基于小波變換與奇異值分解的航空器彈性自適應陷波方法

張玩樂 王小虎 張志健

北京控制與電子技術研究所，北京 100038

現代航空器具有結構質量輕、長細比大等特點，使得航空器的彈性振型頻率低且彈性偏差大，彈性振動頻率與控制系統頻帶接近，導致姿態控制系統設計面臨極大困難[1-2]。因此，抑制結構振動是彈性航空器控制系統的關鍵技術。

工程中廣泛應用固定參數的陷波器進行彈性振動抑制[3]。然而，在振型頻率離控制系統頻率比較近且幅值穩定有困難時，采用陷波方法濾除所有可能的彈性頻段信息，將導致系統相位滯后非常嚴重，對系統動態性能不利。因此，當彈性振動頻率較低時，為了減小相位滯后，往往采用相位穩定方法。但相位穩定需對控制系統進行精確建模，當彈性振動不確定性較大時，無法進行精確建模，很難進行相位穩定分析。

為適應現代航空器具有彈性振型頻率低、變化范圍大和不確定性高等特點，需開展彈性振動的自適應抑制技術。根據是否需要在線辨識彈性振型頻率，可將自適應技術分為2大類:1)在線辨識彈性振型頻率并據此在線調整陷波器的中心頻率，以實現彈性振動抑制[4-8]；2)將估計算法直接應用于濾波器系數的更新[9-12]。對這2類方法具體的分類如表1所示。

表1 自適應陷波方法分類

注：DFT和IpDFT分別指離散傅里葉變換、插值離散傅里葉變換；LMS，RLS和SMM分別指最小均方算法、遞推最小二乘算法和Steiglitz-McBride算法。

針對已有方法的不足，提出基于小波變換與奇異值分解(WT&SVD)的自適應陷波方法，先采用WT&SVD法估計出彈性信號頻率，而后據此調整陷波器參數，實現彈性振動抑制。該方法靈敏度高、辨識速度快且彈性抑制效果好。

1 彈性航空器建模

以俯仰通道為例，考慮兩階彈性振型，忽略質心運動，將彈性振動對姿態角運動的影響視為干擾力，則彈性航空器在“小擾動”假設下的微分方程如式(1)所示

(1)

控制系統采用PD控制，若將執行機構傳遞函數視為常數，則控制指令可表示為

(2)

2 彈性振動自適應陷波濾波方法實現

以俯仰通道為例，本文彈性自適應陷波系統結構框圖如圖1所示。自適應陷波器如圖中虛線框所示，包含2部分：1)彈性振型頻率辨識，基于WT&SVD法實現頻率估計；2)可調陷波器，根據彈性頻率辨識結果，在線調整陷波器中心頻率，從而濾除彈性振動。

圖1 彈性自適應陷波結構框圖

使用自適應陷波濾波器抑制彈性振動，存在一個互相矛盾的問題：一方面，必須激發彈性振型獲取彈性振型信息以實現陷波器“自適應”調整；另一方面，其自適應濾波器的作用又阻止該振動信號的產生。自適應陷波方法很難同時實現“彈性的完全抑制”和“陷波器參數的自適應調整”。因為，若彈性振動完全被抑制，則控制系統失去辨識結構振動特性的信息。此時，若“自適應”方法太過靈敏，會使頻率接近彈性振型的干擾信號被當作彈性振型，導致濾波器參數調整錯誤，不能有效抑制彈性；若“自適應”方法不靈敏，又會使自適應方法不能有效感知彈性振動信息的變化，難以避免彈性被激發。因此，自適應陷波器的靈敏度、快速性及魯棒性這3個方面的要求需要重點關注。

2.1 基于小波變換辨識彈性振型原理分析

2.1.1 小波變換

信號x(t)的連續小波變換(continuous wavelet transform, CWT)為

(3)

2.1.2 尺度圖

由于小波變換的結果WTx(a,b)不是能量分布，故無法由其直接估計出信號的頻率，而信號小波變換的幅平方，即信號的尺度圖，如式(4)所示

(4)

Morlet小波對振動信號在頻域和時域具有清晰的描述，因此本文采用Morlet小波，作為基小波,它是高斯包絡下的單頻率復正弦函數。表達式如下所示

ψ(t)=e-t2/2ej2πf0t

(5)

式中，f0是小波的中心頻率；ψ(t)的傅里葉變換為

(6)

則ψa,b(f)的傅里葉變換為

(7)

當a=f0/f時，頻譜達到峰值。

取小波函數中心頻率ω0=5rad/s,對頻率為ω=125rad/s，幅值為1的正弦信號x(t)計算其尺度圖，其結果如圖2所示。

圖2 信號x(t)的尺度圖

從圖2可知，當a=ω0/ω≈0.04時，在尺度圖上對應的幅值最大，可據此估計出信號頻率。

2.1.3 奇異值分解

通常為了降低噪聲對信號頻率估計的影響，可對尺度圖進行奇異值分解，將尺度圖中與信號對應的能量分布圖像提取出來，再進行信號頻率識別，能有效提高估計頻率精度[13]。上述a,b和t都是連續變量，實際計算中，要將它們進行離散化，設尺度a取值的點數為K，取時移因子b的點數為N1，離散后的小波函數長度為N，由多個彈性振型組成的彈性信號離散后長度為(N+N1-1)，則尺度圖是一個K×N1階的矩陣Q，秩為r，則Q的奇異值分解為

(8)

2.1.4 辨識頻率

辨識出的彈性振型頻率為

(9)

為了說明WT&SVD法辨識頻率精度，進行Monte Carlo實驗，對幅值為A=1，頻率為f=10Hz的正弦信號進行頻率辨識，采樣頻率為200Hz，單次辨識頻率所需數據點數為N=100，仿真次數為1000次。圖3為頻率辨識均方根誤差( RMSE) 隨信噪比變化的曲線。

從圖3可看出，在不同信噪比下，基于小波變換法辨識頻率接近克拉美羅下界(CLRB)，對10次辨識結果求均值后，RMSE更小，信噪比為5dB時，RMSE為0.0689Hz，40dB時為0.0016Hz。增加單次辨識數據點個數，可提高頻率辨識精度，但同時也會增加計算量。因此，要根據實際情況選擇合理的數據點個數。

雖然彈性航空器的振動頻率和幅值都是時變的，但在很短的時間內，可假設振動頻率和幅值的變化都很小，近似于正弦信號。于是，頻率相近的兩階彈性振動信號可表示如下：

(10)

其中,Ai,fi,φi分別為彈性振型的幅值、頻率和初始相位；fs為采樣頻率(單位Hz)；ω(n)為高斯白噪聲。

圖3 頻率估計方差與信噪比的關系

由于兩階彈性振型頻率之間相差較小，相互交叉影響大，由式(10)只能有效識別出與最大奇異值對應的一階彈性振型頻率，辨識出的二階彈性振型頻率與實際值偏差較大。為了解決上述問題，先采用式(10)辨識出一階彈性振型頻率，將其濾除后，再重復上述過程，辨識出二階彈性振型頻率。

為了提高估計頻率的可靠性和有效性，根據先驗信息，對頻率辨識結果作如下處理：

a)對連續10次辨識結果求均值，記為f1；

b)根據地面模態試驗所確定的彈性模態頻率置信區間，對辨識結果f1進行限幅處理，設限幅處理后的結果為f2；

c)為了防止頻率變化過快，將f2與上一時刻辨識結果fb作對比，設置閾值為0.01Hz，若兩者之差超過閾值，則取當前辨識結果為fb+0.01sgn(f2-fb)。

2.2 自適應陷波器系數在線調整策略研究

2.2.1 選取陷波濾波器

連續信號經采樣后，變成離散信號，故通常采用數字型陷波濾波器對彈性模態進行抑制。本文采用的陷波器如式(11)所示[14]

(11)

2.2.2 陷波器系數調整策略

若采樣頻率為fs(Hz)，陷波中心頻率為f0(Hz)，3dB的陷波帶寬為Δω(rad/s)，則陷波器參數可由式(12)確定：

(12)

當彈性振型頻率變化時，陷波器參數隨之改變，由此便可實現對彈性振型的自適應陷波。

3 仿真結果與分析

在 VS環境下，利用C語言建立六自由度的飛行控制模型進行仿真，以俯仰通道為例，考慮兩階彈性振型，假設一階彈性振型頻率為5～7Hz，二階彈性振型頻率為20～30Hz。驗證基于小波變換與奇異值分解的彈性自適應陷波方法的有效性。仿真中控制系統周期為200Hz，航空器仿真步長為1ms，仿真時間為20s。每次使用105個數據點進行彈性頻率辨識，離散小波函數的點數為100個，尺度因子a的點數為40個，時移因子b的點數為6個，即每次向右平移1個點數。陷波器3dB帶寬為40rad/s。

3.1 基于小波變換辨識彈性振型頻率

以二階彈性振型為例，基于WT&SVD法辨識其頻率。圖4為只對時變彈性振型頻率在線辨識，不在控制系統回路中添加可調陷波器；圖5為機動飛行指令俯仰角；圖6為機動飛行下，在線彈性頻率的辨識并在控制系統回路中添加可調陷波器；圖7為采用先驗信息對圖6辨識結果優化后的彈性頻率。

從圖4可知，采用本文算法辨識頻率快、在0.2s內辨識結果就收斂到實際值附近；第5s彈性頻率從22Hz跳變到24Hz，在0.21s內便完成對彈性振型頻率的辨識與跟蹤。

從圖6可看出，在機動飛行下，彈性頻率在真實值附近波動，這是由于本文算法靈敏度高，彈性模態信號被濾掉后，容易受到干擾，導致辨識結果出現偏差，而彈性信號一旦出現，又會辨識出正確頻率，所以辨識結果在真實值附近波動。圖5中指令角分別在第10s階躍1°、在第15s變成正弦指令時，辨識結果波動更大。為了降低航空器機動、噪聲干擾對辨識結果的影響，采用先驗信息對辨識結果進行優化，結果如圖7所示，辨識結果波動變小，在第10s、15s雖然波動較大，但也都在0.23s內就收斂到實際值附近。

圖4 時變彈性頻率的辨識

圖5 機動飛行指令俯仰角

圖6 機動飛行下的彈性頻率辨識

圖7 機動飛行下優化后的彈性頻率

3.2 濾波結果分析

在圖5機動飛行下，俯仰通道的角速度如圖8和9所示。圖8為未濾波的角速度，圖9為濾波后的角速度。

圖8 未濾波的角速度

圖9 濾波后的角速度

受彈性噪聲的影響，從圖8中無法得到真實有效的角速度信息，采用自適應陷波器濾波后，結果如圖9所示，在0.3s內就濾除角速度中的彈性噪聲。

3.3 對控制系統穩定性影響分析

一階彈性振動頻率為5～7Hz，接近控制系統頻帶，必須采用相位穩定的方法，才能保證剛體航空器的控制穩定裕度；而基于WT&SVD法的自適應陷波法則可實現幅值穩定，并保證剛體航空器的穩定裕度。表(2)對比了2種方法在控制帶寬內造成的相位滯后。本文方法的滯后是指在濾波參數允許變化范圍內，可能導致的最大相位滯后。為了便于比較，在低頻段選取3個點對比了相位滯后的大小，具體情況如表2所示

表2 2種陷波器在低頻段引起的相位滯后對比

由表2可知，采用自適應陷波器在低頻段3個點造成的最大相位滯后比彈性相位穩定方法小，最大減小6.26°，最小減小2.35°，對提高控制系統穩定裕度有利。

4 結論

1)采用WT&SVD法辨識彈性模態頻率速度快、精度高和彈性抑制效果好。能有效實現對彈性振型頻率的辨識和跟蹤；

2)利用先驗信息處理辨識結果，可以有效提高辨識頻率的可靠性和精度；

3)基于WT&SVD的自適應陷波方法，彈性抑制效果好，通過仿真驗證了該方法的有效性和可行性。與相位穩定法相比，在控制系統截止頻率處的相位滯后更小。