高考數(shù)學(xué)中的“交匯問(wèn)題”探討

謝建明

摘要：文章分析了近年來(lái)全國(guó)各地的高考現(xiàn)狀，從向量與解析幾何交匯、向量與數(shù)列交匯、概率與數(shù)列交匯等方面，對(duì)高考數(shù)學(xué)中“交匯問(wèn)題”進(jìn)行探究，希望能夠?yàn)榻窈笙嚓P(guān)問(wèn)題的研究提供一定的參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：高考；數(shù)學(xué)；“交匯問(wèn)題”；分析引言

數(shù)學(xué)是高考中極其重要的一門課程，對(duì)學(xué)生高考成績(jī)有著十分重要的影響。在近年來(lái)來(lái)的高考數(shù)學(xué)中，越來(lái)越多的出現(xiàn)“交匯問(wèn)題”問(wèn)題，如包括導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何、算法等都可以涉及到“交匯問(wèn)題”。這一問(wèn)題不僅注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，還注重知識(shí)的綜合.它主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力以及知識(shí)的遷移能力。因此，在平常的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)階段，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)“交匯問(wèn)題”的分析，從而為提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效率提供借鑒。

1 向量與解析幾何交匯

解析幾何在高考中占據(jù)了很高的比例，是歷年高考必考題型之一。在進(jìn)行教學(xué)和復(fù)習(xí)的過(guò)程中，要強(qiáng)化對(duì)向量與解析幾何交匯的訓(xùn)練。

已知，x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)，x，y軸正上方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|= 8.（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C方程；（2）過(guò)點(diǎn)（0，3）作直線1與曲線C交于點(diǎn)A，B，設(shè)向量OP+向量OB，是否存在這樣的直線1，使得四邊形OAPB是矩形？如果存在，請(qǐng)求出直線1的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。

解析：（1）根據(jù)題意，可以快速地解初軌跡C的方程為x2/12+y2/16=1。（2）因?yàn)橹本€1過(guò)點(diǎn)（0，3），若直線1的斜率不存在，則A、B為橢圓的頂點(diǎn)，此時(shí)向量OP=OA+OB=0 ，所以0、P重合，與OAPB是矩形矛盾；所以直線1的斜率存在，設(shè)直線1的方程為y=kx+3，代人x2/12+y2/16=1得：（4+3k2）x2+18kx-21=0，則有△>0；又由韋達(dá)定理可以得到x1+x2和x1X2的值，又因?yàn)橄蛄縊P=向量OA+向量OB，所以四邊形OAPB是平行四邊形。若果存在直線使得四邊形OAPB是矩形，則有向量OA垂直向量OB，即有向量OA和向量OB=x1x2+y1y2=0，從而得到（1+k2）x1x20+3k（x1+x2）+9=0，將韋達(dá)定理得到的公式帶入其中，獲得k的值，經(jīng)檢驗(yàn)滿足Δ>0，所以存在直線1使得四邊形OAPB為矩形。

2 向量與數(shù)列交匯

數(shù)列是歷年高考中的必考題，考察的形式豐富多樣，經(jīng)常與向量結(jié)合呈現(xiàn)在考生面前。大量的高考實(shí)踐證明[2]，考生在考前的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)階段，缺少對(duì)向量與數(shù)列交匯的重視，將很容易導(dǎo)致容易分的丟失。

已知一列非零向量an滿足a1=（x1，y1），an=（xn，yn）1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）（n≥2）。（1）證明：{|an|}是等比數(shù)列；（2）設(shè)Qn=（an-1，an），bn=2nQ-1，Sn=b1+b2+……+bn，求Sn。

解析：（1）|an|=1/2√（xn-1-yn-1）2+（xn-1+yn-1）2=√2/2√xn-12+yn-12=√2/2|an-1|（n>2），得到|an|與|an-1|的比為√2/2，且|a1|≠0，說(shuō)明|an|是等比數(shù)列。（2）|an|·|an-1|=（xn-1，yn-1）·1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）=1/2 |an-1|2，所以cos1 an，an-1）=√2/2，因此Qn=π/4，bn-2n·π/4-1=n/2π-1，即Sn=π/2=（1+2+3+……+n）- n=π/4（n2+n）-n。

3 概率與數(shù)列交匯

概率在歷年高考中也比較常見(jiàn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在應(yīng)用題中，選擇題和填空題也有所出現(xiàn)。概率與數(shù)列交匯問(wèn)題，既要掌握概率知識(shí)，又要理解數(shù)列知識(shí)，只有將概率和數(shù)列全方位掌握，才能夠更好地解決概率與數(shù)列交匯問(wèn)題。

某種電子玩具按下按鍵后，會(huì)出現(xiàn)紅球和綠球.已知按鍵第一次按下后，出現(xiàn)紅球和綠球的概率都是1/2.從按鍵第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是1/'3，2/3；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是3/5，2/5，記錄第n（n∈N1）次按下按鍵后出現(xiàn)紅球的概率為Pn。（1）求出P1的值；（2）證明數(shù)列{P1-9/19}是等比數(shù)列。

解析：（1）若按鍵第一次，第二次按下后均出現(xiàn)紅球，則其概率為1/2x1/3=1/6；若按鍵第一次，第二次按下后依次出現(xiàn)綠球、紅球，則其概率為1/2x3/5=3/10.故所求的概率為1/6x3/10=7/15。（2）如果≥2，Pn-9/19與Pn-1-9/19最終計(jì)算得到-4/15，因此數(shù)列P1-9/19是等比數(shù)列，其通項(xiàng)為Pn=1/38（-4/15）n-1+9/19。

4 結(jié)語(yǔ)

高考數(shù)學(xué)中，“交匯問(wèn)題”比較常見(jiàn)，在歷年的高考中均有所涉及，是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容。考生如果想要掌握好“交匯問(wèn)題”，必須要通過(guò)平常的大量練習(xí)，只有達(dá)到一定的熟練程度時(shí)，習(xí)題做起來(lái)才能夠得心應(yīng)手。

參考文獻(xiàn)

[1]趙春祥.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯問(wèn)題例析[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：高考版，2014，10（9）：37-39.

[2]王德昌.高考數(shù)學(xué)試題中的交匯型問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2014，24（z1）：29-33.