一種改進加窗三峰插值快速傅立葉變換諧波分析方法

郭振濤， 遲長春， 陳正馨

(1. 上海電機學院 電氣學院， 上海 201306； 2. 上海電科電器科技有限公司, 上海 200063)

隨著國家經濟的發展，對智能電網建設提出了更高的要求，使得電網更加復雜。電網中接入的電弧爐等非線性負載和電力電子器件，產生了大量諧波。電網中的諧波對電網穩定性和電力系統的安全運行造成了極大的負面影響，同時對電能質量監測裝置的測量精度提出了更高的要求[1]。

快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)具有計算簡單、效率高的優點，是分析電力系統諧波較為常用的方法[2]。只有準確提取信號中基波和諧波的幅值、頻率、相位參數，諧波檢測的結果才能更加精確。由于實際應用中無法進行同步采樣，非同步采樣、非整周期截斷會產生頻譜泄漏和柵欄效應[3]，進而導致諧波信號參數的計算誤差較大，故在對被測信號進行FFT時，需要加合適的窗函數、插值修正來抑制頻譜泄漏和柵欄效應。國內外學者提出了矩形窗[2]、Hamming窗[3]、Hanning 窗[4]、Blackman 窗[5]、Blackman-Harris 窗[6]、Nuttall 窗[7]，單譜線插值[8]、雙譜線插值[9]、三譜線插值[10]、四譜線插值[11]等信號加窗插值 FFT 分析算法。這些加窗插值算法對于頻譜泄漏的抑制起到了一定的作用，也不同程度的減小了諧波參數的計算誤差，提高了準確度。但是由于經典窗函數不具有良好的旁瓣特性[12-13]，不能很好地抑制頻譜泄漏。因此，采用加經典窗函數的插值FFT算法分析諧波時，計算精度仍難以提高，且計算量較大。

本文分析了Nuttall窗、Kaiser窗的旁瓣特性，發現Nuttall窗的旁瓣衰減速率較大[14-16]，β=25時，Kaiser窗的旁瓣峰值電平較低，三峰插值具有較高的計算速度和準確度。考慮Nuttall窗具有良好的旁瓣特性，Kaiser窗有較強的頻譜泄漏抑制能力以及靈活的形狀參數改變特性[17-19]，所以本文利用Nuttall窗-Kaiser窗良好的旁瓣特性和其各自的優點[20]，研究了一種基于納托爾凱塞組合窗(簡稱N_K組合窗)三峰插值FFT諧波分析算法。在Matlab計算軟件平臺中調用polyfit函數進行多項式擬合，得出最優的信號基波及各次諧波參數的插值修正公式，由此推導出含有諧波分量信號的各個參數計算公式。基于Matlab計算軟件平臺對Hanning 窗、Blackman 窗、N_K組合窗插值FFT算法進行仿真分析，仿真采用的信號模型為含有21次諧波的電壓信號。將N_K組合窗三峰插值FFT諧波分析算法應用到電能質量監測裝置中，通過對比實驗，驗證了算法的可行性與實用性。

1 基于N_K組合窗的三峰插值FFT分析

1.1 N_K組合窗

設包含多項整數次諧波的離散時間信號為

(1)

式中：I為所含諧波的項數；fs為采樣頻率。f1為基波頻率;ri,Ai,θi為第i相諧波的次數、幅值和相位。

本文采用N_K組合窗函數W(ω)來處理如式(1)的離散信號，N_K 組合窗頻譜函數為

W(ω)=χWN(ω)+γWK(ω)

(2)

式中:χ和γ分別為Nuttall窗、Kaiser窗的權重系數，χ和γ值可以任意變化，在此取相等權重。

WN(ω)為Nuttall窗的頻譜函數為

(3)

WK(ω)為Kaiser窗的頻譜函數為

(4)

文獻[16-17,21-22]中對關于Nuttall窗和Kaiser窗進行了研究，并基于大量仿真和實驗。本文采用β=25 時的Kaiser 窗和4項3階Nuttall窗構造N_K組合窗函數，令χ=γ=0.5，對諧波信號進行處理。

設ω=2πk/N，由以上公式得組合窗函數的離散頻譜函數為

(5)

用組合窗函數對式(1)中x(n)進行離散抽樣，得到在正頻點附近加組合窗后的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)式為

(6)

式中:Δf為離散抽樣間隔(Δf=fs/N)。

在保證計算精度的前提下，忽略其余各相諧波對所需測量的第i項諧波的泄漏影響可簡化計算，將式(6)化簡為

(7)

圖1為Nuttall窗、Kaiser窗和本文所提出的N_K組合窗的歸一化對數頻譜。由圖1可知，N_K組合窗的旁瓣峰值電平為-125 dB，衰減速率為30 dB/oct，充分發揮了4項3階Nuttall窗衰減速率大和Kaiser窗(β=25)旁瓣峰值電平低的優點，比Kaiser窗具有更好的抗噪性，比Nuttall窗具有更好的旁瓣特性，抑制頻譜泄漏能力更強。

1.2 N_K組合窗三峰插值算法

對信號進行分析時，由于非同步采樣，導致柵欄效應，使得峰值頻點與離散譜線頻點不一致，所以ki一般都不是整數。設ki為理論上的峰值譜線，ki1為ki附近實際采樣的最大譜線，ki2,ki3是ki1左右兩邊的次大譜線和最大譜線。設α=ki-ki1(α∈[-0.5,0.5])，ki2=ki1-1≤ki≤ki3=ki1+1，得ki2-ki=-1-α,ki3-ki=1-α，譜線ki2,ki1,ki3是對應的幅值為：y1=|X′(ki2Δf)|，y2=|X′(ki1Δf)|，y3=|X′(ki3Δf)|。

(8)

記式(8)δ=h(α)，其反函數α=h-1(δ)。

將k=-α±1代入式(5)，由于N一般都較大，故可得:

(9)

將式(9)代入式(8)，采用Matlab計算軟件平臺中Polyfit函數進行多項式擬合逼近，計算求得α=h-1(δ)的擬合逼近式為

α=H(δ)

(10)

由δ求出參數α，諧波信號的頻率修正公式為

fi=kiΔf=(α+ki1-1)Δf

(11)

本文利用實際采樣所得的最大譜線ki1和其附近的兩條譜線ki2和ki3所包含的幅值信息進行三峰插值修正，因為最大譜線ki1對應的幅值y2值最大，所以賦予其最大權重2，則幅值的修正公式如下：

(12)

令

采用擬合函數進行多項式逼近，可得逼近式為

(13)

由式(5)、式(7)得組合窗第i相諧波的相位修正公式為

*α

(14)

在Matlab中調用Polyfit函數進行多項式擬合逼近可以求得N_R組合窗的幅值修正公式為

α=3.352 737 827 71δ5+1.145 796 812 14δ3+3.558 785 673 96δ

(15)

g(α)=0.217 925 132 15α4+0.793 761 533 42α2+3.542 725 868 38

(16)

2 仿真分析與實例研究

2.1 對比仿真分析

為了驗證本文所研究算法的計算精確度，對含有21次諧波的信號進行仿真分析，信號模型為

(17)

式中:基波頻率f1=50.2 Hz，采樣頻率fs=1 kHz，數據截斷長度N=1 024。仿真信號的基波和各次諧波(以h表示)的幅值(Ah)和相位(φh)數值見表1。

表1 仿真信號的基波和諧波參數

選用文獻[23]中提出的Hanning窗、Blackman窗與本文N_K組合窗進行仿真對比分析。圖2和圖3分別是幅值和相位的誤差仿真結果。由圖可知,采用的N_K組合窗三峰插值FFT算法計算出的基波幅值相對誤差為-2.1×10-5%，基波相位相對誤差為3.2×10-7%。由對比曲線可以看出，基于N_K組合窗的加窗插值算法對于高次諧波的計算誤差浮動很小，算法的穩定性很好。幅值計算精度比采用文獻[23]中Hanning窗、Blackman窗的加窗插值算法高出2～3個數量級；相位計算精度高出5個數量級。可見N_K組合窗旁瓣特性很好，能有效抑制頻譜泄漏的影響。仿真結果表明，本文采用的N_K組合窗三峰插值FFT算法的參數計算精確度更高。

圖2 幅值計算相對誤差比較

圖3 相位計算相對誤差比較

2.2 實際測試與應用

基于N_K組合窗三峰插值FFT算法已經在上海電機學院與上海電科電器科技有限公司(以下簡稱公司)聯合研制的電能質量監測裝置上得到了應用，硬件結構如圖4所示。

本文所研制的電能質量監測裝置采用了OMAP-L138 +ADE7880 結構形式，OMAP-L138是一款異構雙核心處理器，它發揮了數字信號處理器(Digital Signal Processing,DSP)的高計算性能和ARM高效的事務處理能力，并且OMAP-L138的功耗和成本都較低。三相電能計量芯片ADE7880是美國的ADI公司的產品，具有獨立的信號采集單元，測量精度高，可對三相電壓、電流進行同步采集，并將采集到的波形進行計算獲得電能參數，大大節省了OMAP-L138中DSP的資源。利用DSP和本文算法實現了基波與諧波電能計量和諧波參數檢測，ARM負責系統的管理，包括人機接口、顯示、通信和存儲。

圖4 硬件結構框圖

為了驗證本文研究的N_K組合窗三峰插值FFT算法的參數計算精確度和實用性，在公司的實驗室對應用了本算法的電能質量監測裝置進行了實驗。采用XL803A三相程控標準信號源，提供含有高次諧波的電壓信號。為使結果更加精確，采用電能質量精準測驗三相功率計Fluke1732作為對照組，對信號源產生的信號同時監測，表2為計算出的相對誤差。采樣頻率為8 kHz，采樣點數2 048點。測得實際信號頻率為50.038 Hz。

本算法在電能質量監測裝置上的成功運用，表示該算法具有很強的實用性。由表2可知，47次諧波幅值相對誤差為-5.6×10-7，相位相對誤差為-6.2×10-5，頻率計算的相對誤差為4.5×10-7，表明本算法在實際應用中對高次諧波信號的計算誤差依然很小，計算精度很高。

表2 幅值相位相對誤差 %

3 結 語

本文在分析Nuttall 窗、Kaiser窗的旁瓣特性的基礎上，綜合兩種窗函數的優點，構建了N_K組合窗函數。結合計算準確度高且運算速度快的三峰插值法，推導出實用且計算簡單的信號基波及各次諧波參數的修正公式。基于Matlab計算軟件平臺，對信號進行加Hanning窗、Blackman窗、N_K組合窗三峰插值FFT算法仿真，對比分析3種算法仿真出的誤差結果，發現采用本文研究的N_K組合窗，在非同步采樣的條件下，比加Hanning窗、Blackman窗處理信號得到的結果，檢測精度更高，同時比加經典窗及其他插值算法要高出2～3個數量級，頻譜泄露抑制的效果非常顯著，對于信號中高次諧波參數的檢測，依然保證了很高的精度。最后通過在電能質量監測裝置上的應用，驗證了算法的有效性與實用性。