基于HOA的圓柱腔低頻聲場重構

王巖, 陳克安, 胥健

(西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

封閉空間聲場重構在噪聲控制方案驗證、產品聲學設計等方面具有重要的應用，其中圓柱結構作為飛機、潛艇和空間站等航行器艙室結構的典型代表，研究其低頻聲場重構具有重要意義。例如對于飛機、潛艇等艙室結構的有源噪聲控制[1]，降噪方案的有效性和降噪效果往往需要在實際狀態下進行驗證，如果能夠利用揚聲器在實驗室艙段模型內重構真實運行狀態下的艙內聲場，這樣就可以方便地評估各種降噪方案，從而極大地節省研發及測試成本，提高工作效率。目前已有的方法是在重構區域布置大量傳聲器采集聲場信息，在最小二乘意義下對空間格林函數求偽逆得到次級聲源的驅動函數，這稱為聲學逆問題方法[2]。近些年有學者重新整理并豐富了該理論，討論了求解唯一性及不適定性等問題[3]，提出基于波束形成的正則化方法并用于飛機艙室聲場重構[4-5]。該方法的缺點是只能有效重構聲陣列附近的區域，要求布置大量的傳感器并且會對原始聲場產生干擾。

高階Ambisonics[6-8]是主要應用于廳堂等空間聲場的重構技術，其基本原理是將聲場分解為一系列球諧函數(基函數)及其展開系數的乘積，根據模態匹配原理(mode matching)求解次級聲源的驅動函數，進而重構三維聲場。目前相關研究都以自由空間聲傳播特性為理論基礎展開，對于三維自由空間格林函數，它可以理解為點聲源的空間-時間傳遞函數，在重構過程中其波數域的譜分量呈現出空間低通特性，能夠抑制次級聲源離散化導致的混疊效應[8]。在實際房間內重構空間聲場時，學者們提出了主動房間補償濾波器[9]、房間傳遞函數參數化方法[10]以及利用高階指向性次級聲源[11]等方法減小壁面聲反射的影響，并取得了較好的重構效果。而對于小尺度空間低頻聲場，目前有關基于HOA的聲場重構研究還鮮有報道。對于圓柱聲腔，前期研究表明其聲模態可以由球陣有效地進行球諧函數分解，獲取其展開系數[12]，并依據其稀疏特性，利用壓縮感知技術由較少的空間測量點求解高階展開系數[13]，這為本文利用HOA重構圓柱腔內聲場奠定了良好的基礎。

為了克服傳統聲學逆問題方法的缺陷，在整個三維空間內更好地重構低頻聲場的時間和空間特性，本文以圓柱結構為研究對象，提出利用HOA方法重構小尺度空間低頻聲場，并與聲學逆問題方法做對比。由于圓柱腔內低頻聲場是有限個聲模態的疊加，因此腔內次級聲源的聲傳播特性將與以往自由場和房間擴散聲場有很大不同，主要體現在波數域內格林函數的譜分量受聲模態的空間分布及其階數影響。本文以聲模態理論為基礎重新推導重構算法，重點討論聲腔內格林函數譜分量與次級聲源數目、重構參數kr以及腔內聲模態的關系，定義聲場重構濾波器并討論其特性。在此基礎上，對比分析HOA與聲學逆問題方法，從聲場采集、影響因素及重構效果等方面進行討論，最后通過實驗驗證本文提出方法的有效性及優勢。

1 腔內HOA聲場重構理論

首先介紹HOA聲場重構的基本原理，根據圓柱聲腔內聲傳播特性，推導腔內格林函數的譜分量表達式，進而推導次級聲源驅動函數的最小二乘解。

1.1 基本原理

假設剛性壁圓柱聲腔在點聲源激勵下形成穩態聲場，腔內存在封閉曲面邊界?V,如果邊界?V包圍的封閉空間V內不存在聲源,那么V內的聲場可以用單層勢來描述[7]

P(kr)=∮?VD(kr0)GN(kr|kr0)dS0

(1)

式中，r=(r,φ,z)表示V內任意一點,r0=(r0,φ0,z0)為邊界?V上的點,D(kr0)稱為次級聲源的驅動函數,GN(kr|kr0)為圓柱聲腔的紐曼格林函數[14]。在球坐標系下,將重構區域V內部的聲場P(kr),?V上的次級聲源驅動函數D(kr0)以及紐曼格林函數GN(kr|kr0)進行球諧函數展開[14]

(5)

根據模態匹配方法(mode-matching method)可以推導出驅動函數的譜分量為

(6)

將(6)式帶入(3)式,即可求出次級聲源的驅動函數D(kr0),進而利用(1)式重構三維聲場。

(7)

式中，Hn(kr,ka)為傳遞因子[14]

Hn(kr,ka)=

(8)

圓柱腔紐曼格林函數GN(kr|kr0)的球傅里葉變換可以寫為

(9)

它表示在波數域次級源與重構點之間譜分量的傳遞關系。根據圓柱腔GN(kr|kr0)的表達式[14],可以計算出格林函數的譜分量為

(10)

D=(G*G)-1G·H·P

(11)

2 腔內HOA聲場重構實現

根據圓柱腔內低頻聲場HOA重構理論,討論其實現過程。假設有一剛性壁圓柱殼體,長3 m,半徑0.8 m,厚3 mm,圓柱左右兩端面分為位于z=0 m和z=3 m處,聲腔中軸線為z軸。在圓柱內部(r=0.3,φ=π,z=0.2)處有一個點聲源在腔內形成穩態聲場。為了便于討論腔內聲場重構特性,本文根據球面Fliege離散點分布形式布放次級聲源。重構區域是中心為(x=0,y=0,z=1.5)m,半徑r=0.6 m的球面包圍的內部區域。

2.1 聲壓譜分量

圖1 重構半徑r=0.4 m的球面聲壓譜分量

2.2 格林函數譜分量

格林函數譜分量的計算與次級聲源的數目、重構頻率與重構半徑(即kr)以及聲腔內聲模態有關。在實際聲場重構時,有限的次級聲源數目會影響高階譜分量的計算。選取球面分布49個Fliege離散點,計算n=0～7階譜分量,如圖2所示。

圖2 圓柱聲腔格林函數譜分量的幅值

2.3 重構濾波器與最小二乘解

圖3 重構濾波器的濾波特性

3 腔內HOA與聲學逆問題的對比

求解次級聲源驅動函數的傳統方法是聲學逆問題方法,它利用傳聲器陣列在重構區域采集聲場信息,根據Tikhonov正則化求解次級聲源驅動函數的最小二乘解。本節將對這2種重構方法進行對比分析。

在聲腔中心處半徑為0.6 m的球面上按照Fliege離散點分布16個次級聲源進行HOA聲場重構,聲場最高截斷階數N=4,并與聲學逆問題方法做對比。對于HOA方法,利用聲腔中心處半徑為0.1 m的球陣采集聲場信息,球陣表面分布49個傳聲器,計算次級聲源的驅動函數。對于聲學逆問題方法,在重構區域內X=0平面上均勻分布108個傳聲器采集聲場信息,根據Tikhonov正則化求解次級聲源驅動函數的最小二乘解。

根據這2種方法計算的驅動函數重構聲場分布。圖4給出了2種方法的重構效果對比,選擇重構區域內X=0的橫截面與Z=L/2的縱截面為重構面,即圖中虛線圓圈內。可以看出,X=0的橫截面上,2種方法都能較好地重構出真實聲場,重構的相對誤差如圖5a)所示,只有在聲模態節線位置重構誤差較大,在整個重構面上HOA方法的重構相對誤差比聲學逆問題的小。對于Z=L/2的縱截面上,HOA方法依然能夠較好地重構聲場,只有在聲模態節線位置重構誤差較大,而聲學逆問題方法的重構誤差就更大,如圖5b)所示。由此可見,HOA方法在圓柱腔低頻聲場的重構精度更高。

圖4 重構聲場與理論聲場的聲壓幅值比較

圖5 2種方法聲壓幅值重構的相對誤差

4 實驗驗證

在半消聲室內,利用HOA方法開展圓柱形飛機艙室低頻聲場重構的實驗研究。艙室模型長度為6.4 m,直徑為2.67 m,底板距離頂部最高點2 m,將一個十二面體聲源放置于角落,由白噪聲激勵產生低頻聲場。將半徑為0.1 m,球面均勻分布64個傳聲器的剛性球陣放置于聲腔中心處進行聲場測量,并將球面聲壓分解為一系列球諧函數及其展開系數,如圖6所示。以聲腔中心為圓心,半徑為0.35 m的球面上分布16個次級聲源,計算次級聲源的驅動函數,并重構224 Hz時聲腔中心水平面的聲壓分布(x=0 m,y=-0.35～0.35 m,z=-2.2～1.3 m),如圖7所示。可以看出,HOA方法的重構結果與實際測量值有較好的吻合,而聲學逆問題的重構聲壓幅值明顯比實際測量值低,這表明HOA方法在圓柱低頻聲場重構中能夠取得較好的效果,優于聲學逆問題方法。

圖6 實驗模型及剛性球陣

圖7 聲腔水平面聲壓重構值與理論值的對比

5 結 論

本文提出利用HOA重構圓柱腔低頻聲場，并與傳統的聲學逆問題方法做對比。主要結論如下：

1) 利用球陣進行聲場采集并將腔內聲場分解為球諧函數的形式，得到的球面聲壓譜分量包含了腔內聲場信息，因此可以利用該譜分量重構內部聲場。這種聲場采集方式避免了傳統聲陣列需要大量的傳聲器，減少了對原始聲場的干擾。

2) 聲腔內格林函數的譜分量受聲模態分布影響，重構區域中心主要存在低階譜分量并主要由低階聲模態貢獻，而遠離重構區域中心存在高階譜分量并主要由高階聲模態貢獻，在重構頻率附近的聲模態是譜分量最主要貢獻者，因此在實際聲場重構時，要根據重構參數kr合理選擇聲模態階數，布置次級聲源時要避開主要聲模態的節線處。

3) 影響HOA重構精度的主要參數是截斷階數 。在聲場采集時，截斷階數越高，獲取的聲場信息越豐富，但在聲場重構時，重構濾波器會放大球面聲壓譜分量，且階數越高，重構區域越大，放大作用越明顯，這意味著由各種測量噪聲引起的譜分量誤差也會被嚴重放大。因此需要合理選擇最優的截斷階數，即保證重構精度又滿足求解穩定性。

4) 對點聲源激勵下的圓柱腔內聲場進行仿真分析，結果表明HOA能夠較好地重構整個三維聲場，從聲場采集、聲場重構的精度及區域大小等方面都優于聲學逆方法。

5) 在圓柱形艙室模型內對本文方法進行了實驗驗證，并與聲學逆問題做對比。實驗結果表明，HOA方法能夠獲得比逆問題更好的重構效果，具有良好的實際應用價值。

6) 最后需要指出的是，本文僅針對單個點聲源激勵下的圓柱腔內聲場進行了仿真和實驗研究，且并未考慮模態重疊等情況。對于實際中多聲源激勵，或結構輻射聲等情況，還需進一步研究。