一種基于連續特征模型的新型自適應控制方法

周軍, 葛振振, 郭建國

(西北工業大學 精確制導與控制研究所, 陜西 西安 710072)

目前，為了設計一個良好的控制系統，依據調節原理和現代控制理論方法，必須在對系統運動規律了解的前提下構建數學模型，還要掌握系統所在的環境情況。然而，在實際應用中，要對復雜的系統實現準確建模是很困難的，除此之外，有些系統即使可以獲得其精確模型，但由于系統階次過高或所處環境難以預測，不利于控制器設計。

針對實際應用中被控對象精確建模困難的問題，吳宏鑫首先提出了特征建模的思想[1-4]。特征建模就是指根據對象動力學特征、環境特征和控制性能要求相結合進行建模，不再是僅以對象精確動力學分析來建模。特征建模主要有以下幾個特點：①特征模型與被控對象具有等效的輸入-輸出特性；②特征模型比被控對象的動力學模型簡單，易于控制器的設計和實現；③相對高階系統的降階簡化模型，特征模型不存在信息丟失問題，而是將高階信息全部壓縮在特征參量里。

由于特征模型與實際被控對象具有等效的輸入-輸出特性，因此特征模型可以替代實際被控對象進行輸出反饋控制系統設計。目前常見的特征模型形式為離散的二階差分方程，利用系統的輸入、輸出和系統辨識方法對差分方程中的系數進行估計。由于系統辨識的收斂速度慢，為保證系統的穩定性，一般要求被控對象為定常或慢時變的，使得方法具有一定的局限性。針對上述問題，本文提出一種用二階線性時變微分方程描述的連續特征模型，并與自適應控制結合。

由于特征模型的階次低、特征參量少，特征參量中往往包含大量實際復雜系統的不確定項和高階信息，因此本文提出的連續特征模型是一個具有參數大范圍、快時變特點的二階線性時變系統。

針對線性時變系統的自適應控制方法研究已經成為了許多領域里的研究熱點。早期利用確定性等價原理[5]的方法，但是受被控對象參數的導數影響，一旦參數是快時變的，控制性能很難改善。反演法[6]引入了一些非線性設計理念，使得跟蹤性能有所改善，但是，如果將其由線性定常系統直接推廣到線性時變系統，系統穩定性無法保證且跟蹤誤差與參數的變化率成正比。在反演法基礎上，通過引入一階低通濾波器而提出了動態面控制，并廣泛應用于線性系統、非線性系統、隨機系統等領域[7-9]。針對線性時變系統，文獻[10]提出一種具有魯棒性的自適應動態面控制方法，即使在參數快時變的條件下也能保持良好的跟蹤性能。

本文將連續特征模型和動態面控制相結合，提出一種新型的自適應控制方法，其優點在于控制系統設計不再依賴被控對象的復雜動力學模型，僅利用系統輸出信息便可實現高性能的輸出反饋控制。

1 問題描述

飛行器的姿態動力學方程一般是具有如下形式的仿射非線性系統：

(1)

式中，u∈R和y∈R是系統輸入和輸出;x1∈R和x2∈Rn-1是系統狀態量;f1∈R,f2∈Rn-1和g∈Rn-1是未知的光滑可微函數;Δ∈Rn-1表示系統未知的不確定項。

假設1非線性系統(1)有且僅有唯一的平衡點—原點,并且存在未知常數M1,M2,M3,M4和M滿足下述不等式

假設2b(x1,x2)的大小未知,但符號是已知的且保持不變,不失一般性,文中假設b(x1,x2)>0。

本文的主要目的是在非線性系統(1)的內部狀態量x2,光滑可微函數f1,f2,g和不確定項Δ均未知的情況下,設計一種輸出反饋自適應控制律使得系統輸出收斂到平衡點(原點)附近任意小的鄰域內,同時保證閉環系統的穩定性。

2 基于連續特征模型的自適應控制律

目前大部分關于非線性系統控制的文獻重點研究系統內部狀態量x2和不確定項Δ未知的情況下控制律設計問題,可以設計狀態和干擾觀測器對x2和Δ進行精確的估計,利用其估計值設計具有魯棒性的控制律。但是,一旦在非線性系統(1)中的光滑可微函數f1,f2,g也未知的情況下,上述控制方法的控制性能將顯著下降甚至導致閉環系統失穩。

針對上述問題,文中提出一種基于連續特征模型的新型自適應控制方法,可以在內部狀態量x2,光滑可微函數f1,f2,g和不確定項Δ均未知的情況下,既能使系統輸出收斂到平衡點(原點)附近任意小的鄰域內,也能保證閉環系統的穩定性。

2.1 連續特征模型

考慮到非線性系統(1)的內部狀態量x2,光滑可微函數f1,f2,g和不確定項Δ均未知,為了便于控制器設計,文中構造了一種新型的二階連續特征模型。二階連續特征模型具有如下特點:①特征模型是二階線性時變系統,且時變特征參數是未知的;②特征模型與非線性系統(1)具有等效的輸入-輸出特性,可以替代原系統進行輸出反饋控制器設計;③特征模型形式簡單,僅利用系統輸出即可完成輸出反饋控制系統設計,控制器結構簡單、工程易實現。

在控制系統設計過程中,連續特征模型將替代原非線性系統,因此將原本復雜的非線性控制問題轉化為更加簡單的具有未知時變參數的二階時變線性系統控制問題。

定理1仿射非線性系統(1)的輸入-輸出特性與下述二階線性時變微分方程等價

(2)

(3)

設δ是滿足不等式δ>1的任意常數,并定義

(4)

式中,m是正整數,υ1,υ2,υ3和ζ均為有界的且滿足|υ1|<1,|υ2|<1,|υ3|≤1和|ζ|

定義fs是壓縮映射函數,其表達式為

(5)

根據(1)式和(4)式可知，壓縮映射函數具有fs≡1的特性,簡單的推導過程如下

(6)

結合(5)式和(6)式,可將(3)式改寫為

(7)

因y=x1,將(7)式改寫為

(8)

式中，a1,a0,b0和d為特征模型的時變特征參數。

(9)

注2在定理1的證明過程中,δ和m可以在一定約束范圍內任意選取,壓縮映射函數fs不是唯一的,即非線性系統(1)的連續特征模型(8)中特征參數不是唯一的。從嚴格意義上講,定理1主要作用是證明了二階連續特征模型的存在性,由于特征參數不具有唯一性,因此也無法事先確定特征參數的真實值。

注3與傳統的降階簡化模型相比,雖然非線性系統(1)與其特征模型(8)結構形式存在較大差異,但是二者具有完全等效的輸入-輸出特性。這是因為特征模型將原系統中的高階項、未知項和不確定項等通過壓縮映射函數fs隱含在特征參數中,而沒有丟失任何信息。由于特征參數中包含了與原非線性系統中x2,f1,f2,g和Δ相關的未知信息,因此特征參數一般具有大范圍、快時變的特點。

2.2 自適應控制律設計

根據定理1可知,二階連續特征模型(8)與仿射非線性系統(1)具有完全等效輸入-輸出特性,因此可以利用輸入-輸出等效的連續特征模型(8)替代原非線性系統模型(1)進行輸出反饋控制律設計。

首先,將特征模型(8)改寫成狀態空間形式

(10)

式中,a1(t),a0(t),b0(t)和d(t)是未知的時變特征參數,但是b0(t)的符號是已知的,由假設2和(9)式可得,b0(t)>0。

考慮到特征參數具有大范圍、快時變的特點,文中采用具有強魯棒性的動態面控制方法進行控制律設計。

Step1 定義第1個誤差面為

S1=y

(11)

聯合(10)式,對上式求導可得

(12)

選取虛擬控制量α1為

α1=-c1S1

(13)

令α1經過時間常數為τ2的一階濾波器,獲得新的狀態變量x2d

(14)

Step2 定義第2個誤差面為

(15)

對上式求導可得

(16)

式中,c2>0為設計參數,且

(17)

式中,θ是由未知的特征參數所構成的未知參數向量,可設計自適應律對其進行估計。

設未知參數向量θ的估計誤差為

(18)

(19)

式中,Γ為設計參數且是正定矩陣,σ>0為設計參數。

最后,實際的控制量選取為

(20)

根據上述自適應控制律的推導過程可知,文中設計的控制律(20)和自適應律(18)僅利用了系統的輸出及其導數信息,無需觀測器對系統的內部狀態和干擾進行估計。相比與傳統的自適應控制,文中設計的基于連續特征模型的自適應控制律形式簡單,易于工程實現。

2.3 穩定性分析

首先,定義

y1=x2d-α1

(21)

根據上式,可將(12)式改寫為

(22)

將(20)式代入(16)式,可得

(23)

由(14)式和(21)式可得

(24)

定義Lyapunov函數

(25)

定理2由連續特征模型(10)、控制律(20)、自適應律(18)和一階濾波器(14)所構成的閉環系統,如果假設1和2成立,對于任意給定的正常數R1,若

V(0)≤R1

則存在c1,c2,τ2,Γ和σ使得閉環系統是一致有界,且通過選取合適的設計參數可使系統輸出y收斂到平衡點(原點)附近任意小的鄰域內。

證明聯立(19)式、(22)式、(23)式和(24)式,對(25)式求導可得

(26)

將(19)式代入(26)式,可得

(27)

根據Young不等式,可得

(28)

(29)

式中,ε為任意的正常數。利用上式,可將(27)式改寫為

(30)

(31)

則,(30)式可簡寫為

(32)

定義緊集合

(33)

式中，R1是正常數。在緊集合Ω1內,(24)式中的連續函數η1和(31)式所定義的函數φ存在最大值,設其最大值分別為Mη和Mφ。

選取

(34)

式中，α0>0是設計參數。將(34)式代入(32)式,可得

(35)

對于任意的常數R1≥V(0),如果α0滿足下述不等式

(36)

由(35)式可得

(37)

因此

(38)

故,通過增大參數α0的取值,可以使系統輸出y收斂到平衡點(原點)附近任意小的鄰域內。

注4(31)式所定義的函數φ與設計參數σ相關,會改變Mφ的值。但是,通過選取合適的正定矩陣Γ,可以使Mφ的值保持不變。

3 數值仿真與分析

目前大多數針對仿射非線性系統的自適應控制方法需要事先已知被控對象的模型,僅對模型中的部分未知參數、不確定性或外界干擾進行估計,并不能完全脫離原系統模型,而且控制器的結構形式與被控對象模型密切相關。

為了體現文中基于連續特征模型的新型自適應控制方法的優越性,在數值仿真中,針對兩種模型形式顯著不同的被控對象,采用相同的控制器進行控制,以驗證文中控制方法的性能。這樣可以充分體現新型自適應控制方法完全不依賴被控對象模型,僅利用被控對象的輸出及其導數即可實現高精度控制的特點。

被控對象1為

(39)

被控對象2為

(40)

式中，w(t)可表示模型不確定項或干擾項。

在仿真過程中,除了被控對象1和2輸出是可獲取的,其它的相關模型信息(包括模型階數、參數、函數和內部狀態等)均是未知的,分別選取w(t)=0,10sin(t+1),并分析控制效果。此外,將文中基于連續特征模型的新型自適應控制(CCMAC)與文獻[4]中的基于離散特征模型的系統辨識控制(DCMIC)進行比對,DCMIC同樣不依賴于被控對象模型,但其采用二階差分方程作為離散特征模型,利用輸入/輸出信息進行系統參數辨識。

基于連續特征模型的新型自適應控制(CCMAC)器中設計參數選取如下:

基于離散特征模型的系統辨識控制(DCMIC)器如下:

系統參數辨識算法

控制律

被控對象1的初始狀態為

被控對象2的初始狀態為

在w(t)=0的情況下,被控對象1和2的輸出曲線見圖1。根據輸出曲線可知,本文所設計的新型自適應控制律可以使被控對象的輸出在較短的時間內收斂到平衡點(零點)附近的鄰域內,而且超調量和穩態誤差也都較小。但是,基于離散特征模型的系統辨識控制方法的收斂速度慢、振蕩幅值大,約1.5 s之后才進入穩態誤差范圍內,明顯大于本文控制方法的0.25 s。

圖1 w(t)=0時被控對象的輸出特性

在w(t)=10sin(t+1)的情況下,被控對象1和2的輸出曲線見圖2。根據輸出曲線可知,被控對象存在不確定項或干擾項時,基于離散特征模型的系統辨識控制方法出現明顯的約0.2的穩態誤差,而本文設計的控制律仍然具有較小的穩態誤差和良好的動態性能。

對比圖1和圖2中的被控對象輸出曲線可以看出,即使在w(t)=10sin(t+1)時,本文所提控制律使得閉環系統的動態特性和穩態誤差幾乎和w(t)=0時相同。

圖2 w(t)=10sin(t+1)時被控對象的輸出特性

為了進一步驗證本文所設計的控制器對外界干擾具有較強的魯棒性,采用相同的控制器,并分別選取2種不同類型和3種不同幅值、頻率的正弦波和方波作為被控對象1和2的外界干擾,干擾的類型及參數見表1。

表1 外界干擾類型及參數

在不同幅值和頻率的正弦波干擾的作用下，被控對象1和2的輸出特性如圖3所示。

圖3 正弦波干擾下被控對象的輸出特性

在不同幅值和頻率的方波干擾的作用下，被控對象1和2的輸出特性分別如圖4所示。

圖4 方波干擾下被控對象的輸出特性

由表1可知，文中選取正弦波和方波2種不同類型的外界干擾，并且干擾的幅值變化范圍[10,40]和頻率變化范圍[1 Hz,10 Hz]較大。通過分析圖3和圖4中被控對象的輸出特性曲線可知：當被控對象相同時，在干擾1～6的作用下，被控對象的輸出特性基本相同，收斂時間約為0.25 s，穩態誤差均小于0.05；當干擾相同時，不同被控對象的輸出特性也基本相同，僅動態響應過程存在微小的不同。

因此，本文所提的基于連續特征模型的新型自適應控制方法使閉環系統具有較強的魯棒性，主要體現在以下2個方面：①當被控對象和控制器相同時，在不同類型、幅值和頻率的干擾作用下，被控對象的輸出特性基本保持不變；②將同一組控制器分別應用于2種模型結構存在顯著差異的被控對象，在多種外界干擾的作用下，系統輸出的動態響應過程和穩態誤差基本相同。這表明文中研究的新型自適應控制方法可以有效地抵抗多種外界干擾，同時也在被控對象的模型結構不確定方面具有較強的魯棒性，不依賴于系統模型，控制效果主要由所選擇的控制器參數決定。

從上述分析可知，與傳統的自適應控制方法相比，本文提出的基于連續特征模型的新型自適應控制方法使得控制器設計不再依賴被控對象的動力學模型，僅利用其輸出及其導數即可取得良好的控制效果；與基于離散特征模型的系統辨識控制方法相比，文中控制律的誤差收斂速度快、穩態誤差和超調量小、魯棒性強。

4 結 論

本文針對一類仿射非線性系統，建立了具有輸入-輸出等效的二階連續特征模型，并結合動態面控制方法設計出一種基于連續特征模型的新型自適應控制方法。與傳統控制系統設計所使用的降階簡化模型不同，文中提出的二階連續特征模型利用壓縮函數將原系統的非線性項、不確定項和高階項等信息壓縮到相應的特征參數中，在此過程中未省略原系統的任何信息，因此二階連續特征模型與原系統具有完全等效的輸入-輸出特性，可以等效替代原系統進行輸出反饋控制系統設計。由于二階連續特征模型中的特征參數包含大量原系統的未知信息，特征參數一般是未知的，且具有大范圍、快時變的特點，所以采用具有較強魯棒性的自適應動態面控制技術對二階連續特征模型進行輸出反饋控制。綜上所述，文中所提控制方法不再依賴被控對象的動力學模型，僅利用其輸出信息即可實現高精度的輸出反饋控制，而被控對象的內部狀態量、函數表達式、參數和不確定項等信息均可未知。仿真結果驗證了控制方法的有效性和魯棒性。