tài)轉移頻數(shù)統(tǒng)計表

狀態(tài)轉移概率：P11=P(E1→E1)=P(E1|E1)=0.4

同理可得到：P12=0.3，P13=0.2，P14=0.1，P21=P22=0.364，P23=0.091，P24=0.182，P31=0.2,P32=0.2，P33=0.3，P34=0.1，P43=0.75，P44=0.25.

狀態(tài)轉移概率矩為

運用編制粒子群算法程序，進行全局搜索，以找到最佳的白化系數(shù)，計算結果為

λ1=0.015 4，λ2=0.142 0，

λ3=0.327 8，λ4=0.988 4

根據(jù)式(12)，得到：z1=-741.90、z2=-109.34、z3=480.34、z4=726.15.根據(jù)式(9)計算得到SARIMA-Markov模型的預測值，見表9和圖2.

表9 SARIMA-Markov模型預測值及殘差序列統(tǒng)計表 艘·次

圖2 SARIMA-Markov模型擬合示意圖

由圖2可知，觀察兩種模型的擬合曲線，SARIMA-Markov模型的擬合效果要優(yōu)于SARIMA模型.

2.2.3模型驗證

為對所建模型的預測精度進行驗證，擬運用構建好的模型對赤壁長江公路大橋斷面2016年1—6月的月度標準船舶交通流量進行預測.

以第37、38組數(shù)據(jù)為例，運用軟件，計算SARIMA(3,1,0)(1,1,1)12模型2016年1月、2月的預測值為6 015,4 213/(艘·次)，然后根據(jù)式(8)～(9)計算得到第36組數(shù)據(jù)轉移到37、38組數(shù)據(jù)的1步、2步狀態(tài)轉移概率矩陣，結果為

第36組數(shù)據(jù)處于E4，得到第37組數(shù)據(jù)的預測值為：5 800/(艘次)，38組數(shù)據(jù)的預測值為：6 009/艘次.

同理可得到后面幾個月的預測值，結果見表10.

表10 預測結果統(tǒng)計表 艘·次

本文擬采用平均絕對誤差、平均絕對百分誤差對模型擬合效果進行評價，見表11.優(yōu)化后模型的兩項指標均小于優(yōu)化前，SARIMA-Markov模型的擬合精度達到了92.0849%，優(yōu)于SARIMA模型84.755 2%的擬合精度.SARIMA-Markov模型預測精度為95.786 1%，優(yōu)于單純利用SARIMA模型87.445 4%的預測精度，SARIMA-Markov模型預測精度較高，滿足要求.

表11 模型檢驗表

3 結 論

1) 將SARIMA-Markov模型應用到月度船舶交通流量預測，樣本數(shù)據(jù)為經(jīng)過加權后的標準船舶交通流量.該模型綜合考慮了SARIMA模型對月度船舶交通流量季節(jié)相關性的表達，Markov模型運用殘差序列、狀態(tài)劃分、狀態(tài)轉移矩陣等方法處理樣本近期狀況對預測值的影響，并運用具有全局搜索能力的粒子群算法求取模型中的最佳白化系數(shù)，為船舶交通流量預測提供了新方法.

2) 本文模型與單純利用SARIMA模型相比，能確保更高精度的預測結果，驗證了該模型的科學性、可行性.

3) 對于該模型的可推廣性及最佳狀態(tài)劃分方案等，在后續(xù)的研究工作仍有待進一步完善.

4) 預測結果可為港口水域的合理布局、水上智能交通系統(tǒng)、海事主管機關等提供基礎性數(shù)據(jù)，該方法對受季節(jié)性影響的港口、航道等水域船舶交通流量預測也有很好的借鑒意義.