一種基于二階滑模控制理論的協同導引律*

崔 寧 王 博 紀 毅

1. 珠海城市職業技術學院機電工程學院，珠海 519090 2. 吉林大學珠海學院機械與汽車工程系，珠海 519041 3. 北京理工大學宇航學院，北京 100081

無人機作為新興航空器，廣泛應用于戰場監測和海關稽查、森林防火、橋梁檢修、地勢勘測、災害救援等任務中。在諸多無人機工程應用實際情景中，很多條件下單一無人機無法完成任務，如：多無人機牽引。受自身能量、載荷及其他因素限制，單一無人機承重有限，對于較重的物體，只能采用協同牽引的方式，由多個無人機一起完成。在此情況下，多無人機協同作業是一種必要的且行之有效的手段。

無人機協同導引是無人機協同作業的基礎，其基本要素為對各無人機飛行時間的規劃與控制，即各無人機在期望時刻同時飛行至既定區域，完成既定任務。如何使飛行時間收斂于期望時間，如何規劃期望飛行時間，是無人機協同制導的2個重要問題。針對以上2個問題，在已公開的文獻中已有很多研究。針對第1個問題Jeon等人[1]基于經典比例導引法設計導引律，利用最優控制理論引入剩余飛行時間估測項，通過控制剩余飛行時間估測與期望剩余飛行時間的差值實現時間的約束；Kumar等人[2]提出了較為精確的剩余飛行時間估計式，并利用經典滑動模態控制理論約束飛行時間；在此基礎上，Yang等人[3]對剩余飛行時間估計式進行簡化，建立了一種新型協同導引模型，其特點為在系統狀態方程中，各系統狀態量均對橫向飛行距離求導數，從而將已用時間以函數形式表示；Zhang等人[4]在大落角條件下，設計了飛時約束制導律等。針對第2個問題，McLain等人[5]提出了協調變量和協調函數的概念，并將其應用于多機協同、路徑歸劃和智能避障等任務中；基于此概念，Beard等人[6]設計了無人機分布式協同導引結構；在文獻[1]和[6]的基礎上，趙世鈺等人[7-8]設計了雙層協同制導結構，其特點是上層為基于協調變量與協調函數的飛時協調一致算法，下層為飛行時間約束導引律，在導引過程中，各無人機實時溝通，實時解算期望剩余飛行時間，從而實現協同導引。

設計一種通用的協同導引算法，該算法利用二階滑模控制理論，使剩余時間估計曲線在有限時間內收斂于期望剩余飛行時間曲線。在此基礎上利用文獻[7]提出的雙層協同控制結構對期望剩余飛行時間進行規劃。

1 問題提出與數學模型建立

1.1 無人機導引的物理模型與數學模型

首先考慮對單一無人機的導引律進行獨立設計，將無人機視為一質點后，在二維平面內，其物理模型如圖1所示。

圖1 無人機導引的平面物理模型

圖中，M(M0)為無人機(初始)位置，T為指定的航跡目標點，V為無人機的速度模量，A為無人機的加速度模量，r為無人機與目標航跡點的距離，λ(λ0)為(初始)視線角，γ(γ0)為(初始)速度角。

由圖1建立無人機導引的數學模型，如下式所示：

(1)

為便于后續解算，應將已用飛行時間t在數學模型中解放出來。因而，可使系統狀態量對橫向距離求導數。對任意變量ζ，有

(2)

則式(1)可改寫為

(3)

如此，數學模型建立完畢。

1.2 剩余飛行時間估計式

在無人機協同導引中，剩余飛行時間的估計至關重要，其值是否準確往往決定了協同效果是否優異。文獻[3]提出了一種較為精確的剩余飛行時間估計式

(4)

式中，σ=γ-λ，σf=γd-λ

在小角度假設條件下，式(4)略去高階無窮小項，得

(5)

式(5)對橫向距離求導可得

(6)

式(6)可改寫為

(7)

至此，得到了較為精確的剩余飛行時間估計式。

2 基于二階滑模理論的導引律

為保證飛行時間為期望飛行時間，根據滑?？刂评碚?，可設計滑模面為

s=tgo+telap-Td

(8)

式中，telap為已用時間，Td為期望總飛行時間。由上式，可設計制導律為

(9)

式中，k1>0，k2>0，p>2為制導律的設計參數。

定理1：考慮系統式(3)、剩余飛行時間估計式(5)和(7)，制導律式(9)可使滑模面在有限時間內收斂至0。

證明：首先引入引理1、假設1和引理2。

引理1[9]：假設定義于U∈n上的V(x)是一個C1型光滑正定函數。對于任意的α1>0和α2∈(0,1)，存在一個定義在區間U∈R上的函數滿足

(10)

即，存在一個域U0∈n使得任何從域中開始的函數V(x)在有限時間Treach內滿足V(x)≡0。且Treach可由式(11)得出：

(11)

其中，V(x0)是變量V(x)的初始值。

假設1[10]：由無人機的物理特性，無人機至航跡點的距離存在最大值與最小值。其最大值為初始距離，最小值為無人機翼展半徑。

式(8)對橫向距離求導，得

(12)

將式(9)帶入(12)，得

(13)

引入2個中間變量

(14)

對式(14)求導，得

(15)

之后，根據參數K2的正負性，為證明以上系統的有限時間收斂特性，分3種情況討論：

1)當K2>0時，考慮以下Lyapunov函數：

(16)

由式(16)可知V為連續函數且恒大于或等于0，因而函數V可用來判定系統的穩定性。

對式(16)求導，有

(17)

(18)

(19)

其中，

(20)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣Q正定。

將Lyapunov函數改寫成以下矩陣形式

V=ωTPω

(21)

其中，

(22)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣P正定且V徑向無界，且滿足

(23)

(24)

式中，由p>2可知(2p-3)/(p-1)∈(0,0.5)，由引理1可知系統狀態量將在有限時間內收斂，且收斂時間為

(25)

2)當K2<0時，考慮以下Lyapunov函數：

(26)

由式(26)可知V為連續函數且恒大于或等于0，因而函數V可用來判定系統的穩定性。

具體證明方法與情況1類似，這里不再贅述。經理論證明，可得系統狀態量將在有限時間內收斂，且收斂時間為

(27)

3)當K2=0時，選取Lyapunov函數式(16)和(26)，并分別求導數，其值均為0。即證得K2=0時對系統的穩定性沒有影響。證畢。

3 基于協調變量的雙層協同制導結構

由趙世鈺等人提出的雙層協同制導結構，是一種行之有效的協同制導方式，其特點為根據飛行過程中各無人機的剩余飛行時間信息，實時解算出期望剩余飛行時間，無人機起飛前無需裝訂預期飛行時間信息，從而避免了預期飛行時間設計過程中的不足之處。

雙層協同制導結構如圖2所示：

圖2 雙層協同制導結構示意圖

在雙層協同制導結構中，協調算法位于頂層，用來協調時間及其他協同信息，各無人機的制導律位于底層，獨立控制無人機的飛行軌跡。在協同制導過程中，底層導引律將其估算的剩余飛行時間上傳至協調云端，由云端利用協同算法實時統一解算最優期望剩余飛時，并將其實時下載至各無人機處理器，從而完成多無人機在飛行時間上的協同。

協同制導律為雙層制導結構的基礎，很大程度上決定了該制導結構的性能。根據雙層制導結構的特性，協同導引律應包含協調變量可控項，具體指預期剩余飛行時間可控項。為便于仿真研究，本文中，取預期剩余飛行時間為各無人機剩余飛行時間的數學期望，即

(28)

4 數學仿真結果

4.1 飛行時間約束導引律性能驗證

考慮制導律式(9)，仿真參數如表1所示。

導引律參數為k1=100，k2=10，p=2.5。

表1 各裝訂諸元的初始值

仿真結果如圖3所示：

圖3 仿真結果

由圖3(a)可以看出，導引律式(10)可將無人機精確導航至指定地點。由圖3(b) 可以看出，無人機到達指定地點的時間嚴格收斂于期望飛行時間。

值得注意的是，在本導引律或其他協同導引律中，期望飛行時間具有一定的范圍，并不能隨意選取。另外，導引律參數對導引效果影響較大，通常根據工程或仿真經驗選取，還可以通過參數自適應律進行設計。

4.2 裝訂期望飛時的協同導引律性能驗證

考慮制導律式(10)，仿真參數如表2所示：

表2 各裝訂諸元的初始值

導引律參數為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結果如圖4所示：

圖4 仿真結果

由圖4(a)可以看出，3駕無人機均可精確到達預期航跡點。由圖4(b)可看出，剩余飛行時間估計曲線嚴格收斂于期望飛行時間。

4.3 利用雙層協調制導結構的制導律性能驗證

考慮制導律式(10)和協調一致算法式(28)，仿真參數如表3所示。

導引律參數為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結果如圖5(a)所示：

圖5 仿真結果

由圖5(a)可以看出，3駕無人機均可精確到達預期點。為實現同時到達的目標，距預期點較近的無人機2采用“彎道繞行”的方式增加了飛行距離與飛行時間。由圖5(b)可以看出，3條剩余飛行時間軌跡均向預期剩余飛行時間軌跡靠攏。由此，進一步驗證了該協同導引體制的適用性。但從圖5(b)可以看出，該算法的收斂時間較長，在后續的研究中應進行進一步設計。

5 結論

設計了一種應用于多無人機系統的協同導引律，該導引律具有以下優勢：1)時空信息精確，可使多無人機在同一時刻精確到達指定區域；2.)適用性強，稍加改進后既可適用于雙層協同制導結構；3)可為后續無人機協同控制與時間調制的研究提供借鑒。