采用色差先驗約束的像差校正技術

張金剛，相里斌，汶德勝，王書振

(1.中國科學院 光電研究院，北京 100194；2.中國科學院大學,北京 100049；3.中國科學院 西安光學精密機械研究所,陜西 西安 710119；4. 西安電子科技大學 計算機學院，陜西 西安 710071)

1 引 言

隨著科學技術的不斷發展，光學成像技術已經被廣泛應用于天文觀測、遙感、測繪和軍事偵察等諸多領域，它正逐漸成為人們獲取各種空間信息、發現和識別目標的重要依據。而近些年新興的計算光學成像技術是利用光學技術和信號數字處理技術來獲得更高性能的光學成像的新學科，是公認的新一代光學成像技術。而在光學成像的過程中難免會產生各種干擾，產生圖像像差，色差校正是像差數字校正中最復雜的環節之一。

像差校正方法分為基于物理模型算法和盲復原算法兩類，基于物理模型的算法主要有基于維納濾波的方法，基于逆濾波的方法，基于happy-laplacian[1]先驗信息的方法等。這些方法所采用的圖像退化核函數是已知的，可以較好地校正色差，復原出清晰圖像。在使用此方法時，所建退化圖像物理模型的精確度會影響修正效果，如果建立的物理模型存在較大誤差，修正后圖像可能產生人工振鈴噪聲，不能很好地恢復圖像細節。在現實應用中，圖像退化是個極復雜的過程，很難精確的用數學模型描述，因此傳統的物理模型算法適用范圍受到限制。相比而言，圖像盲復原算法可以在圖像退化核函數未知的情況下，利用退化圖像來估計退化核函數，進行像差修正，因此這類算法具有更強實用性。但由于盲復原算法缺乏先驗知識，存在計算復雜度高且退化核函數估計誤差較大等缺點，影響像差校正效果。隨著對大量圖像的觀察并統計相關特性[2]，各種先驗知識被不斷發掘，并用于圖像退化核函數估計中[3]。

傳統的盲復原算法的先驗知識是通過建立最大后驗概率模型，統計并分析清晰圖像的概率分布曲線得到的，概率分布曲線的擬合參數一般由人為設定[4]，并沒有有效利用清晰圖像的統計特性，算法魯棒性較差，不能很好恢復圖像細節。

本文首先從大量自然圖像中分析了3個通道的關聯性，總結出“同一物體的邊緣在RGB三個通道中應該處于同一位置”的色差先驗，經過反復嘗試和論證，提出了基于該色差先驗的解卷積算法。該算法能夠有效提升存在大色差圖像的成像質量，相比傳統方法，本文提出的色差數字校正技術能夠很好地處理色差帶來的圖像質量下降問題。

2 光學系統成像過程

光學系統成像過程實質上是個降質過程,通過該過程中的一系列先驗知識來建立降質模型，然后針對降質模型的退化過程，使用一些常用或新穎的技術手段來重建和恢復圖像，如最基本的圖像插值算法，超分辨算法，解卷積算法等。圖像解卷積是圖像處理領域的一類典型問題，其模型假設為，獲得的圖像是真實場景與點擴散函數的卷積受噪聲污染后的結果。其成像原理可用圖1表示。

圖1 光學系統成像原理示意圖 Fig.1 Schematic diagram of optical system imaging principle

假設b代表用透鏡得到的物理像，u為真實圖像，k為像差引起的像質退化參數，即點擴散函數，n為系統噪聲，*為卷積運算符。則成像模型以矩陣向量形式可以表示為：

B=u*k+n,

(1)

上述問題是一個欠定問題，降質過程的先驗知識迥異，從而會有無窮多解。數字校正建模即構造一個優化目標，使得從上述無窮多解中選出最有可能的一個。數字校正建模一般具有如下形式：

?k-b‖2+g(u) ,

(2)

其中，‖u?k-b‖2為數據適定項，g(u)為正則化項。

在不同的噪聲情況下，數據適定項‖u?k-b‖2有可能用其他的約束來代替，比如‖u?k-b‖1，但多數情況下為‖u?k-b‖2，如文獻[6-7]。因為它表示的噪聲情形為高斯分布。

近年，國內外對解卷積圖像恢復算法的研究成果中，根據不同的先驗條件，采用的正則化項的表示形式多種多樣，甚至為了權衡各正則化項的優缺點，會選取若干種約束的組合作為約束條件。其中比較常見的約束為:

在正則化項的選擇和確定過程中，需要充分分析成像過程的物理機制以及成像系統的性能參數，以形成有效的先驗信息，包括圖像的平滑性，噪聲的統計模型，圖像紋理保持，圖像熵約束等，使病態的重建問題盡可能的良態化。

色差又稱為色散現象，可分為“縱向色差”和“橫向色差”。縱向色差，即不同顏色光線的波長不同，焦距也不同。橫向色差，理論上色散可以出現在影像中央也可能出現在邊緣，不過由于邊緣的光程較長，因此色散也就特別明顯。由于短波長的折射率較高，因此紫色對色差特別敏感。由色差而形成的紫邊，通常可以在畫面邊緣看到，而由于紫色折射得較多，所以紫邊一般都是由內向外擴散。

為了消除色差，需要找到關于色差的先驗知識[13-14]。在分析色差形成原理的基礎上，首先分析了大量自然圖像，比對了具有色差和不具有色差情況下圖像的差異。通過比對發現，圖像的平滑區域在有無色差的情況下區別不明顯，僅僅是灰度值大小不同；而在圖像的邊緣區域則既存在關聯，又有差異。

在本文中，根據這一結論，結合數字圖像處理技術，以色差先驗知識為依據，提出了基于色差先驗的圖像解卷積算法。

3 基于色差先驗的像差校正模型

以圖2所示的房屋為例，左上圖為沒有色差的圖片，左下圖為存在色差的圖片。可以看出，由于色差的存在導致房屋邊緣的地方出現“紫邊”。

圖2 色差先驗示意圖 Fig.2 Schematic diagram of chromatic aberration prior

截取兩圖同一水平位置的剖線，RGB三個通道的灰度值曲線分別用紅、綠、藍顯示在右側相應位置。受色差影響，圖像在3個通道的模糊程度不同，這里紅色通道相對清晰，邊緣較為銳利，而綠色通道邊緣較為平滑，藍色通道平滑程度更大，因此造成圖像在視覺上表現出偏紫色的邊緣瑕疵。如果不存在色差，同一物體的邊緣在RGB三個通道的強度略有不同，但邊緣則應該處于同一位置。這一現象廣泛存在于自然圖像之中，因此可視為清晰圖像的一種先驗知識，作為正則化約束加入到解卷積優化算法之中，對色差進行數字校正。

本文將這一圖像先驗知識稱為色差先驗，具體含義是同一物體的邊緣在RGB通道應處于同一位置，數學上可近似表示為

(3)

(4)

式中，ki表示i通道的點擴散函數,i的取值范圍為R、G、B通道，ui表示該通道待求解的清晰圖像，*表示卷積，gi是該通道的拍攝圖像，‖·‖1表示l1范數，‖·‖2表示l2范數，是對圖像邊緣等特征稀疏性的表達，α和β分別表示全變分項和色差先驗項的權值。

4 基于ADMM的模型求解

模型(4)可以利用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[16-17]求解。ADMM算法通過分解協調過程，將大的全局問題分解為多個較小、較容易求解的局部子問題，并通過協調子問題的解而得到全局問題的解，適用于大規模問題的快速求解。相比傳統的優化方法(如共軛梯度法，Primal-Dual法等)，ADMM具有容易實現，計算速度快等特點，因此本文選擇ADMM方法進行求解。針對模型(4)，需要把該模型分解為R、G、B三個通道單獨求解。

(5)

(6)

(7)

本文以求解uR為例，uG和uB的解法類似。

(8)

其中，uR∈Rn為第t代的目標圖像的R通道分量，z∈Rn*3表示第t代的目標圖像變量在水平、垂直和對角3個方向上的導數圖像。

(9)

故，

(10)

則z的迭代式為：

(11)

該式也可以表示為：

(12)

其中max、sgn分別為最大值和符號函數，“°”符號表示向量對應元素相乘。

(13)

其中，KR為點擴散函數R通道分量對應的toeplitz矩陣[18]。

(14)

式中，I和I-1分別為正向和逆向傅里葉變換，°表示向量或矩陣對應點相乘。

拉格朗日乘子ζ的迭代過程為：

(15)

迭代終止條件可以設置成固定迭代次數或者迭代直到目標圖像收斂為止。

(16)

5 實驗與結果

為了測試基于色差先驗的圖像解卷積算法的校正效果，本文將對同一幅模糊圖片分別使用基于色差先驗的圖像解卷積算法、BM3D算法[19]和YUV算法[20]求解，對比解卷積得到的圖像和峰值信噪比。

首先，使用模糊核卷積清晰圖像來仿真具有色差的模糊圖像。以圖3中的模糊核分別卷積圖4中的真值圖像得到圖5中的模糊圖像。

圖3 模糊核 Fig.3 Blur kernel

圖4 清晰圖片 Fig.4 Sharp image

圖5 仿真得到的模糊圖片 Fig.5 Blurred image

圖6 采用本文算法獲得的校正圖像 Fig.6 Deblurred image by our proposed algorithm

圖7 采用BM3D算法獲得的校正圖像 Fig.7 Deblurred image by BM3D algorithm

圖8 采用YUV算法獲得的校正圖像 Fig.8 Deblurred image by YUV algorithm

對仿真得到的模糊圖像分別使用基于色差先驗的圖像解卷積算法、BM3D算法和YUV算法解卷積，恢復的清晰圖像分別見圖6、圖7和圖8。對3種算法復原圖像分別計算峰值信噪比以衡量算法的優劣，其中基于色差先驗的圖像解卷積算法解卷積圖像的峰值信噪比為35.809 dB，BM3D算法解卷積圖像的峰值信噪比為27.227 dB，YUV算法解卷積圖像的峰值信噪比為31.842 dB。無論是直觀的圖像恢復效果還是由計算得出的峰值信噪比，本文提出的基于色差先驗的圖像解卷積算法都優于另外兩種算法。

6 結 論

本文首先介紹了光學系統成像模型及像差校正原理，針對數字校正像差的問題，給出了“同一物體的邊緣在3個顏色通道應處于相同位置”的色差先驗限制，將該先驗知識以正則化項的形式反映在優化算法之中，據此提出了基于色差先驗的像差校正模型，并給出了基于ADMM的求解算法。實驗結果表明：本文的像差校正技術可將圖像的峰值信噪比提升10 dB以上，明顯優于目前主流的BM3D和YUV算法，并且視覺提升效果明顯，基本滿足普通光學系統對像差的校正要求。