淺談立體幾何中的作圖

杜小許

立體幾何是高中數學中一個重要的組成部分，在高考試卷中的分值也很高，整體難度不會太大，但是對于空間思維相對較弱的學生來說，這就是一個無法逾越的難題，怎么提高學生的空間思維---——學會作圖，一般的作圖學生能聽懂，但是他們只是知其然而不知其所以然，他們不知道作圖的理論依據是什么，下面就從幾個案例中來探索立體幾何中的一些作圖的依據，希望在增加對立體幾何概念的理解、提高空間思維能力方面起拋磚引玉的作用。

類型一 利用公理和定理作截面圖

例1.如圖，正方體中，分別在上，作過三點的截面

分析：設過三點的截面為根據公理2可知，

兩平面相交成一交線，而且確定一條直線只需兩個點，，連接使得

所以是平面與平面的公共點，連接同理是平面與平面的公共點，連接連接所以截面為五邊形

類型二 利用直線與平面平行的性質定理作平行線

例2.如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分別為線段AD，PC的中點，求證：AP∥平面BEF；

分析：要證明AP∥平面BEF，只需證明AP平行平面BEF上的一條直線，證明之前要作出這條直線，怎么作出的直線就一定平行呢？根據直線與平面平行的性質定理（一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行）可知，只需過AP作一平面與平面BEF相交，則AP就一定會平行這條交線，所以只需連接AC交BE于點O，連接OF即可.

類型三 利用平面與平面垂直作平面的垂線

例3.已知三棱錐A-BCD中，AB=BC=BC=BD=CD=2，AD=1，則D與平面ABC的距離為。

分析：要用傳統方法來解決這個問題，就必須準確地作出點D到平面ABC的垂線，當垂足在平面內部時，怎么作呢？可以根據平面與平面垂直的性質定理（如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面），首先過點D作一平面垂直于平面ABC，然后過點D作交線的垂線，則垂線的長即是我們要找的點D到平面ABC的距離。

解：作BC的中點E，連接AE，DE，過點D作AE的垂線，垂足是點O。

通過上述案例我們可以發現，如果能快速、準確地作出需要的輔助線，那么就可以很簡便的利用傳統方法解決立體幾何問題，而且計算量很小，同時也無形中增強了空間思維能力，切實提高解決立體幾何問題的能力。