構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的八個(gè)條件淺析

摘 要：研究數(shù)學(xué)命題，必須研究構(gòu)成數(shù)學(xué)命題條件的八種形式。了解這些形式與命題之間的邏輯關(guān)系，才能透徹地理解數(shù)學(xué)定義的含義，才能深刻地認(rèn)識(shí)定理的證明和解題過(guò)程。這樣才能科學(xué)的掌握數(shù)學(xué)命題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)命題 八種形式 證明和解題

我們研究一個(gè)數(shù)學(xué)命題，總要分析它在什么條件下才能成立。或者說(shuō)，要使一個(gè)數(shù)學(xué)命題成立，必須具備什么條件。構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的條件有八種形式，它們實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)命題的條件（前提）與結(jié)論之間的八種邏輯關(guān)系。如果不了解這些條件與命題之間的邏輯關(guān)系，就不可能透徹地理解數(shù)學(xué)定義的含義，也不可能深刻地認(rèn)識(shí)定理的證明和解題過(guò)程。構(gòu)成數(shù)學(xué)命題的八個(gè)條件既是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，又是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。本文試給出命題八個(gè)條件的一種言簡(jiǎn)意賅的定義方式，并結(jié)合例題進(jìn)行淺析，僅供讀者參考。

一、充分條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“由AB。”為真命題，那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的充分條件。

要證明已知命題的條件A是結(jié)論B成立的充分條件，只要進(jìn)行由AB的論證即可。

例1：已知命題“若兩個(gè)角是同位角，則這兩個(gè)角相等。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的充分條件。

證明：∵由命題的條件“同位的兩個(gè)角”，可以推出（）命題的結(jié)論“這兩個(gè)角相等”成立，∴已知命題的條件是結(jié)論成立的充分條件。

必須注意的是，充分條件不是唯一的。

例如：在已知真命題“若兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相等。”中，由于條件“兩個(gè)角是直角”可以分成“對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)直角”和“不對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)直角”兩種情形，因此“對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)直角”和“不對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)直角”都可作為結(jié)論“這兩個(gè)角相等”的充分條件。因此，使已知命題的結(jié)論“這兩個(gè)角相等”成立的充分條件有兩個(gè)。這就是說(shuō)，只要有了其中的一個(gè)充分條件，而缺了另一個(gè)充分條件，也能夠推出結(jié)論成立的結(jié)果。由此可知：有了充分條件A，必有結(jié)論B；沒(méi)有充分條件A，不一定沒(méi)有結(jié)論B。但是，給出使結(jié)論B成立的充分條件的個(gè)數(shù)越少越好，要少到不能再少的程度。否則，往往會(huì)產(chǎn)生有多余條件的錯(cuò)誤數(shù)學(xué)命題或錯(cuò)誤定理。

二、非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B”。如果由條件A推不出結(jié)論B（由AB，說(shuō)明原命題是假命題）成立，則稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的非充分條件（即條件A不是結(jié)論B成立的充分條件）。

例2：已知命題“若兩個(gè)加數(shù)都是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的非充分條件。

證明：∵由命題的條件“兩個(gè)加數(shù)都是偶數(shù)”推不出（）命題的結(jié)論“它們的和是奇數(shù)”成立，∴已知命題的條件是結(jié)論成立的非充分條件。

三、必要條件

由于一個(gè)命題與它的逆否命題同真同假，因此構(gòu)成命題的必要條件定義通常采取以下兩種形式：

定義1。已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“沒(méi)有條件A，就推不出結(jié)論B（無(wú)AB）成立”為真命題，那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的必要條件。

因?yàn)槊}“沒(méi)有條件A，就推不出結(jié)論B（無(wú)AB）成立”與命題“由結(jié)論B條件A”同真同假，所以對(duì)“必要條件”還可以進(jìn)行如下定義。

定義2。已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“由結(jié)論B條件A（即結(jié)論B是條件A成立的充分條件）”，那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的必要條件。

根據(jù)上述兩種定義，判斷已知命題的條件A是結(jié)論B成立的必要條件，可采取如下兩種辦法：

1.根據(jù)必要條件定義1，只要斷定沒(méi)有條件A就沒(méi)有結(jié)論B即可。

2.根據(jù)必要條件定義2，由結(jié)論B條件A，論證結(jié)論B是條件A成立的充分條件。由于用這種辦法證明簡(jiǎn)便易行，所以常被人們所采用。具體說(shuō)來(lái)，要證明“條件A是結(jié)論B成立的必要條件”只要證明“結(jié)論B是條件A成立的充分條件”即可。同理可知，要證明條件A是結(jié)論B成立的充分條件，只要證明結(jié)論B是條件A成立的必要條件就行了。

例3：已知命題“若兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等。”求證該命題的條件是結(jié)論成立的必要條件。

證明1：∵若沒(méi)有該命題的“兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等”這個(gè)條件，就推不出（）該命題的結(jié)論“兩個(gè)三角形全等”成立。∴已知命題的條件是結(jié)論成立的必要條件。

證明2：∵由“兩個(gè)三角形全等”推出（）“三邊對(duì)應(yīng)相等”，即已知命題的結(jié)論是條件的充分條件，∴已知命題的條件是結(jié)論成立的必要條件。

四、非必要條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“沒(méi)有條件A，也可能推出結(jié)論B”是真命題（等價(jià)于真命題“由結(jié)論B條件A”），則稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的非必要條件（即條件A不是結(jié)論B成立的必要條件）。

例4：已知命題“若兩個(gè)加數(shù)都是奇數(shù)，則它們的和是偶數(shù)。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的非必要條件。

證明1：∵若沒(méi)有該命題的條件“兩個(gè)加數(shù)都是奇數(shù)”，也可能推出（）該命題的結(jié)論“它們的和是偶數(shù)”成立，例如兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)，∴已知命題的條件是結(jié)論成立的非必要條件。

證明2：∵由該命題的結(jié)論“兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)”推不出（）該命題的條件“這兩個(gè)加數(shù)都是奇數(shù)”成立（因?yàn)楹褪桥紨?shù)的兩個(gè)加數(shù)可能是偶數(shù)），∴已知命題的條件是結(jié)論成立的非必要條件。

從上述“四個(gè)條件”定義的內(nèi)涵中，恰當(dāng)?shù)剡x取兩個(gè)相容的內(nèi)涵，作為構(gòu)成新條件定義的內(nèi)涵，還可以衍生出“四個(gè)新條件”定義的外延，即充分條件、充分非必要條件、必要非充分條件和非充分必要條件（詳見(jiàn)插圖）。它們的定義如圖：

五、充分非必要條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“由AB”是真命題（充分性），且“無(wú)A可能B。”也是真命題（非必要性），那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的充分非必要條件。

定義中的“由AB”是說(shuō)，條件A是B成立的充分條件。“無(wú)A可能B”是說(shuō)，條件A是結(jié)論B成立的非必要條件。

一般而言，要判斷條件A是結(jié)論B成立的充分非必要條件，依據(jù)充分不必要條件的定義，從兩個(gè)方面著手即可。

例5：已知命題“若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的充分非必要條件。

證明：∵由該命題的條件“兩個(gè)角是對(duì)頂角”能夠推出（）該命題的結(jié)論“這兩個(gè)角相等”成立，∴充分性成立；又∵若沒(méi)有該命題的條件“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，可由“非對(duì)頂角的兩個(gè)角（如等腰三角形的兩個(gè)底角）”也能推出（）該命題的結(jié)論“這兩個(gè)角相等”成立，∴非必要性成立。綜上所述，已知命題的條件是結(jié)論成立的充分非必要條件。

例2：已知命題“如果a=b，那么a2=b2。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的充分非必要條件。

六、必要非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“沒(méi)有條件A，就沒(méi)有結(jié)論B（無(wú)AB）。”是真命題（必要性成立），且“由條件A推不出結(jié)論B （由AB）。”也是真命題（非充分性成立，說(shuō)明原命題是假命題），那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的必要非充分條件。

定義中的“沒(méi)有條件A，就沒(méi)有結(jié)論B”是說(shuō)，A是B成立的必要條件。“由A推不出B”是說(shuō)A是B成立的非充分條件。

根據(jù)定義，判斷條件A是結(jié)論B成立的必要非充分條件要從兩方面著手：一是判斷條件A是結(jié)論B成立的必要條件；二是判斷條件A是結(jié)論B成立的非充分條件。

例6：已知命題“整數(shù)是偶數(shù)。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的必要非充分條件。

證明：∵沒(méi)有該命題的條件“整數(shù)”，就推不出（）該命題的結(jié)論“偶數(shù)”成立，∴必要性成立。又∵由該命題的“整數(shù)”這一條件推不出（）該命題的結(jié)論“偶數(shù)”成立，∴非充分性成立。綜上所述，已知命題的條件是結(jié)論成立的必要非充分條件。

七、充分必要條件（簡(jiǎn)稱充要條件）

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“由AB。”是真命題；且“由BA。”也是真命題，那么稱已知命題的條件A是結(jié)論B成立的充分必要條件。

定義中的“由AB”是說(shuō)，條件A是結(jié)論B成立的充分條件；“由BA”是說(shuō)，結(jié)論B是條件A成立的充分條件，亦即條件A是結(jié)論B成立的必要條件。

由充分必要條件的定義不難看出：對(duì)于一個(gè)真命題而言，如果一個(gè)命題的條件A是結(jié)論B成立的充分必要條件，那么這個(gè)命題的結(jié)論B也是條件A成立的充分必要條件。也就是說(shuō)條件A與結(jié)論B互為充要條件，可記為“AB”。

例7：已知命題“若三角形中有兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的充分必要條件。

證明：∵由該命題的“三角形中的某兩個(gè)角相等”這一條件能夠推出（）該命題的結(jié)論“這個(gè)三角形是等腰三角形”成立，∴充分性成立；又∵由該命題的結(jié)論“這個(gè)三角形是等腰三角形”能夠推出（）該命題的條件“該三角形中的某兩個(gè)角相等”成立，∴必要性成立。因此，已知命題的條件是結(jié)論成立的充分必要條件。

“充分必要條件”通常也可以用“當(dāng)且僅當(dāng)”或“在且僅在”或“須且只須”等詞語(yǔ)來(lái)代替。這里的“當(dāng)”、“在”、“須”指的是“充分條件”，而“僅當(dāng)”、“僅在”、“只須”指的是“必要條件”。

例如：“梯形的兩個(gè)底角相等”是“梯形是等腰梯形”的充分必要條件可以表達(dá)成“一個(gè)梯形，當(dāng)且僅當(dāng)它的兩個(gè)底角相等，是等腰梯形”；也可以表達(dá)成“一個(gè)梯形，在且僅在它的兩個(gè)底角相等，是等腰梯形”；還可以表達(dá)成“一個(gè)梯形，須且只須它的兩個(gè)底角相等，是等腰梯形”。

如果一個(gè)定理的條件是結(jié)論成立的充分必要條件的話，那么它可以作為下定義的性質(zhì)給與該定理的結(jié)論相同的概念下定義。

例如：由于“一個(gè)三角形的三條邊相等”和“一個(gè)三角形的三個(gè)角相等”都是“這個(gè)三角形是等邊三角形”的充分必要條件，因此等邊三角形的定義方法有兩種：一是“三條邊相等的三角形是等邊三角形”，二是“三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形”。由此可知，一個(gè)概念可以有不同的定義，但它們都是等價(jià)的。

八、非充分必要條件

已知命題“若有條件A，則有結(jié)論B。”，如果“由條件A推不出結(jié)論B（由AB）。”是真命題（非充分性，說(shuō)明已知命題是假命題），且“無(wú)條件A，可能推出結(jié)論B（無(wú)A可能B）。”也是真命題（非必要性），那么稱原命題的條件A是結(jié)論B成立的非充分必要條件。

定義中的“由條件A推不出結(jié)論B”是說(shuō)，條件A是結(jié)論B成立的非充分條件；“無(wú)A可能B”是說(shuō)，條件A是結(jié)論B成立的非必要條件。

例8：已知命題“能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)。”，求證該命題的條件是結(jié)論成立的非充分必要條件。

證明：∵由該命題的條件“能被2整除的整數(shù)”，推不出（）該命題的結(jié)論“這個(gè)整數(shù)是奇數(shù)”成立（只能是偶數(shù)），∴條件是結(jié)論成立的非充分條件（非充分性成立）。又∵若沒(méi)有該命題的條件“能被2整除的整數(shù)”，也能推出（）該命題的結(jié)論“這個(gè)整數(shù)是奇數(shù)”成立，∴條件是結(jié)論成立的非必要條件（非必要性成立）。因此，已知命題的條件是結(jié)論成立的非充分必要條件。

值得注重的是，以數(shù)學(xué)命題條件的名稱中是否含有“非充分”三字劃分，數(shù)學(xué)命題的八個(gè)條件可以分成兩類：含有“非充分”三字的一類中包括3個(gè)，即非充分條件、必要非充分條件和非充分必要條件，它們各自的命題都是假命題；未含有“非充分”三字的另一類中包括5個(gè)，即充分條件、必要條件、非必要條件、充分非必要條件和充分必要條件，它們各自的命題都是真命題。

作者簡(jiǎn)介

畢育舜（1963.9—）男，遼寧瓦房店人。本科，大連瓦房店師范學(xué)校，研究方向，數(shù)學(xué)教育與教育管理。