基于級配方程的粗粒料級配演化預測模型

郭萬里，朱俊高，王青龍，余挺

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基于級配方程的粗粒料級配演化預測模型

郭萬里1，朱俊高1，王青龍2，余挺2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京，210098；2. 中國電力建設集團成都勘測設計研究院有限公司，四川 成都，610072)

為了揭示粗粒料級配隨應力應變演化的規律，建立粗粒料“應力應變→破碎指標→級配分布”的數學模型(SBG模型)。首先，引入1個適用性良好的級配方程來描述土體的級配，其級配參數為和；同時，定義1個新的破碎指標W，并將W和破碎指標g建議為該模型所需的2個破碎指標。其次，推導并且驗證W和g與級配參數和的數學關系，實現“破碎指標→級配分布”這一目標。根據粗粒料的三軸試驗結果總結三軸試樣破壞時W和g與圍壓3之間的關系、三軸試樣在剪切過程中W和g與平均正應力和廣義剪應變s之間的關系，實現“應力應變→破碎指標”這一目標。將以上2個部分聯合，即可得到“應力應變→破碎指標→級配分布”的數學模型(SBG模型)。研究結果表明：本文提出的模型可以用來描述三軸應力狀態下粗粒料級配隨應力應變演化的規律。

粗粒料；顆粒破碎；級配方程；級配演化；三軸試驗

粗粒料在加載過程中會發生顆粒破碎，從而顯著影響土體的強度、變形、滲透性等性質[1?3]，因此，對于粗粒料顆粒破碎的研究一直以來都是土力學的熱 點[4?9]。目前研究多集中于顆粒破碎指標。張季如等[3]分析了相對破碎指標r與應力水平之間的關系，賈宇峰等[5]通過三軸試驗總結了剪切過程中r隨剪應變的變化規律。不少研究者基于分形理論提出了顆粒破碎之后的分形維數與圍壓之間的經驗公式[1?2]。此外，也有研究者嘗試將顆粒破碎規律融入到本構模型之中，但是現有本構模型大多是在宏觀層面上反映顆粒破碎對粗粒料應力變形的影響[4]?？偟膩碚f，目前研究大多能夠建立破碎指標與應力或應變之間的關系[5?6]，但是無法進一步反映級配的演化。值得注意的是，“破碎指標”與“級配分布”并不是呈一一對應的關系：由級配分布可以計算破碎指標，但是由破碎指標無法推算出級配分布。雖然破碎指標在一定程度上能夠反映土體性質的變化，但是對于某些土體僅能預測破碎指標是不夠的。例如，在大壩填筑過程中，反濾土石壩中的反濾料的受力是不斷增加的，所引發的顆粒破碎會導致其級配的變化，而級配又能顯著影響其滲透性。若能夠建立反映粗粒料的級配隨應力應變演化的數學模型，則這對于土石壩等工程的設計、監測與維護都具有重要意義。為此，本文作者引入對各種級配曲線描述效果良好的級配方程[10?12]，并且定義1個新的顆粒破碎指標，推導破碎指標與級配參數之間的關系，并依此建立1個反映顆粒級配隨應力應變演化的數學模型。最后，以粗粒料的三軸試驗結果為例，驗證該模型的合理性。

1 模型的建立

1.1 級配的定量表示方法

本文作者的最終目標是建立“應力應變→級配分布”的數學模型，即通過土體的應力應變狀態可以預測當前的級配分布。但是，現有的研究大都止步于“應力應變→破碎指標”，即通過應力應變可以預測出顆粒破碎的程度，無法進一步推測出當前的級配分布。

分析其原因，土體的應力和應變是用定量的數值表示的，而目前級配分布都只是定性描述，而不是定量的數學表示(主要有級配曲線和粒組質量分數2種表示方法，雖然各個粒組的質量分數都有具體的數值，但是對于級配分布整體而言，依然是定性描述)。因而“定量的”應力應變與“定性的”級配之間無法建立數學關系。

因此，本文作者試圖引入之前提出的一個適用性良好的級配方程[10?12]，將級配曲線量化表示為關于參數和的函數。當已知級配分布時，一般采用最優化擬合[12]來確定參數和；若已知參數和，則可以代入式(1)繪出級配曲線。因此，在本文中級配方程與級配分布是等價的。該級配方程為

式中：為任意粒徑；max為最大粒徑，通常為已知量；為粒徑小于的顆粒所占百分數；和為參數，其中＜1且＞0，以下稱為級配參數。

1.2 模型的統一表達式

通過粗粒料在三軸應力狀態下的顆粒破碎試驗，初步發現級配參數和與圍壓3之間并不存在規律性關系，因此，直接建立“應力應變→級配參數(級配分布)”的關系是比較困難的。

引入破碎指標來作為應力應變和級配參數之間的過渡條件，即建立“應力應變→破碎指標→級配參數”的關系。一方面，“應力應變→破碎指標”已有較多的研究成果可供參考[1?2]；另一方面，“破碎指標→級配參數”的關系可以通過破碎指標的定義進行數學推導。因此，建立這樣的數學模型在理論上是切實可行的。

該數學模型的本質是通過建立方程組求解當前的級配參數和。由于級配方程有和這2個參數作為未知數，因此，需要聯立2個不同的方程來求解?；诖?，引入2個破碎指標W和g。

首先，根據破碎指標的定義，只需要進行數學上的推導即可確定“破碎指標→級配參數”的函數關系，設其統一表達式為

其次，“應力應變→破碎指標”可以通過試驗總結理論或經驗公式，設其統一表達式為

式中：為應力；為應變。

最后，聯立式(2)和式(3)即為本文所建立的“應力應變→破碎指標→級配參數”的數學模型。當式(2)和式(3)中的函數和確定之后，根據土體所處的應力應變狀態即可求出當前的級配參數和，即確定新的級配分布。

1.3 破碎指標的選擇

由于式(2)和式(3)都是關于破碎指標的函數，因此，選擇合適的破碎指標W和g成為模型建立的重要環節。目前，顆粒破碎指標總的來說可以分為3類：第1類是基于特定粒徑或系數，第2類是基于粒組質量分數，第3類是基于破碎勢。

第1類用單個粒徑(比如10和15等)或系數(比如u或c)的變化來衡量顆粒破碎程度[13]，在計算方面簡單實用，但描述的級配特征比較單一，難免以偏 概全。

第2類用粒組質量分數的變化來衡量顆粒破碎程度，以Marsal[7]定義的g為代表。若用0i和w分別表示試驗前、后第個粒組的質量分數，則該粒組的質量分數變化量為(w?0i)，其中，0i和w示意圖如圖1所示。Marsal定義的破碎指標g為所有(w?0i)的正值之和[7]。g能夠反映土顆粒整體破碎的特點，且簡單實用，因此，將作為模型所需的破碎指標之一。

圖1 w0i和wi示意圖

第3類以HARDIN等[8?9]定義的破碎率為代表，是以顆粒破碎前后的級配曲線所圍成的面積作為破碎量，再除以各自所定義的破碎潛能，得到的比值即為破碎率。其中，HARDIN[8]將粒徑=0.074 mm與初始級配曲線圍成的面積作為破碎潛能；EINAV[9]則認為顆粒破碎會存在1個極限級配，因此，將=0.074 mm的限制取消，改為將初始級配曲線與極限級配曲線圍成的面積作為破碎潛能，在理論上更為合理。將初始級配曲線、試驗后的級配曲線和極限級配曲線與最大粒徑線=max所圍成的面積分別表示為0，1和2，則EINAV[9]定義的破碎指標可表示為

事實上，E在實際運用中并不方便：相比于其他破碎指標，確定極限級配曲線的試驗屬于額外試驗，加大了試驗量，而且該試驗需要在高應力狀態下進行，難度較大。因此，E雖然在理論上為人們所認可，但目前被作為破碎指標應用于實際研究的不多。由式(4)可知：對于給定的某種土料，初始級配曲線確定之后(即0為定值)，對應的極限級配曲線也隨之確定(即2也為定值)。因此，EINAV破碎指標E的本質是用破碎量(1?0)除以一個同量綱的定值，得到量綱一的百分比即為破碎指標?；诖?，將式(4)的分母由定值(2?0)替換為定值0，從而定義1個新的破碎指標W，如圖2所示。W表達式為

圖2 BW示意圖

在理論的完整性上W不如E：E的變化區間是0~1，適合用來對比評價不同土體的顆粒破碎程度；W的理論變化區間則是0~無窮大。但是，W反映的是級配整體的變化，且簡單實用，因此，將其作為模型所需的另外1個破碎指標。

至此，模型要求的2個破碎指標已選定，即g和W，其優勢是都能夠反映級配整體的變化，且定義簡單，計算方便。

2 破碎指標與級配參數的關系推導

2.1 BW與級配參數的關系

HARDIN[8]和EINAV[9]定義的破碎指標在實際應用時，一般通過梯形分割法求取級配曲線所圍面積。若利用本文的級配方程，則可以直接利用方程積分求取面積。級配方程計算面積示意圖如圖3所示。

由于粒徑的最小值不能為0 mm，故式(1)中的最小值只能趨向于0，最大值為100%。因此，在利用積分求面積時可以先對在區間[，1]內進行積分，然后使趨向于0并求極限(見圖3)。

圖3 級配方程計算面積示意圖

級配曲線與=max所圍的面積可表示為

式中d為級配曲線上=時所對應的粒徑。

結合式(6)和式(1)可得：

當趨向于0時，將式(7)代入式(6)可得

特別地，當=0時，式(8)可進一步表示為

因此，若初始級配參數為0和0，顆粒破碎后的級配參數為和，根據式(8)和式(5)可得到本文定義的破碎指標W：

當趨向于0時對應的粒徑為0 mm，而實際上土顆粒的最小粒徑不可能為0 mm，因此，將設定為一個較小的值，但不為0，這樣更符合級配分布的實際情況。

為約定的取值，此處以某砂板巖的三軸試驗為例[14]，試驗所得各圍壓下的級配參數如表1所示(其中利用式(10)所求得的面積和破碎指標W也列于表1)。當分別取為1.0%，0.5%和0.1%時，相同圍壓下的面積和破碎指標W基本保持不變。由此可見，當較小時，利用式(10)計算得到的破碎指標W是穩定的，不隨的變化而發生顯著變化。因此，可以將約定為0.1%。

綜上所述，利用本文的級配方程積分求取破碎指標W是可行的。同理，該方法也可以推廣到計算HARDIN[8]和EINAV[9]定義的破碎指標。

2.2 Bg與級配參數的關系

根據g的定義，由于粒組質量分數的增加量與其余粒組質量分數的減少量是相等的，因此，g又可以表示為各粒組質量分數變化值之和的1/2，即

0i和w利用級配參數可以分別表示為

式中：函數為級配方程(見式(1))；d和d?1分別為某個粒組的最大和最小粒徑。在GB T50123—1999“土工試驗方法標準”[15]中，顆粒分析試驗分別采用孔徑為60.00，40.00，20.00，10.00，5.00，2.00，1.00，0.50，0.25和0.075 mm的土工篩。

式(11)和式(12)分別確定了g與級配參數和的函數關系。值得注意的是，級配曲線是通過篩分試驗確定的，而級配方程是對篩分所得級配曲線進行數學擬合，兩者之間存在擬合誤差。圖4所示為級配方程與篩分試驗所得w示意圖(其中，公式w為利用式(12)計算得到的各個粒組的質量分數；篩分w為篩分試驗得到的粒組質量分數。二者之間存在誤差，因此，利用式(11)所計算的破碎指標g與篩分試驗確定的g也存在誤差。

表1 面積S，破碎指標BW與k的關系

表2 級配方程計算Bg的誤差分析

圖4 級配方程與篩分試驗所得wi示意圖

朱俊高等[10]的研究表明式(1)對于級配曲線的擬合相關系數2一般都在0.95以上，由此可知式(12)計算得到的各個粒組質量分數與篩分試驗相比雖然存在誤差，但是誤差應該在合理范圍之內。以某堆石料的三軸試樣顆粒破碎數據為例，通過篩分試驗得到各粒組質量分數，通過級配方程擬合得到參數和。同時利用篩分試驗數據和式(11)對各圍壓下的g進行計算。進一步地，以篩分試驗計算的g為基準，算出式(11)計算結果的相對誤差。級配方程計算g的誤差分析如表2所示。由表2可知：兩者相對誤差都在10%以內，屬于合理范圍。因此，可以認為利用式(11)計算破碎指標g是合理的。

綜上所述，模型中的2個破碎指標W和g與級配參數和之間的函數關系式已經確定，即模型中的式(2)已確定。

3 破碎指標與應力應變的關系

3.1 三軸試樣破壞時的顆粒破碎規律

目前有關顆粒破碎的研究主要是基于三軸試樣破壞時的試驗結果，因此，下面以普通三軸試驗為例，總結三軸應力狀態下式(3)的函數關系1和2，初步驗證本模型的合理性。

實際上，已有較多的經驗公式可供參考[1, 3, 5]，其中大部分是描述三軸試驗破碎時的破碎指標與應力或應變的單因素關系。對于三軸試樣破壞時的破碎規律，本文作者建議了破碎指標與圍壓3之間的經驗公式為

式中：1，1，2和2為擬合參數。

對于式(13)的適用性，現以1組三軸試樣破壞時的數據來檢驗其擬合效果。三軸試樣破壞時破碎指標與圍壓的關系如圖5所示(其中，3為圍壓；1=9.16，1=0.465；2=5.81，2=0.349)。從圖5可以看出：式(13)對于破碎指標與圍壓的關系描述效果較好。

3.2 三軸試樣剪切過程中的顆粒破碎規律

式(13)只是針對試樣在不同圍壓下破壞時的這個“點”，而無法推廣到整個加載剪切的“過程”。三軸剪切試驗過程中目前也有一些經驗公式可供參考。比如，賈宇峰等[5]將r表示為廣義剪應變s的函數；劉恩龍等[4]在壓縮試驗中將破碎指標表示為平均正應力的函數；SALIM等[6]在其彈塑性模型中將破碎指標g表示為塑性剪應變sp、臨界狀態應力cs(i)和的函數。本文作者則建議了1個將破碎指標表示為廣義剪應變s和平均正應力的經驗公式：

圖5 三軸試樣破壞時破碎指標與圍壓的關系

式中：s為粗粒土的固相硬度，一般通過壓縮試驗確定[16]。1，1，2和2均為擬合參數。

對于式(14)的適用性，現以1組三軸剪切過程中的顆粒破碎數據[5]來檢驗其擬合效果。圖6所示為用式(14)擬合的三軸剪切過程中破碎指標與應力應變的關系(其中，為破碎率；s=19.1 MPa，1=0.61，1=32，2=0.265，2=39.1)。由圖6可知：式(14)能夠較好地描述破碎指標與應力應變之間的關系。

土的應力狀態有多種，比如普通三軸應力狀態、0應力狀態以及其他多種復雜應力狀態等，因此，總結出適用于一般應力狀態的函數關系1和2是本文的最終目的。式(13)和式(14)則都是基于三軸應力狀態，其中式(13)描述的是三軸試樣破壞時粗粒料的破碎規律，式(14)則描述的是三軸剪切過程中粗粒料的破碎規律。

圖6 三軸剪切過程中破碎指標與應力應變的關系

4 模型初步驗證

模型的適用性主要取決于2個環節：首先是“應力應變→破碎指標”之間經驗公式的適用性。這一部分是通過顆粒破碎試驗結果來進行總結的。雖然目前尚無適用于一般應力狀態下的經驗公式，但適用于某一類應力狀態的經驗公式有較多文獻可供參考[1, 3, 5]。因此，這一部分雖然是模型的重點，但并不是模型的難點。其次是“破碎指標→級配參數”是否可行，這是模型是否成立的關鍵。

下面主要證明已知W和g時，是否可以求得和。以某粗粒料的三軸試驗為例，當圍壓分別為 0.6 MPa和1.5 MPa時，試樣篩分實驗破碎指標W1=22.2%，g1=10.1%(圍壓為0.6 MPa)；W2=34.3%，g2=15.3% (圍壓為1.5 MPa)。將W和g試驗值分別代入式(10)和式(11)聯立方程求解，得到級配參數分別如下：1=0.607和1=0.891(圍壓為0.6 MPa)；2=0.638和2=0.794(圍壓為1.5 MPa)。將和代入式(1)，繪制得到的級配曲線預測值如圖7所示。從圖7可見：模型預測的級配曲線與篩分試驗結果較吻合，這說明了模型中“破碎指標→級配參數”是可行的。

圖7 模型對級配分布的預測

5 結論

1) 定義1個新的破碎指標W，連同MARSAL定義的破碎指標g一起建議為該模型中所需的2個破碎指標，同時推導并證明了W和g與級配參數和之間的數學關系式，即完成模型中“破碎指標→級配參數”的轉換。

2) 對于三軸試樣破壞時顆粒破碎指標與圍壓的關系、三軸試樣剪切過程中破碎指標與應力和應變的關系，建議合適的經驗公式，并利用試驗數據初步證明其適用性，即完成模型中“應力應變→破碎指標”的轉換。

3) 以三軸試驗為例，已知試驗所得的破碎指標W和g，成功預測三軸試樣在不同圍壓下破壞時的級配分布，初步驗證了模型的合理性。

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(編輯 伍錦花)

Mathematical model based on the gradation equation for predicting gradation evolution of coarse-grained soils

GUO Wanli1, ZHU Jungao1, WANG Qinglong2, YU Ting2

(1. Key Laboratory of Geomechanics and Embankment Engineering of Ministry of Education, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. Chengdu Survey and Design Institute Limited, Power Construction Corporation of China, Chengdu 610072, China)

In order to study the evolution law of gradation for coarse-grained soils, a mathematical model describing the relationship between stress and strain state, breakage indicators and gradation(SBG model) was established. Firstly, a gradation equation in which the two gradation parameters were namedandwas proposed to describe the grain size distribution(GSD) curve. Then, a new grain breakage indicatorWwas defined. Together with another breakage indicatorg, they were both suggested as the two required breakage indicators for the proposed model. On one hand, the relationship betweenWandgand the gradation parametersandwere derived and verified. On the other hand, an empirical equation ofWandgand confining pressure at the failure of the specimens, and an empirical equation ofWandgand the mean normal stress and general shear strain during shearing of the specimens were proposed. The SBG model was thereby established by combining the above two parts. The results show that the proposed SBG model can be used to predict change of breakage indicators and GSD of coarse-grained soils with stress and strain states in triaxial test.

coarse-grained soil; particle crushing; gradation equation; gradation evolution; triaxial test

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.08.030

TU43

A

1672?7207(2018)08?2076?07

2017?08?01；

2017?09?21

國家重點研發計劃項目(2017YFC0404801)；國家自然科學基金資助項目(51479052)(Project(2017YFC0404801) supported by the National Key Research and Development Program of China; Project(51479052) supported by the National Natural Science Foundation of China

朱俊高，教授，博士生導師，從事土體基本性質及本構關系、土石壩工程研究；E-mail: zhujungao@hhu.edu.cn