立足基礎 關注能力 引導教學*
——淺談2018年南京中考數學試題

☉江 南 大 學 附 屬 實 驗 中 學 龐彥福

☉江蘇省無錫市東絳實驗學校（中學部） 陳秋曉

☉山 東 省 肥 城 市 龍 山 中 學 李洪濤

一、試卷的整體情況分析

數學教育教學的目的是使學生掌握必要的數學知識，體悟數學學習過程中的基本思想方法，提升數學能力，增長數學智慧.中考是檢測學生幾年來在數學學習中獲得的知識、能力與智慧，以及學生對數學的理解力、運用力及學習力的有效手段.2018年南京數學中考試題遵循《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》的基本要求，體現《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的基本理念，充分考查了學生的基礎知識和基本技能，注重對學生的數學思想方法、創新意識與實踐能力的考查.將數學能力的考查落實在學生層面上體現了“算”與“證”的本質.當然試卷上的“算”并不是死算，而需要有“運”的過程、“計”的方法；“證”是推理，是尋道，是發現.全卷采取多題把關、多題壓軸，而且把關的大題切入點適宜，信度、效度、梯度合理，制高點具有挑戰性，設問角度新，思辨空間靈動且豐富，能激發學生的好奇心和探究欲，學生的解答過程能夠體現出不同層次的數學品質、素養和習慣，具有很好的效度和區分度.同時試題在堅守近幾年的命題風格基礎上，進行了適度的發展與創新，對知識和能力實現了寬視野、多角度、多層次考查，既考查了初中畢業生學習數學、認識數學的整體理解力，也考查了學生對所掌握基本知識的運用力、思維力，同時又兼顧了高中階段選拔需要的可持續發展力.在“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”等板塊設置合理，而且能夠將“綜合與實踐”內容有機融入其中，把“四基”作為命題的重點，從知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個維度進行考查.不像有的試題命制風格是前半部分“送分”后半部分“送命”！整份試卷立意求新，層次分明，亮點紛呈，考查知識覆蓋面廣，是一份質量較高的考查數學能力的試卷.

表1 試卷考查的知識點分布

二、典型試題賞析

1.低起點，易上手，立足基礎

初中階段數學中的核心知識點是形成數學能力的重要載體和抓手.對學生數學學習的考核與評價首先體現在基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗四個方面，注重知識的直接應用.試卷中基礎題占的比重較大，約為總量的70%.即使是后面的大題對大部分學生來說還是比較容易上手的.

例1 （第26題）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE.過點A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經過點C、D、F，與AD相交于點G.

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE=1，求⊙O的半徑.

圖1

賞析：觀察圖形，對于第（1）問，學生容易上手，先根據“圓內接四邊形對角互補”得∠FGD+∠FCD=180°，又由∠FGD+∠AGF=180°，得出∠FCD=∠AGF.再利用“同角的余角相等”得到∠FDC=∠FAG.根據“兩角對應相等的兩個三角形相似”證得△AFG∽△DFC顯得自然合理.盡管是次壓軸題，該問絕大多數學生能夠拿到分數.第（2）問要求⊙O的半徑，如何獲得解題思路呢？其實方法較多，現舉出兩種解題思路.

圖2

思路二：連接GC，先規避繁瑣的運算過程.由“90°的圓周角所對的弦是直徑”，可知CG為⊙O的直徑，要求半徑，只要求出直徑CG即可.在Rt△GDC中，已有CD為4，若能出現AG=AE=1，則問題解決.利用（1）△AFG∽△DFC，可得.又易證△AEF∽△DAF（當然也可證明△EDA∽△ADF），則，這樣就由AD=DC，得出AG=AE，從而問題得到解決.

解決第（2）問的思路二減少了復雜的運算，但對學生的邏輯推理能力有了更高的要求，這樣證明線段相等的思路也是常見的.該題綜合考察圓、相似三角形的有關知識.從題目呈現的結構特點看，第（1）問是解決第（2）的基礎、“梯子”.有了這樣的“梯子”或鋪墊就容易拾級而上.

2.高觀點，重核心，突出主干

主干知識是中考命題者青睞的對象，在數學的核心知識的交匯處命題，有利于考查學生的數學素養及探究能力，有助于從知識考查走向能力立意.

例2 （第20題）如圖3，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD.求證：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四邊形OBCD是菱形.

賞析：識別角的關系、識別特殊平行四邊形（菱形），是初中數學的核心知識點，是重要內容.第（1）問，證明兩個角相等，結合已知條件中的“∠C=2∠BAD”，可轉化至證∠BOD=2∠BAD即可.

如何證明呢？方法是不唯一的.

思路一：題中“OA=OB=OD”屬于“定點定長型”，易想到構造圓.點A、B、D是在以點O為圓心、OA為半徑的“隱圓”上，如圖4.根據“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”即可得到∠BOD=2∠BAD.

思路二：若“心中無圓”，依然容易想到：作AO的延長線OE，如圖5.由“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，不難得到∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO，從而證明出∠BOD=2∠BAD，于是問題得到解決.

圖3

圖4

圖5

圖6

第（2）問證明四邊形OBCD是菱形.根據菱形的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.因此，證法1：連接OC，如圖6，先證△BOC≌△DOC，得到∠BOC=∠DOC、∠BCO=∠DCO.再根據（1）∠BOD=∠BCD，可得∠BOC=∠DOC=∠BCO=∠DCO.從而得到OB=BC=CD=DO，實現由“四邊形”到“菱形”的證明.證法2：若連接OC、BD，由“OB=OD、CB=CD”得OC是BD的垂直平分線，根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，從而可以證明.這一過程中，容易忽略是沒有先證明出“四邊形OBCD是平行四邊形”，這是推理過程中不完備的地方.其實，菱形的定義也是識別菱形的方法，“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，因此，還可運用證法3：先證四邊形OBCD是平行四邊形，再找出一組鄰邊相等.

題目解答方法越多，學生答題時選擇的余地就較大，從而就越能考查出學生思維能力、理解能力、思辨能力以及運用數學知識解決問題的能力.

3.識圖形，重關聯，彰顯本質

選拔性考試離不開一定量的難題來實現區分，考試中的所謂難題，目的是將不同層次的學生區分開來.這樣的題目在命制和設置的過程中，或是綜合性較強，或是運用的知識點較多，或是需要深度的思考與理解.

例3 （第16題）如圖7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD為直徑作⊙O.將矩形ABCD繞點C旋轉，使所得矩形A′B′C′D′的邊A′B′與⊙O相切，切點為E，邊CD′與⊙O相交于點F，則CF的長為______.

圖7

圖8

賞析：求圓中的一條弦長，從題目到圖形，構圖自然、妥帖，為學生所熟悉，考查學生對基本圖形的識別和邏輯推理能力.多數學生可能會想到平時學習中常用的解題策略，譬如構造“垂徑三角形”.如何構造呢？由條件“相切”自然而然聯想到“垂直”，是一種常用的切入方法.連接OE并反向延長交CD′于G，如圖8，便可構造出所需要的目標三角形Rt△OGC.由旋轉性質可知，CB′=CB=4=EG，由半徑OE=OC=CD=，進而求得OG=，再根據勾股定理得出GC=2，然后根據垂徑定理求得CF=2CG=4，即為答案.

此題以幾何圖形的運動——旋轉變換為載體，結合矩形、圓和直角三角形，利用幾何知識進行推算.作為填空題的壓軸題，也是客觀題的壓軸題，在計算并不復雜的前提下，覆蓋知識廣泛，較好地考查了學生的綜合能力.圖形變換的方法，融入數學核心思想方法，突出考查學生的思維過程和數學素養，這種理念與PISA測試的基本思想相吻合.

4.從方程，至函數，厘清推算

方程、函數是刻畫現實世界數量關系的有效模型，學習方程、函數，就要會探索簡單實例中的數量關系和變化規律，能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析，用適當的函數表示法（包括圖像）刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行合理討論，從定性分析到定量刻畫.

例4 （第24題）已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）.

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點；

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

這個試題立意新穎，構思巧妙，極富創意，蘊含著豐富的數學內涵和思想方法，考查了學生對信息的提取與處理能力、問題的探索與分析能力、模型的建立與選擇能力，考查學生對函數本質的理解水平，同時能很好地考查出學生的數學素養和數學基本功.

5.探與思，理中運，孕育過程

《標準》指出：數學課程內容“不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法”.數學學習過程是學生在特定的數學目標的指引下，進行數學探究和發現活動的過程.

例5 （第27題）結果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目：如圖9，Rt△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積.

解：設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x.

根據切線長定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根據勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2.

整理，得x2+7x=12.

圖9

小穎發現“12”恰好就是“3×4”，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎？

請你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內切圓與AB相切于點D，AD=m，BD=n.

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過來思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求證∠C=90°.

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積.

賞析：該題考法新穎，貼合學生數學學習的已有經驗，考查學生數學學習力，需要學生具有閱讀理解能力、遷移能力和創新能力，旨在引導學生主動探究的學習方式，促進學生終生學習能力的發展.第（1）問，特殊問題一般化，不僅能使命題的結構和規律更為清晰，同時又是下面問題的“藥引”，肯學習的學生是不難上手的.第（2）問，逆向思考，引導學生合理思辨，探究逆命題的正確性，會學習的學生是能夠嘗試的.第（3）問，是前兩問的升華，既要通過前兩問獲得猜想結果，又要找出問題的突破口和切入點，善于學習的學生是可以乘勝追擊的.通過“問題一般化”“倒過來思考”“條件變式”來完成課題學習.公平合理地考查學生的現場學習能力，引導學生學會解題后的反思，不斷積累學習和解題的經驗.“授人以魚，不如授人以漁”，學生在自主學習“方法示范”的基礎上，為解題打開思路.解題的過程就是問題轉化的過程.

三、教學建議

1.注重基礎，凸顯數學理解力

學習數學重在理解，理解就必須打好基礎.譬如運算往往是許多學生考試中的“關”和“坎”.基礎的是基本的、重要的，教與學只有立足基礎、夯實基礎，才能循序漸進，不斷進步與提高.即使是課外拓展與延伸也往往是功在課內，問題在課外，題根在課內.教學中，要特別關注培養和發展學生學習數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.教學中不能忽略了代數的變形、推算，要夯實運算“童子功”；厘清幾何的推證與邏輯關系，要強化推理“命根子”.

2.關注過程，體現數學運用力

讓學生體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.數學思想方法是數學的精髓和靈魂，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，要在平時的教學中逐步滲透，而且讓學生多加體悟，要能夠應用到數學學習和問題解決中，在學習中反思，在反思中改進，在學習和應用的過程中不斷積累進一步學習的經驗.

3.回歸本質，彰顯數學學習力

學習數學不能單純依賴記憶與模仿，而需要感悟與思考.注重培養學生的探究能力.重視概念、方法的形成過程，使學生在參與數學活動的過程中理解、鞏固、應用和拓展新知，數學素養是一種個人能力，主要體現為“理解數學、運用數學、創新數學”的數學能力.學會用數學的眼光觀察現實世界（數學抽象、直觀想象）、會用數學的思維思考現實世界（邏輯推理、數學運算）、會用數學的語言表達現實世界（數學建模、數據分析），教學中讓學生經歷知識的建構過程，突出對數學本質的認識和理解，讓學生學會探究，讓學生成為善于發現的智慧人.

4.固化知識，提升學生解題力

通過不斷思考，讓學生在掌握所學知識技能的同時，感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗.關注學生的合理解題、快速解題.解題教學中要關注學生是怎樣獲得解題思路的，關注學科本質，注重通性通法.通過解題把握數學本質，體會隱含在其中的數學思想方法，感悟數學的認知結構.解題教學不能以題論題，要培養學生的問題意識，要以知識為載體培養和發展學生數學學習的能力與潛力，以提升學生數學綜合素養.