壓電微定位系統自適應魯棒有限時間跟蹤控制

康升征 吳洪濤 楊小龍 李 耀 程世利

(1.南京航空航天大學機電學院， 南京 210016； 2.鹽城工學院汽車工程學院， 鹽城 224000)

0 引言

隨著生產制造及設備高精度需求的快速增長，微/納技術得到迅猛發展。壓電微定位系統(Piezoelectric micropositioning systems, PMS)作為這一領域的典型代表，因其結構緊湊、響應速度快、輸出力大、分辨率高等優勢，被廣泛應用于超高精密定位行業中，如掃描探針顯微鏡、生物細胞操作、微機電系統組裝等[1-2]。然而，由于PMS固有的遲滯、蠕變等非線性不確定因素的存在，若不加以控制，則會產生嚴重的開環定位誤差[3-6]。

為了提高系統定位精度，無需建立遲滯模型的遲滯補償控制方法引起廣泛關注，如自抗擾控制[7]、滑模控制[8-14]、迭代控制[15]、模型參考自適應控制[16]等。上述方法一般將遲滯視為未建模不確定量或擾動項，然后構建一個魯棒控制器進行補償，從而避免遲滯辨識及求逆的復雜過程。在這些魯棒控制方法中，滑模控制因其具有簡單以及強大的處理不確定問題的能力而備受青睞[8-12]。文獻[8-12]滑模控制策略中滑模面均是線性的，無法保證有限時間收斂。針對這一缺點并考慮到傳統滑模控制依賴系統不確定量邊界信息的不足，文獻[13]設計了連續積分型三階終端滑模控制律，并利用擾動估計(Perturbation estimation, PE)技術實現在線估計系統遲滯、外界擾動等不確定量。文獻[14]同樣基于PE技術設計了快速、無奇異終端滑模(Fast nonsingular terminal sliding mode, FNTSM)控制律。然而，在實際過程中，由于只有位置信息是可測的，而PE技術需要設計額外的狀態觀測器來實現全狀態反饋，這樣會增大控制器的復雜性。

鑒于FNTSM控制具有連續、無奇異、有限時間收斂特性，以及函數逼近(Function approximation, FA)技術無需全狀態反饋且具有確定性及最小均方逼近[17]優勢，本文將FA技術與FNTSM控制相結合，并引入具有結構簡單、無需模型、可在線學習的模糊邏輯系統(Fuzzy logic system, FLS)作為補償器。另外，利用Lyapunov函數設計自適應律，并證明閉環系統的穩定性。最后，通過仿真與實驗驗證該控制器的魯棒性及有效性。

1 問題陳述

1.1 系統描述

一類含有非線性遲滯的二階PMS的動力學模型可描述為[18]

(1)

(2)

式中m——等效質量c——等效阻尼系數

k——等效剛度x——系統輸出位移

u——輸入電壓τ——壓電系數

h——遲滯變量

ζi——遲滯環形狀的參數(i=1,2,3)

fd——未知但有界的外部擾動

此外，由于在實際的PMS中，模型參數可能會隨操作環境的變化而變化，因此需考慮參數的不確定性。假設參數m、c、k、τ可表示成名義項及不確定項兩部分，分別為m0+Δm、c0+Δc、k0+Δk、τ0+Δτ。因此，動力學模型(1)可重新描述為

(3)

式中Fd——包括外界擾動、遲滯及未建模項在內總的系統不確定量

且滿足如下假設：

根據方程(2)所描述的遲滯數學模型，若選取表1中所給定的系統參數值，以及輸入電壓信號

u(t)=5e-0.1t[sin(6πte-0.346t-1.5)+1]

則可得到如圖1所示的遲滯效應曲線。從圖1可以看出，PMS在開環情況下表現出強非線性，且隨著控制輸入電壓頻率的增大而越嚴重，影響了其精密定位性能。為了消除這一非線性遲滯，本文采用一種基于FA的自適應魯棒有限時間控制策略來提高系統精密運動控制性能。

表1 仿真參數 Tab.1 Parameters of simulation

圖1 PMS輸入電壓與輸出位移的遲滯效應 Fig.1 Hysteresis effect between input voltage and output displacement of PMS

1.2 基于傅里葉級數的FA技術

對于任意分段連續的函數f(t)，如滿足Dirichlet條件，則可以用定義在區間[0,Tf]上的廣義傅里葉級數展開形式表示

(4)

其中ωi=2iπ/Tf(i∈N)

式中ωi——正弦函數的頻率

a0、ai、bi——傅里葉系數

定義

z(t)= [1cos(ω1t)sin(ω1t)…cos(ωNt)sin(ωNt)]T

(5)

w=[a0a1b1…aNbN]T

(6)

(7)

則式(4)可改寫為

f(t)=wTz(t)+ε(t)

(8)

式中z(t)——正交基函數矢量

w——權系數矢量

ε(t)——估計誤差

當N→∞時，誤差ε(t)→0，因此只要N取足夠大，f(t)可以近似表示為

f(t)?wTz(t)

(9)

且估計誤差滿足

(10)

無論函數f(t)屬于周期還是非周期函數，只要選擇一個足夠大的Tf，均能展開成式(4)的形式，并且當N取足夠大時，也能夠利用式(9)來估計該函數[17]。

采用式(9)來估計系統不確定量的優點在于它將未知的時變函數轉換為時變的基函數矢量z(t)和常數矢量w。而根據式(5)、(6)中的定義，z(t)是已知的而w是未知的。因此，可以通過選擇合適的Lyapunov函數獲得自適應律來在線更新未知的常數矢量w。

由式(8)可知，估計誤差ε(t)依賴于傅里葉級數的項數，且很難針對指定的精度要求進行選擇。雖然可以通過增大傅里葉級數的項數來提高估計精度，但是伴隨的計算量也會增加，因此實際估計過程中傅里葉級數項數是有限的，且誤差總是存在的，為了減小估計的誤差，需設計補償器。為此，本文將引入FLS來作為補償器，以提高系統的魯棒性。

1.3 模糊邏輯系統

用來補償估計誤差的FLS的規則庫可看成是從輸入變量χ=[χ1χ2…χn]T∈Rn到輸出變量ε∈R之間的映射，本文采用多輸入單輸出的IF-THEN規則，第j條模糊規則形式可表示為

(11)

(12)

式中nr——模糊規則數

θε——可調節參數矢量

ψε——模糊基矢量

(13)

2 控制器設計

本文的控制目標為設計一種非線性魯棒控制器，即使在PMS存在非線性遲滯及外界擾動等時變不確定情況下，也能使輸出位移精確地跟蹤期望位移軌跡。為此，定義位移跟蹤誤差

e=xr-x

(14)

式中xr——期望位移

假設2：期望位移xr為已知有界的時間函數，且二階可微。

為了保證PMS快速精確地位置跟蹤，定義連續無奇異終端滑模面[21]

(15)

式中：β>0，1<γ<2，符號sig(x)a=|x|asign(x)用來簡化表達式。對于任意給定的初始條件，式(15)可在有限時間內收斂于平衡點，穩定時間為

(16)

對式(15)關于時間求導，可得

(17)

忽略外界擾動及系統不確定量，將式(3)代入式(17)可得等效控制輸入為

(18)

同樣，為了消除控制抖振并實現快速連續的控制，選擇如下快速終端滑模型趨近律[21]

(19)

式中：k1、k2>0，0

(20)

根據滑模等效控制原理，傳統的FNTSM控制律可設計為

u=ueq+ure

(21)

鑒于傳統的FNTSM依賴于Fd邊界信息的不足，有必要對其進行估計。為此，本文將采用傅里葉級數進行動態逼近，并針對其逼近誤差，再利用模糊邏輯系統實現在線補償。根據上節的分析，可利用式(9)來逼近未知項，并針對估計的誤差，由式(11)進行補償，于是有

Fd=wTz

(22)

(23)

為了實現在線估計PMS的時變非線性函數Fd，避免反復試湊來選擇估計函數，需要設計自適應律來調節式(23)中的傅里葉級數的系數以及FLS的調節參數矢量θε。因此，根據Lyapunov穩定原理設計了自適應律

(24)

(25)

式中：η1、η2>0。結合式(23)、(21)，于是可得到改進的FNTSM控制律

(26)

其中，ueq、d分別由式(18)、(23)給定。從式(26)可以看出，由于1<γ<2，0

圖2 PMS控制器結構框圖 Fig.2 Controller structure diagram of PMS

3 穩定性分析

引理1：若存在Lyapunov函數V(x)滿足一階非線性微分不等式

(27)

式中：α、ρ>0且0<λ<1，那么對于任意給定的初始條件V0=V(x(0))，穩定時間為[19]

(28)

|e|≤2Δ=2min(Δ1,Δ2)

(29)

(30)

其中Δ1=|d-Fd|/k1Δ2=(|d-Fd|/k2)1/p

證明：定義Lyapunov函數

(31)

其關于時間的導數為

(32)

將式(3)代入式(17)中，并結合式(22)、(26)整理后得到

(33)

再將式(33)代入式(32)中整理后可得

(34)

為了推導出式(34)滿足引理1中有限時間穩定條件，將其改寫為

(35)

(36)

(37)

(38)

綜合式(37)、(38)的結果，滑模面可在有限時間收斂到區域

|s|≤Δ=min(Δ1,Δ2)

(39)

為了證明跟蹤誤差及其速度收斂區間，將滑模面(15)改寫成

(40)

(41)

(42)

至此，完成了定理1的證明。

根據定理1的結論可知，若Fd=d，則跟蹤誤差e及其速度理論上可在有限時間內收斂于零。即使實際中存在估計誤差，通過將FA與FLS相結合的方式也能保證跟蹤誤差收斂到極小區域內。

由式(19)、(29)可知，選取的參數k1、k2越大，系統的收斂速率越快，且跟蹤誤差也越小。然而，增大k1、k2也會造成控制輸入加大，導致實際中難以實現，另外還會產生抖振問題。因此在選擇過程中需要權衡收斂速率與控制抖振。

本文所提的控制方法是基于文獻[10]與文獻[14]方法的改進。對比文獻[10]提出的基于FA的自適應模糊滑模(Adaptive fuzzy sliding mode with FA, AFSMFA)控制，本文方法通過引入快速無奇異連續的終端滑模面，能夠保證跟蹤誤差有限時間收斂于任意小區域內，且無抖振；而相比文獻[14]基于PE技術的FNTSM控制，本文方法通過FA與FLS在線估計并補償系統遲滯及外界擾動，不僅克服了FNTSM控制依賴系統不確定量邊界信息的不足，且無需全狀態反饋。

4 仿真

為了驗證所設計控制器的有效性與優越性，對PMS精密定位控制進行了仿真研究，并分別對比了FNTSM及AFSMFA控制方法。其中FNTSM控制律與式(21)相同，AFSMFA的控制律為

(43)

式中λ1、λ2>0，其他參數均與本文所提控制器相同，以便于比較；sat(s/δ)為飽和函數，其邊界層厚度為δ>0。

由于多頻正弦信號在PMS中常用來作為跟蹤均勻或非均勻曲面輪廓形狀的參考信號[22]，因此本文也選用該信號來驗證所提控制器的跟蹤性能。假設期望參考信號為

xr=40-10cos(2πt)-10cos(20πt)- 10cos(80πt)-10cos(160πt)

考慮到實際控制過程中，理想的跟蹤性能一般都會受到高頻測量噪聲、外界擾動等影響，因此施加了時變干擾信號為fd=sin(200πt)+0.5rand，其中rand為區間[0,1]上的均勻分布隨機數。各控制器參數選擇如表2所示，其中相同的控制參數取值一致以便于比較。此外，為了衡量各控制器的性能，本文選用均方根誤差(Root-mean-square error, RMSE)及最大誤差(Maximum error, ME)作為評價指標，分別定義為

(44)

ME=max(|xri-xi|)

(45)

式中N——采樣點數

xri、xi——第i個采樣點的期望值與實際值

表2 控制器參數設計 Tab.2 Parameter design of controllers

根據上述仿真參數，可得到如圖3～6所示仿真結果。由圖3、4可看出，雖然3種控制器均能精確地跟蹤參考信號，但是相比其他2種控制器，所提控制器的跟蹤誤差邊界更小，其ME為0.25 μm，僅為參考幅值的0.5%。此外，由圖5可知，在保證控制精度要求下，相比FNTSM控制，本文控制輸入電壓幅值更小，這是由于FNTSM的控制律依賴于系統不確定量邊界信息，所選取的參數值存在過估計問題，導致輸入電壓增大；而對比AFSMFA控制，本文控制輸入電壓更光滑、無抖振，究其原因在于AFSMFA的控制律采用飽和函數作為趨近律，較小的邊界層厚度雖然能提高控制精度，但相應也會造成抖振。圖6為系統不確定量的估計誤差，可以發現采用FA與FLS結合的方法相比于FA而言估計誤差更小，這也正好驗證了前文的理論分析結果。

圖3 多頻正弦軌跡跟蹤結果 Fig.3 Multi-frequency sinusoidal tracking result

圖4 軌跡跟蹤誤差曲線 Fig.4 Trajectory tracking error curves

圖5 控制輸入電壓曲線 Fig.5 Control input voltage curves

圖6 系統不確定量估計誤差曲線 Fig.6 Estimation error curves of system uncertainties

為了進一步測試所提控制器的抗沖擊性能，在相同期望參考信號下對PMS施加一個初始位移為50 μm的沖擊擾動，仿真結果如圖7所示。從圖7可以看到，所提控制器穩定時間僅需要5 ms，跟蹤誤差即可收斂到0.27 μm內。相比之下，雖然FNTSM控制器穩定時間較所提控制器略短為4.8 ms，但跟蹤誤差收斂區間更大，達到4.3 μm；而AFSMFA控制器需要最長的時間18.5 ms才能穩定到2.54 μm，這是由于其采用線性滑模面，為漸進收斂，因而收斂速度更慢。雖然增大控制參數值可以減小誤差邊界并且提高收斂速度，但也會造成明顯地抖振。

圖7 沖擊擾動下的軌跡跟蹤誤差曲線 Fig.7 Tracking error curves under impact disturbance

表3為上述2種測試條件下控制器的性能對比，可以看出所提控制器跟蹤精度更高、抗干擾性能更強、響應速度更快。

表3 控制器性能對比 Tab.3 Performance comparison of controllers

5 實驗驗證

為進一步說明所提控制器在實際PMS應用中的有效性，本文在基于Matlab/Simulink/xPC目標環境下，構建了以堆疊式壓電作動器為實驗對象的半物理實時仿真系統，實驗設備如圖8所示。同樣分別與FNTSM及AFSMFA控制方法進行了對比。采樣頻率設置為10 kHz，各控制器參數按表2中仿真參數值進行實驗。實驗中，分別令3種控制器跟蹤頻率為0.5 Hz、幅值為10 μm的正弦及三角信號，跟蹤控制結果如圖9所示，各控制器跟蹤性能如表4所示。

圖8 實驗裝置 Fig.8 Experimental setup

由圖9以及表4中可得，無論是對于正弦信號，還是不連續的三角信號，本文所提方法均能夠實現最佳跟蹤性能；相比之下，FNTSM控制方法跟蹤誤差最大，而AFSMFA控制的輸入電壓不光滑、抖振較為嚴重。上述結果與仿真結果是一致的，說明了本文方法是有效的。

圖9 跟蹤性能 Fig.9 Tracking performance

μm

雖然相比FNTSM和AFSMFA控制方法，本文方法的優勢是明顯的，但需要注意的是，所設計控制器的跟蹤性能會受到如下限制：① 傅里葉級數項數的選擇需要權衡計算復雜度和估計精度，以便更好地進行實時控制。② 模糊規則及隸屬度函數的設計依賴于設計者的經驗知識。③ 控制參數k1、k2的選取需要綜合考慮控制抖振和跟蹤誤差。

對于前兩個限制，目前還沒有明確方法，只能通過試錯法找到最佳性能的參數；而對于第3個限制，雖然所提方法本質上是無抖振的，但對于高速及嚴重的時變不確定情況而言會有輕微的抖振現象，一種原因可能是采用常數控制增益難以實時平衡控制抖振和跟蹤誤差，因此可考慮利用自適應律來在線調節控制增益以獲得更佳的跟蹤性能。

6 結束語

針對PMS中普遍存在的外界擾動、遲滯等非線性、時變不確定問題，提出了一種由FNTSM控制器、函數估計器及模糊補償器構成的魯棒控制器。該控制器基于Lyapunov穩定原理，設計了傅里葉系數及模糊調節參數的自適應律，并實現了系統不確定量的在線估計和補償。該控制器不僅保證了跟蹤誤差有限時間快速收斂，而且無需系統不確定邊界信息。此外，該控制器的控制輸入律本身是連續、非奇異的，因而抑制了控制抖振產生。在仿真及實驗中，分別進行了軌跡跟蹤及抗沖擊性能測試，對比了AFSMFA和FNTSM方法，結果表明，本文方法可實現最佳跟蹤性能。