“圓的切線方程”教學節錄及反思

一、教學節錄

1.在問題求解中培養思維能力。

師：請大家證明下列例題：已知圓C的方程是 x2＋y2＝r2，求證：經過圓 C 上一點 M（x0，y0）的切線方程是x0x＋y0y＝r2。（蘇教版高中數學必修2第117頁習題第11題）

（給學生思考的時間，先由學生獨立思考，再相互交流。）

師：請大家思考一下，這位同學的證明是否正確？

生2：我認為他的證明不夠嚴謹，對y0是否為零沒有進行分類討論。他證明的只是y0≠0時的結論，還要考慮到當y0＝0時情形：當y0＝0 時，x0＝r或 x0＝－r。當 x0＝r時，切線方程為 x＝r，滿足方程 x0x＋y0y＝r2；同樣地，當 x0＝－r時，切線方程也滿足這個方程。

師：那么，我有一個疑問，大家都用這種方法來證明的嗎？

生3：我是用向量來證明的。我覺得利用向量解決兩條直線的垂直關系更加簡便。因為可以通過向量的點乘積為零，來回避討論直線l的率中的分母y0為零的情形。證明方法如下：設P（x，y）是切線上的任意一點，則OM⊥MP，即（x0，y0）·（x－x0，y－y0）＝0，化簡，得x0x＋y0y＝r2。所以，點 M（x0，y0）的切線方程是x0x＋y0y＝r2。

師：他說得很好！不僅用向量方法解決了問題，還說明了為什么利用向量來解決問題。今后，在解決直線垂直關系的問題時，大家應當考慮利用向量這一工具來解決，避免不必要的討論。

2.在解題反思中自主提出問題。

師：大家剛才很好地證明了這個問題，受這個問題啟發，你還能提出哪些問題？

（在學生經歷思考提出問題的基礎上，對同類問題進行整理，得到了以下5個探究問題。）

［探究 1］已知點 M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一點，求經過點M的圓C的切線方程。

［探究 2］已知點 M（x0，y0）是圓 C：x2＋y2＝r2外一點，求方程x0x＋y0y＝r2所表示的幾何意義。

［探究 3］已知點 M（x0，y0）是 C：x2＋y2＝r2內一點，求方程x0x＋y0y＝r2所表示的幾何意義。

［探究 4］已知點 M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一點，求方程（x－a）（x0－a）＋（y－b）（y0－a）＝r2所表示的幾何意義。

［探究 5］已知點 M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2內一點，求方程（x－a）（x0－a）＋（y－b）（y0－a）＝r2所表示的幾何意義。

3.在探究活動中發展創造潛能。

師：我們下面來解決大家所提出的問題。首先，探究1大家會解決嗎？

生4：可以用類似于解決前面例1的方法。

師：對的！下面請同學們重點思考探究2。請大家先獨立思考，然后再相互交流。

（讓學生開展自主探究活動，然后再在相應的小組內進行交流，最后請學生在班級進行交流。）

生 5：我們發現，當點 M（x0，y0）是圓 C：x2＋y2＝r2外一點時，由點M能夠向圓C引兩條直線 MA，MB（A，B 為切點），方程 x0x＋y0y＝r2就表示直線AB。

師：是這樣嗎？你是怎樣得到的呢？

［證法 1］生 6：如圖 1，設 A（x1，y1），B（x2，y2），由例題可知，直線 AM：x1x＋y1y＝r2，直線BM：x2x＋y2y＝r2，因為點 M（x0，y0）都在兩直線AM 和 BM 上，所以 x1x0＋y1y0＝r2①；x2x0＋y2y0＝r2②。由方程①、②分別可知，點A，B在直線x0x＋y0y＝r2上。又因為兩點確定一條直線，所以直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

師：很好！這位同學從已有的結論出發，經過嚴格的推理論證，得到了結論。我們在解決數學問題時，要善于從已有的結論出發，去解決新的問題。

師：還有其他不同的證明方法嗎？

（在隨后的課堂交流環節，其他學生又給出了如下4種證明方法）

圖1

［證法 2］如圖 1，連接 OA，OM，AM，設 A（x1，y1）。因為 OM⊥AB，所以為直線AB的法向量，于是可設直線AB：x0x＋y0y＋c＝0 ①。因為點A在直線AB上，所以x0x1＋y0y1＋c＝0 ②。又由AM是圓C在點A處的切線，得 OA⊥AM，所以 OA2＋AM2＝OM2，即 x12＋y12＋（x0－x1）2＋（y0－y1）2＝x02＋y02，即 x0x1＋y0y1=x12＋y12，又 x12＋y12＝r2，所以 x0x1＋y0y1=r2③。把③代入②，得 c＝－r2，再將上式代入①，得直線AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 3］設 A（x1，y1）。連接 OM，以 O 為圓心、OM為半徑作圓，則M點在該圓上，以M點為切點作該圓的切線l，則切線l：x0x＋y0y＝OM2。因為 OM⊥AB 且 OM⊥l，所以，AB∥l，于是可設直線 AB：x0x＋y0y＋c＝0，因為點 A 在直線AB 上，所以 x0x1＋y0y1＋c＝0 ①。

因為直線 AM：x1x＋y1y＝r2，且點 M 在直線AM 上，所以 x1x0＋y1y0＝r2②。

由①②可得 c＝－r2，所以直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 4］如圖 2，連接 OA，OM，AM，AB，在直線AB上任取一點 Q（x，y），連OQ。設AB 交OM于點T。因為OM⊥AB于點T，所以由射影定理，得又因為由①②可知，直線AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 5］如圖 2，設 A（x1，y1）。連接 OA，OM，AM。在直線 AB 上任取一點 Q（x，y），連OQ。因為OM⊥AB，所以即（x－x1，y－y1）·（x0，y0）＝x0x-x0x1+y0y-y0y1＝0，所以 x0x＋y0y＝x0x1＋y0y1①。已知直線 AM：x1x＋y1y＝r2，且點M在直線AM上，所以x1x0＋y1y0＝r2②。由①②可得，直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

圖2

師：大家表現得很棒！分別從不同的角度給出了上面5種不同的證法，很有創造性。

4.在課后探究中形成探究意識。

師：這一節課，同學們不僅解決了教材上已有的習題（例題），還從這個問題出發，提出了新的問題，并且非常成功地完成了探究2，請大家課后繼續完成其他的幾個探究。

二、教學反思

1.給學生發現問題、提出問題的機會。

發現并提出有意義的數學問題，既是開展數學探究活動的前提，也是培養學生創新精神的關鍵。本節課，在完成例題之后，讓學生從已有的問題出發，提出新的問題，學生從不同的角度（圓的方程不同形式、定點M相對于已知圓的不同位置），提出了5個有價值的探究主題。如果教師不給學生機會，將會很難預料到學生會有這樣的能力。因此，在教學中，一定要給學生發現問題、提出問題的機會，培養他們的質疑精神。

2.讓學生在探究活動中形成探究意識。

本節課的每一個教學環節，都堅持讓學生開展探究，讓學生運用已有的知識和方法解決問題。首先，讓學生解決例題；在完成例題之后，讓學生去發現問題、提出問題，確立新的探究主題；在此之后，又確立新的探究主題（探究2），讓學生開展探究活動，學生從不同的角度對問題展開探究，得到了5種證明方法。通過探究活動，不僅充分調動了學生主動運用已有的知識和方法解決新的問題的積極性，而且還培養了學生靈活地運用知識、選擇合理的方法解決問題的能力，在解決問題的同時，培養了學生的探究能力與創新意識；最后，還將剩余的幾個探究主題作為課后作業，讓學生開展探究。通過這樣一系列的教學設計，在培養學生的探究能力的同時，培養學生的探究意識，形成良好的探究習慣。

3.使學生通過探究從整體上理解數學。

本節課，由教材的一道習題（例題）出發，通過這一系列的數學探究活動，讓學生對圓的切線有了全面而又深刻的認識。需要說明的是：在課后作業環節，對于探究3，學生們不僅基本上得到并證明了“直線x0x＋y0y＝r2與圓相離”這一結論，而且，還有將近三分之一的學生得到并證明了“圓的半徑r是線段OM的長與O到l距離的等比中項”這一結論；此外，在隨后學習圓錐曲線與直線位置關系時，還可以讓學生開展類似的數學探究活動。因此，通過這樣一系列的數學探究活動，能夠幫助學生從整體上理解數學，形成完整的知識結構，而不是“碎片化”的知識。